第二章——晶体衍射和倒格子

插播知识点1
傅里叶分析
For a set of R and a plane wave eikr , the set of all wave
vectors G that yield plane waves with the periodicity of a given
Bravais lattice － reciprocal lattice
a2 h2
a3 h3
0
所以 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
b）
证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 的长度等于
2π 。 d h1h2h3
由平面方程： X n d 得：
dh h h 123
a1 h1
Kh Kh
a1 h1 b1 h2 b2 h3 b3
d h1h2h3
a） 证明 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
b） 证明
K h h1b1 h2 b2 h3 b3
的长度等于 2π d h1h2h3
。
a）
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢 a1,a2 ,a3 上的 截距分别为
其中 a1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数)所联系的各点
的列阵即为倒格。
倒格基矢的方向和长度如何呢？
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
eiGr
R
eiGr
eiGR
1
G belongs to the reciprocal lattice of a Bravais lattice of points R
G is called a reciprocal lattice only if the set of vectors R is a Bravais lattice
固体物理
顾辉 gujiaoshou@
助教：胡冬力 dlhu_sh@
第二章 晶体衍射和倒格子
倒格子
本节主要内容: 1 倒格定义 2 倒格与正格的关系 3 倒格与傅里叶变换 4 求解倒格 5 倒格与布里渊区
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。
f (r)
f
G
e
iG r
G
f (r)
G
fG eiGr
fG
1 Vcell
f (r)eiGrdr
cell
晶体结构
正格
1.Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
2.与晶体中原子位置 相对应；
3.是真实空间中点的周 期性排列；
0 i j
a1 b1 a1 2π a2 a3 2π Ω
a1 b2 a1 2π a3 a1 0 Ω
（2）
Rl K h 2π (为整数)
其中Rl和K h分别为正格点位矢和倒格点位矢。
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3
Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
2π
（3）
Ω* 2π 3 (其中和*分别为正、倒格原胞体积)
Ω
Ω* b1 b2 b3
2π 3 a2 a3 a3 a1 a1 a2 Ω
a1 , aБайду номын сангаас , a3 h1 h2 h3
。
a3
由图可知：
CA OA OC a1 a3 h1 h3
CB OB OC a2 a3 h2 h3
C O
Kh
a2 B
A a1
Kh
CA
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
a1 h1
a2 h2
0
Kh
CB
( h1 b1
h2 b2
h3 b3 )
b3 2π a1 a2 Ω
b3 ab3 2
a2
a1
b1
b1
a2 a3 2π
2π
Ω
d1
b2 2π d2
b3 2π d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面 的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。
2 倒格与正格的关系
（1）
ai b j 2π ij 2π ( i j )
A B C A CB A BC
a3 a1 a1 a2
a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2
Ωa1
Ω*
2π 3
a2
a3
Ω
Ω a1
2π3
Ω
（4）
倒格矢 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为 2π 。
正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢：
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
倒格 倒格基矢
b1,b2 ,b3
倒格（点位）矢：
K n h1b1 h2b2 h3b3
1 倒格定义
倒格基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
Statement:
the Fourier transform of a function:
f (r)
f
k
e
ikr
k
To a periodic function in Bravais lattice:
f (r)
f
(r
R)
f
k
e
ikr
f
k
e
ikr
R
f e e
ikr
ik R
k
k
k
k
eikR 1 k R 2 integer
＝> this k is the reciprocal lattice G
Any periodic function in Bravais lattice can be expressed
with reciprocal lattice:
h1
Kh
2π
Kh
3 倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
Rl 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
r (K h ) ei Khr
h
r Rl
K ei K h rRl h
h
K h Rl 2π
K h 一定是倒格矢。