函数的对称性和周期性

则 f (log2 20) 等于 ( )
A.
1 4
B.
−
1 4
C
.
1 5
D.
−
1 5
3∑. 已20知20定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x + 1) = − f (x − 1), f (x + 2) = f (x − 2), f (1) = 1. 求 (4i − 3) = .
2 函数的周期性
3
3 函数对称性与周期性的结合
4
4 习题
5
1
1 函数的对称性
1.1 轴对称
最特殊的轴对称就是我们高中教材中讲的偶函数。 定义 1.1 如果对任意 x，都有 f (−x) = f (x)，则称函数 y = f (x) 为偶函数。 例如 y = cos x,y = x2 等函数都是偶函数。 下面看一般情况，若函数图象 y = f (x) 关于 x = a 对称，函数要满足什么性质？ 如图，设函数 y = f (x) 上任意一点 A(x, f (x)), 点 A 关于 x = a 的对称点为 A′(x′, f (x′))。
let) 函数没有最小正周期。
高考当中函数的周期性一般不会直接给出，以下是几种常见的形式。
3
性质 2.1 f (x + a) = − f (x),T = 2a.
证明. f (x + 2a) = − f (x + a) = f#43; a) =
f
1 (x)
,
T
=
2a.
证明.
注意：事实上，任何一个常数 kT ∈ Z, k 0 都是它的周期。周期函数 y = f (x) 的周期 T 是与 x 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 例如狄利克雷 (Dirichlet) 函数：
0, 如果 x 是无理数
y = 1, 如果 x 是有理数
(1)
显然对于狄利克雷 (Dirichlet) 函数，任意实数 x 都是函数的周期，所以狄利克雷 (Dirich-
显然 x + x′ = 2a, f (x) = f (x′)，因此我们得到 f (x) = f (2a − x)，这个结果还有一个等价 形式 f (x + a) = f (x − a)。
1.2 中心对称
最特殊的中心对称就是我们高中教材中讲的奇函数。 定义 1.2 如果对任意 x，都有 f (−x) = − f (x)，则称函数 y = f (x) 为奇函数。 例如 y = sin x,y = x3 等函数都是奇函数。 下面看一般情况： (1) 若函数图象关于点 (a, 0) 中心对称，函数要满足什么性质？ 如图，设函数 y = f (x) 上任意一点 A(x, f (x)), 点 A 关于 (a, 0) 的对称点为 A′(x′, f (x′))。 显然 x + x′ = 2a, f (x) + f (x′) = 0，因此我们得到 f (x) + f (2a − x) = 0, 这个结果还有一 个等价形式 f (x + a) + f (x − a) = 0。 (2) 若函数图象关于点 (a, b) 中心对称，函数要满足什么性质？ 如图，设函数 y = f (x) 上任意一点 A(x, f (x)), 点 A 关于 (a, b) 的对称点为 A′(x′, f (x′))。 显然 x + x′ = 2a, f (x) + f (x′) = 2b，因此我们得到 f (x) + f (2a − x) = 2b, 这个结果还有
4
4 习题
1.
已知定义在
R
上的函数
f (x)
满足
f (x
+
2)
=
−
f
1 (x)
,
x
∈
(0, 2]
时， f (x)
=
2x
− 1,
则
f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2020) 的值为 .
2. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x+1) = f (x−1), 且当 −1 < x < 0 时，f (x) = 2x −1,
证明.
f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2(b − a))
性质 3.2 f (x) 有两个对称中心 (a, 0) 和 (b, 0)，则 f (x) 是周期函数，最小正周期为 2(b− a).
证明.
f (x) = − f (2a − x) = −(− f (2b − (2a − x))) = f (x + 2(b − a))
性质 3.3 f (x) 有一条对称轴 x = a 和一个对称中心 (b, 0)，则 f (x) 是周期函数，最小正 周期为 4(b − a).
证明.
f (x) = f (2a − x) = − f (2b − (2a − x)) = − f (x + 2(b − a))
再利用性质 2.1 可得，T = 4(b − a).
2
一个等价形式 f (x + a) + f (x − a) = 2b。
2 函数的周期性
定义 2.1 对于函数 y = f (x), 如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每 一个值时， f (x + T) = f (x) 都成立，那么就把函数 y = f (x) 叫做周期函数，不为零的常 数 T 叫做这个函数的周期。
f (x + 2a) =
1 f (x+a)
=
f (x).
性质 2.3 f (x + a) = f (x + b),T =| a − b |.
证明. 作变量代换 t = x + a f (t) = f (t − a + b) ⇒ T =| a − b |
3 函数对称性与周期性的结合
这部分是高考中的重点、难点。其实也并不难，说穿了就一句话：由两个对称性可以得 到周期性。下面给出几个结果，统一假设 b > a。 性质 3.1 f (x) 有两条对称轴 x = a 和 x = b，则 f (x) 是周期函数，最小正周期为 2(b − a).
函数的对称性和周期性
孙老师
April 17, 2020
目录
1 函数的对称性
2
1.1 轴对称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 中心对称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2