利用Excel进行时间序列的谱分析-Read

利用Excel 进行时间序列的谱分析（I ）在频域分析中，功率谱是揭示时间序列周期特性的最为有力的工具之一。

下面列举几个例子，分别从不同的角度识别时间序列的周期。

1 时间序列的周期图【例1】某水文观测站测得一条河流从1979年6月到1980年5月共计12月份的断面平均流量。

试判断该河流的径流量变化是否具有周期性，周期长度大约为多少？分析：假定将时间序列x t 展开为Fourier 级数，则可表示为∑=++=ki t i i i i t t f b t f a x 1)2sin 2cos (εππ (1)式中f i 为频率，t 为时间序号，k 为周期分量的个数即主周期（基波）及其谐波的个数，εt 为标准误差（白噪声序列）。

当频率f i 给定时，式（1）可以视为多元线性回归模型，可以证明，待定系数a i 、b i 的最小二乘估计为∑∑====Nt i t i Nt i t i tf x N b t f x N a112sin 2ˆ2cos 2ˆππ （2）这里N 为观测值的个数。

定义时间序列的周期图为)(2)(22i i i b a N f I +=，k i ,,2,1 = (3) 式中I (f i )为频率f i 处的强度。

以f i 为横轴，以I (f i )为纵轴，绘制时间序列的周期图，可以在最大值处找到时间序列的周期。

对于本例，N =12，t =1,2,…,N ，f i =i /N ，下面借助Excel ，利用上述公式，计算有关参数并分析时间序列的周期特性。

第一步，录入数据，并将数据标准化或中心化（图1）。

图1 录入的数据及其中心化结果中心化与标准化的区别在于，只需将原始数据减去均值，而不必再除以标准差。

不难想到，中心化的数据均值为0，但方差与原始数据相同（未必为1）。

第二步，计算三角函数值为了借助式（1）计算参数a i 、b i ，首先需要计算正弦值和余弦值。

取6,,2,1 =i ，则频率为12/6,,12/2,12/1/ ==N i f i （图1）。

将频率写在单元格C3-C14中（根据对称性，我们只用前6个），将中心化的数据转置粘贴于第一行的单元格D1-O1中，月份的序号写在单元格D2-O2中（与中心化数据对齐）。

图2 计算余弦值的表格在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C3)”，回车得到0.866；按住单元格的右下角右拉至O3单元格，得到f =1/12=0.083，t =1,2,…,12时的全部余弦值。

在D2单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C4)”，回车得到0.5；按住单元格的右下角右拉至O4单元格，得到f =2/12=0.167，t =1,2,…,12时的全部余弦值。

依次类推，可以算出全部所要的余弦值（在D3-O8区域中）。

根据对称性，我们的计算到k =6为止（图2）。

注意，这里B1单元格是2π=6.28319（图中未能显示）。

在上面的计算中，只要将公式中的“COS ”换成“SIN ”，即可得到正弦值，不过为了计算过程清楚明白，最好在另外一个区域给出结算结果（在D17-O22区域中，参见图3）。

图3 计算正弦值的表格第三步，计算参数a i 、b i利用中心化的数据（仍然表作x t ）计算参数a i 、b i 。

首先算出x t cos2πf i t 和x t sins2πf i t 。

在D9单元格中输入公式“=D1*D3”，回车得到18.309；按住单元格的右下角右拉至O9单元格，得到f =1/12=0.083，t =1,2,…,12时的全部x t cos2πf i t 值；加和得39.584，再除以6，即得a 1=6.597。

在D10单元格中输入公式“=D1*D4”，回车得到10.571；按住单元格的右下角右拉至O10单元格，得到f =2/12=0.083，t =1,2,…,12时的全部x t cos2πf i t 值；加和得-365.25，再除以6，得到a 2=-60.875。

其余依此类推。

将上面公式中的余弦值换成正弦值，即可得到b i 值（见下表）。

上面的计算过程相当于采用式（2）进行逐步计算。

第四步，计算频率强度利用式（3），非常容易算出I (f i )值。

例如914.174096)213.170597.6(*6)(2)(2221211=+=+=b a N f I 其余依此类推（见图4）。

图4 计算频率强度第五步，绘制时间序列周期图利用图4中的数据，不难画出周期图（图5）。

图5 某河流径流量的周期图（1979年6月－1980年5月）第六步，周期识别关键是寻找频率的极值点或突变点。

在本例中，没有极值点，但在f 1=1/12=0.0833处，频率强度突然增加（陡增），而此时T =1/f 1=12，故可判断时间序列可能存在一个12月的周期，即1年周期。

【例2】为了映证上述判断，我们借助同一条河流的连续两年的平均月径流量（1961年6月－1963年5月）。

原始数据见下图（图6）。

图6 原始数据及部分处理结果将原始数据回车时间序列变化图，可以初步估计具有12月变化周期，但不能肯定（图6）。

图6 径流量的月变化图（1961年6月－1963年5月）按照例1给出的计算步骤，计算参数数a i、b i，进而计算频率强度（结果将图7）。

然后绘制时间序列的周期图（图8）。

注意这里，N=24，我们取k=12。

图7 参数和频率强度的计算结果从图8中可以看出，频率强度的最大值（极值点）对应于频率f1=1/12=0.0833，故时间序列的周期判断为T=1/f1=12。

这与用12月的数据进行估计的结果是一致的，但由于例2的时间序列比例1的时间序列长1倍，故判断结果更为可靠。

图8 某河流径流量的周期图（1961年6月－1963年5月）2 时间序列的频谱图【例3】首先考虑对例1的数据进行功率谱分析。

例1的时间序列较短，分析的效果不佳，但计算过程简短。

给出这个例子，主要是帮助大家理解Fourier变换过程和方法。

为了进行Fourier分析，需要对数据进行预处理。

第一，将数据中心化，即用原始数据减去其平均值。

中心化的数据均值为0，我们对中心化的数据进行变换，其周期更为明显。

第二，由于Fourier分析通常采用所谓快速Fourier变换（Fast Fourier Transformation，FFT），而FFT 要求数据必须为2n个，这里n为正整数（1,2,3,…），而我们的样本为N=12，它不是2的某个n次方。

因此，在中心化的数据后面加上4个0，这样新的样本数为N′=12＋4＝16＝24个，这才符合FFT的需要（图9）。

下面，我们对延长后的中心化数据进行Fourier变换。

图9 数据的中心化与“延长”第一步，打开Foureir分析对话框沿着主菜单的“工具（Tools）”→“数据分析（Data Analysis）”路径打开数据分析选项框（图10），从中选择“傅立叶分析（Fourier Analysis）”。

图10 在数据分析选项框中选择Fourier分析第二步，定义变量和输出区域确定之后，弹出傅立叶分析对话框，根据数据在工作表中的分布情况进行如下设置：将光标置于“输入区域”对应的空白栏，然后用鼠标选中单元格C1-C17，这时空白栏中自动以绝对单元格的形式定义中心化数据的区域范围（即$C$1-$C$17）。

选中“标志位于第一行”。

选中输出区域，定义范围为D2-D17（图11）。

注意：如果输入区域的数据范围定义为C2-C17，则不要选中“标志位于第一行”，这与回归分析中的原始变量定义是一样的（图12）。

如果不定义输出区域范围，则变换结果将会自动给在新的工作表组上。

这一点也与回归分析一样。

图11 选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义图12 不选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义第三步，结果转换定义数据输入－输出区域完成之后，确定，立即得到Fourier变换的结果（图13）。

图13 傅立叶变换的结果变换的结果为一组复数，相当于将f (t )变成了F (ω)，实际上是将x t 变成了X T (f )。

我们知道，有了f (t )的象函数F (ω)就可以计算能量谱密度函数S (ω)，即有2)()()()(ωωωωF F F S == (4)相应地，有了X T (f )也就容易计算功率谱（密度）Tf X f P T 2)()(=(5)式中f 表示线频率，与角频率ω的转换关系是ω=2π/T ，这里T 为数据区间长度。

如果将X T (f )表作X T (f )=A +jB （这里A 为实部，B 为虚部），则有222))(()()()(i i i i i i i T i T i T B A jB A jB A f X f X f X +=-+== （6）因此这一步是要分离变换结果的实部与虚部。

逐个手动提取是非常麻烦而且容易出错的，可以利用Excel 有关复数计算的命令。

提取实部的Excel 命令是imreal 。

在H2单元格中输入命令“=IMREAL(D2)”（这里D2为变换结果的第一个复数所在的单元格），回车得到第一个复数的实部0；点中H2单元格的右下角，揿住鼠标左键下拉至H17，得到全部的实部数值。

提取虚部的命令是imaginary 。

在I2单元格中输入公式“=IMAGINARY(D2)”，回车得到第一个复数的虚部0；下拉至I17，得到全部的虚部数值。

根据式（5）、（6），功率谱密度的计算公式为TB A f P i i i 22)(+= （7）考虑到本例中T =N =16，在J2单元格中输入公式“=(H2^2+I2^2)/16”，回车得到第一个功率谱密度0；下拉至J17，得到全部谱密度数值（图14）。

基于FFT 的谱密度分布是对称的，可以看出，以J10所在的3105.28为对称点，上下的数值完全对称。

图14 功率谱密度的计算结果第四步，绘制频谱图线频率f i 可以表作N i T i f i //==，N i ,,2,1,0 =-1显然f 0=0/16=0，f 1=1/16=0.0625，f 2=2/16=0.125，…，f 15=15/16=0.9375。

在Excel 中，容易计算频率的数值。

将频率与功率谱对应起来（图15），就可以画出频谱图。

如果补上最后一个频率数值f16=1及其对应的功率0，则可画出完全对称的谱图（图16）。

图15 功率谱密度与频率的对应关系图16 对称分布的频谱图由于功率谱图的对称性，画出整个谱图实在没有必要，因此，在实际工作中，通常只画出左半边（图17）。

图17 实用的频谱图第五步，功率谱分析频域分析的主要目标之一是判断时间序列是否存在周期性。

从图17可以看出，功率最大点对应的频率是f1=0.0625，该频率对应的周期长度为16。