随机事件及其概率运算
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论与数理统计-事件间的关系及运算
或 A1A2 An.
i1
互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
两个互不相容事件A 与 B的并，记作：A B .
如果 n 个事件 A1, A2,, An中任意两个事件不可能同 时发生,即
Ai Aj (1 i j n),
则称这 n 个事件是互不相容的(或互斥的).
此时，A1, A2 , , An 的并记作
n
A1 A2 An 或 Ai.
i1
互逆（关系）
如果事件 A与 B互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A与B 中有且仅有一事件发生,即
AB 且 A B ,
则称事件 A与 B是对立的(或互逆的),称事件 是事A 件 的 对立B 事件(或逆事件);同样,事件 也是事件B 的对立事A 件(或逆事件).
n
记作：A1 A2 An. (简记为： Ai ) i1
事件的交（积）（运算）
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作：A B 或 AB. B
A
A B
“ n 个事件 A1, A2,, An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2,, An的交.
n
记作： A1 A2 An (简记为： Ai )
A 事件A的对立事件
集合A是集合 B的子集 集合A与集合 B相等 集合A与集合 B的并集 集合 A与集合 B的交集 集合A 与B 不相交 集合A 的余集
[例1] 设有A, B, C三个事件，用 A, B, C 的运算表
示以下事件：
① A, B, C 至少有一个发生；
A BC
② A, B, C 都发生；
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
第二讲随机事件的概率及其计算
所以事件B的概率为 3 4 5 6 P( B) B n 0.5. 10 9 8
8
例2 设有10只灯炮，其中有2只是坏的。现从中任取3只灯 泡，求恰有1只灯泡是坏的概率。 解 从10只灯泡中任取3只，共有 C10 种等可能的取法。
3
设A表示事件“取出的3只灯泡中恰有1只坏灯泡”，所以A 中 1 A C2C82 . 于是，由公式（1）得： 所包含的基本事件数为
若事件A发生,即所取的3个球都是白球,则 A 6 5 4, 所以事件A的概率为 65 4 0.167 A A n 10 9 8 若事件B发生,即所取的3个球中有1个红球2 个白球,考虑到红球抽取的次序,则有
1 B C3 4 6 5 3 4 5 6,
称此概率为古典概率。
4
例1 袋中有10个球,其中4个红球6个白球.今按下面两种方法 从袋中任取3个球，求下列事件A：“3个球都是白球”和B： “1个红球2个白球”的概率。 方法(1) 有放回抽样：每次抽取一个，观后放回再抽下一个。
。
方法(2) 无放回抽样：每次抽取一个，观后不放回抽下一个。
5
解 (1)有放回抽样
从10个小球中有放回地任取3个球的所有可能的取法 10 3种 ， 即样本空间中元素个数 n 10 。
3
A 63 若事件A发生，即所取的3个球都是白球,则
所以由公式(1)知，事件A的概率为
。
A A n 6 1个红球2个白球,考 虑到红球抽取的次序, 则
1 B C3 4 6 2 2 6 3
(1) (2) (3)
所以事件B概率为
B B n 2 6 3 / 10 3 0.432
概率论与数理统计公式大全
第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布Ihl ttamitai'l例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为 至少有一张红桃”，B 为恰有2张红桃”，张方块”,求条件概率P( B| A), P( B| C) 解 P(A)1 P(A)P(BA)P(AB) P(A)1 c；3CTG ；c3；C 13 C52C52C39—C13一C 13 C 13C 52 C 39—血39P(AB)P(C)C 13C 39 c ；3P(BC)5 26C13C 13C 2652P(B C )P ( BC ) P(C)C13 C 13 C 2613 --------- C 52C 5 C 8C13 C 39C13~ —C 522 6C 13 C 26C 8C39C 为恰有5 C 23C 3113T -某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现 年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解 设A 表示事件 活到20岁以上”，B 表示 事件活到25岁以上”， P(A) 0.7 P(B) 0.56P(B A)P(AB) P(A)显然P(AB) 0.56 0.7P(B) 0.560.81例 1.21例1.21 某工厂生产的产品以 超过 4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0概率 0.1 0.2现进行抽样检验，从每批中随机抽取 为该批产品不合格。
求一批产品通过检验的概率。
解设B 表示事件 “一批产品通过检验 品”100 1 2 0.4 0.2 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 3 0.1 10件来检验，若发现其中有次品，则认 ”，A (=0,1,234) 表示 ，贝U A 0 ,A 1 , A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， C 10C99 C 10C100P(A) 0.1P(B|") 1P(A) 0.2,P (B |A )0.900 P(A)'一批产品含有 0.4,P(B A 2)i 件次P(A 3) 0.2, P(B A 3)c 10崗 0.727 C 100P(A 4)0.1 , P(B A 4)C 10C 96C 10 C0.652C 1098C 101000.8094P ( A k )P ( B |A k ) k 0 顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是类似可以计算顾客买到的一 批合格品中，含次品数为 1、2、 3、 4件的概率分别约 为 0.221 、0.398 、0.179 、 0.080贝叶斯公式(Bayes)P(B) P (A 。
随机事件概率计算
随机事件概率计算随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，通过计算可以得出不同事件发生的可能性大小。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，并希望通过概率计算来提前了解事件发生的可能性，以便做出合理的决策。
本文将介绍随机事件概率计算的基本原理和常用方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法是根据事件的样本空间进行计算的方法。
当事件的每个基本结果发生的可能性相等时，可以使用该方法计算概率。
概率的计算公式如下：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A中基本结果的数目，N(S)表示样本空间中基本结果的总数。
2. 相对频率法相对频率法是通过实际观察事件发生的频率来计算概率。
该方法要求多次观察或重复实验，计算事件发生的频率，从而逼近事件的概率。
概率的计算公式如下：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验或观察的总次数。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验估计的方法，根据个人对事件发生的主观认知来计算概率。
该方法常用于无法进行重复实验的情况，但其结果可能受到主观因素的影响。
三、概率计算的实例下面通过两个实例来说明概率计算的具体过程。
1. 掷骰子问题：假设有一个普通的六面骰子，如果我们想要计算投掷骰子时出现6的概率，可以使用经典概率法进行计算。
该事件的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，基本结果的数目为6，因此事件发生的概率为：P(出现6) =1/6。
2. 抽取扑克牌问题：假设有一副52张的扑克牌，其中有4张A牌。
如果我们想要计算从扑克牌中抽取一张A牌的概率，可以使用相对频率法进行计算。
进行多次实验，记录抽取到A牌的频率。
如果进行100次实验，抽取到A牌的次数为10次，则事件发生的概率为：P(抽取A) = 10/100 = 0.1。
1.1随机事件及其运算
在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件
《随机事件及其概率运算》课程总结
实验设计与数据处理任何自然科学都离不开实验，大多数学科（化工、化学、轻工、材料、环境、医药、热工等）中的概念、原理和规律大多由实验推导和论证的。
如最佳的配方、工艺条件，产品性能的优化，对产品质量、环境质量作出评价等。
“实验设计与数据处理”是以概率论数理统计、专业技术知识和实践经验为基础，经济、科学地安排试验，并对试验数据进行计算分析，最终达到减少试验次数、缩短试验周期、迅速找到优化方案的一种科学计算方法。
它主要应用于工农业生产和科学研究过程中的科学试验，是产品设计、质量管理和科学研究的重要工具和方法。
这门课从以下十个章节给我们介绍了实验设计与数据处理：1）.随机事件及其概率运算2）.随机变量及其概率分布3）.抽样和估计4）.实验误差5）.假设检验6）.析因实验7）.实验数据的整理8）.建立实验数学模型的一般方法9）.实验数据的回归与相关分析10）.正交实验设计我就实验设计、数据处理和正交试验设计做简要陈述。
1.实验设计实验设计是指为节省人力、财力、迅速找到最佳条件，揭示事物内在规律，根据实验中不同问题，在实验前利用数学原理科学编排实验的过程。
以概率论与数理统计学为理论基础，为获得可靠试验结果和有用信息，科学安排试验的一种方法论，亦是研究如何高效而经济地获取所需要的数据与信息的方法。
正确的实验设计不仅节省人力，物力和时间，并且是得到可信的实验结果的重要保证。
即经过设计的实验，效果大大提高，与不经过设计的实验相比，情况大不相同。
广义上说，实验设计包括明确实验目的，确定测定参数，确定需要控制或改变的条件，选择实验方法和测试仪器，确定实测精度要求，实验方案设计和数据处理步骤等。
1.1实验设计的发展过程20世纪初，英国生物统计学家费歇尔（1890-1962）首次提出了“试验设计”术语。
20世纪40年代，英美两国开始在工业生产中应用。
50、60年代，日本田口玄—博士创造了正交试验设计法。
50年代，我国中科院数学研究所在正交实验设计的观点、理论和方法上有了新的创见，编制了一套较为适用的正交表，简化了实验程序和实验结果分析方法。
概率论与数理统计01 第一节 随机事件及其运算
第一章随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.第一节随机事件及其运算内容分布图示★随机现象★随机现象的统计规律性★样本空间★随机事件★事件的集合表示★事件的关系与运算★事件的运算规律★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5★内容小结★课堂练习★习题1-1内容要点：一. 随机现象从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.二. 随机现象的统计规律性由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.随机试验具有下列特点:1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.三. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e （或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S (或Ω).基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.四. 事件的集合表示按定义, 样本空间S 是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S 中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S 的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用S 的某一子集来表示,常用字母 ,,B A 等表示.五. 事件的关系与运算因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.六. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,例题选讲：例1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件A 表示选出的是男生, 事件B 表示选出的是三年级学生, 事件C 表示该生是运动员.(1)叙述事件C AB 的意义;(2)在什么条件下C ABC =成立? (3)什么条件下B C ⊂?(4)什么条件下B A =成立?解 (1) C AB 是指当选的学生是三年级男生, 但不是运动员.(2)只有在,AB C ⊂ 即B C A C ⊂⊂,同时成立的条件下才有C ABC =成立, 即只有在全部运动员都是男生, 且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有C ABC =.(3) B C ⊂表示全部运动员都是三年级学生, 也就是说, 若当选的学生是运动员, 那么一定是三年级学生, 即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有.B ⊂C(4) B A ⊂表示当选的女生一定是三年级学生, 且A B ⊂表示当选的三年级学生一定是女生. 换句话说, 若选女生, 只能在三年级学生中选举, 同时若选三年级学生只有女生中选举. 在这样的条件下, A B ⊂成立.例2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A , B , C , D , P , F 表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):]),100,90([优秀--A )),90,80([良好--B )),80,70([中等--C )),70,60([及格--D ]),100,60([通过--P )),60,0([未通过--F 则F D C B A ,,,,是两两不相容事件P 与F 是互为对立事件，即有;F P = D C B A ,,,均为P 的子事件，且有.D C B A P =例3（讲义例1）甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有兩人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少兩人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A (11)“三人中至多兩人中靶”： ;ABC 或;C B A注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由: (1) B B A B A )(=;(2) B A B A =; (3) C AB C B A = ; (4) ∅=))((B A AB . 解(1) 成立.B B A )()()(B B B A =(分配律)S B A )(=.B A =(2) 不成立.若A 发生, 则必有B A 发生, A 发生, 必有A 不发生, 从而B A 不发生, 故BA B A =不成立.(3) 不成立.若C B A 发生, 即C 发生且B A 发生, 即必然有C 发生. 由于C 发生, 故C 必然不发生, 从而C B A 不发生, 故(3)不成立. (4)成立.))((B A AB ))((A B AB =A B B A )(=A A )(∅=A ∅=.∅=例5化簡下列事件：(1) );)((B A B A (2) .B A B A B A 解(1) ))((B A B A )]([)]([B A B B A A =(分配律))()(B B A B B A A A =)()](∅= A B B A A (因A B A ⊂)A B A =.A =(2) B A B A B A B A B A B A B A =B A B A B A B A =(交换律))()(B A B A B A B A =(结合律))()(B B A B A A =.AB A B == (对偶律)课堂练习1. 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ).(A) B A 是C 的子事件; (B);ABC 或;C B A(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.。
11.2随机事件概率的计算
同理可得
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
例2 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
应用定义
B={第一颗掷出6点}
解:
解：设 Ai ={第 i 次取到的是次品},i =1, 2, 3.
则所求概率为：
P( A1A2A3 ) P( A1) P( A2 | A1
P( A1A2A3) 0. 002 .
)P(
A3
|
A1 A2
)
P( A1)
5 100
,
P(
A2 |
A1 )
4 99
,
P(
A3
|
A1 A 2
)
95 98
,
引例 三个罐子分别编号为 1, 2, 31，号装有 2 红 1 黑球 ,
称贝努里试验或贝努里概型
用X表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现 的次数，则
P ( X k ) Cnk pk (1 p)nk k 0,1, , n
称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p)
例2 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
由乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)，可知当事件 A、
B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约. 一、两事件独立的定义
随机事件与概率的计算知识点总结
随机事件与概率的计算知识点总结随机事件与概率是数学中的重要概念，在许多实际应用中得到广泛的运用。
下面将对随机事件与概率的计算知识点进行总结。
一、随机事件的基本概念随机事件指的是在一定条件下，结果具有不确定性的事件。
随机事件可以用集合论中的概念进行描述，即事件是样本空间中的一个子集。
二、事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的计算可以通过频率和几何概率方法进行。
1. 频率法频率指的是在重复实验中，某一事件发生的次数与总实验次数之比。
频率法计算概率的基本步骤是：进行大量实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
2. 几何概率法几何概率是指事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。
几何概率计算的基本原理是：事件发生的可能性与事件所占的样本空间的面积成正比。
三、常用概率计算公式在概率计算中，有一些常用的公式可以帮助我们计算事件的概率。
1. 事件的互斥与对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件则指的是两个事件中一个事件发生时，另一个事件一定不发生。
对于互斥事件，可以使用加法法则计算概率；对于对立事件，可以使用减法法则计算概率。
2. 事件的独立性与条件概率事件的独立性指的是两个事件的发生与否互不影响，可以独立计算概率。
条件概率指的是在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
四、排列与组合的计算在随机事件与概率的计算中，常常需要用到排列与组合的计算方法。
1. 排列排列是指从若干个元素中取出一部分并按照一定的顺序排列的方式。
排列的计算可以使用阶乘的方法进行。
2. 组合组合是指从若干个元素中取出一部分并不考虑顺序的方式。
组合的计算可以使用组合数的方法进行。
五、事件的加法与乘法规则在复杂事件的计算中，我们需要使用事件的加法与乘法规则。
1. 加法规则加法规则指的是对于两个不互斥事件的概率，可以通过将两个事件的概率相加来计算它们的并集概率。
2. 乘法规则乘法规则指的是对于两个独立事件的概率，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们的交集概率。
3-概率运算公式
P ( A1 A2 ⋯ An ) = P( A1 ) P ( A2 ) ⋯ P( An )
第一段 基本知识
例：甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮，已知甲击 中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率 为0.5，求敌 机被击中的概率。 解：记A={甲中敌机}，B={乙击中敌机} C={敌机被击中}，则 C=A+B P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6+0.5-0.6*0.5 =0.8
Ai = A1 A2 ⋯ Ai −1 Ai
P( A1 ⋯ Ai−1 Ai ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )⋯P( Ai | A1 ⋯ Ai−1 )
n −1 n − 2 n − i +1 1 = ⋯ n n −1 n − i + 2 n − i +1 1 = n
第一段、 第一段、基本知识
在实际问题中，除了要知道事件 B的概率外，有时还需要知道在“在 事件A已发生的条件下，事件B发生的 概率”，这个概率称为条件概率 条件概率。记 条件概率 为P(B|A)。 在上面讨论中，如果已知取到的 是蓝球，那么该球是玻璃球的概率是 多少？也就是求事件A已发生的条件 下事件B发生的概率P(B|A).
2 3 3 P( AB) = × = 5 4 10
两种方法结果相同。 两种方法结果相同。
第一段 基本知识
例 设袋中有2个红球，3个白球，第一次取出一球，取 后放回，第二次再取一球，求“第一次取得红球，第二 次取得白球”的概率。 解：用概率乘法计算。记 A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球} 于是 而 P(A)=2/5，P(B)=3/5 P(B|A)=3/5=P(B)，于是 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) =(2/5)*(3/5)=6/25
随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算随机事件的概率及计算随机事件的概率、古典概型、⼏何概型及随机模拟⼆. 课标要求：1、在具体情境中，了解随机事件发⽣的不确定性和频率的稳定性，进⼀步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会⽤列举法计算⼀些随机事件所含的基本事件数及事件发⽣的概率。
4、了解随机数的意义，能运⽤模拟⽅法（包括计算器产⽣随机数来进⾏模拟）估计概率，初步体会⼏何概型的意义；5、通过阅读材料，了解⼈类认识随机现象的过程。
三、命题⾛向本讲内容在⾼考中所占⽐重不⼤，纵观近⼏年的⾼考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有⼀定的灵活性、机动性。
纵观近⼏年的⾼考对概率要求降低，⼏何概型是新加内容，考试涉及的可能性较⼤。
预测⾼考：对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、⼏何概型的概率事件的计算为主，⽽以实际应⽤题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程（⼀）基本知识要点回顾1、随机事件的概念在⼀定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在⼀定条件下可能发⽣也可能不发⽣的事件；（2）必然事件：在⼀定条件下必然要发⽣的事件；（3）不可能事件：在⼀定条件下不可能发⽣的事件。
2、随机事件的概率事件A的概率：在⼤量重复进⾏同⼀试验时，事件A发⽣的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发⽣的两个事件叫做互斥事件；（2）对⽴事件：不能同时发⽣，但必有⼀个发⽣的两个事件叫做互斥事件；4、事件间的运算+）（）=；个，即此试验由所有结果出现的可能性都相等，那么每⼀基本事件的概率都是。
如果某个事件=。
=。
（1）“抛⼀⽯块，下落”.（2）“在标准⼤⽓压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某⼈射击⼀次，中靶”；（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”;（5）“掷⼀枚硬币，出现正⾯”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取⼀张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有⽔分，种⼦能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。
随机事件的概率计算和加法法则
随机事件的概率计算和加法法则随机事件的概率计算是概率论的基础知识，它帮助我们理解和预测可能发生的事件。
本文将重点介绍随机事件的概率计算方法以及加法法则，以便更好地理解和应用这些概念。
一、随机事件的概率计算方法1.经典概率经典概率是指在确定性条件下，根据事件发生的可能性来计算概率。
其中，“可能性”指的是有利结果数与样本空间的比值。
例如，抛一枚均匀硬币的正反面概率各为1/2，因为有利结果（正面或反面）为1个，样本空间（正面与反面）为2个，所以概率为1/2。
2.几何概率几何概率是指通过测量和计算几何空间中相对位置的概率。
它通常用于解决连续性随机变量的问题。
几何概率的计算方法与经典概率不同，它涉及到使用测量工具和数学模型来确定概率。
3.条件概率条件概率是指在已经发生了某一事件的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法利用了已知信息，其中"已知信息"是指条件发生的情况下样本空间的范围。
条件概率通常用符号P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
4.乘法法则乘法法则是计算多个事件同时发生的概率。
它的计算方法是将每个事件的概率相乘。
例如，假设有两个独立事件A和B，概率分别为P(A)和P(B)，那么同时发生事件A和B的概率为P(A)×P(B)。
二、加法法则加法法则是计算两个或多个事件发生的概率。
它可以用于计算事件A或事件B发生的概率，以及事件A和B同时发生的概率。
加法法则可以分为两种情况：互斥事件和不互斥事件。
1.互斥事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
如果事件A和事件B是互斥的，那么它们的概率可以通过将它们的概率相加来计算。
例如，假设事件A是抛一次硬币正面朝上的概率，事件B 是抛一次硬币反面朝上的概率，由于它们互斥，所以它们的概率可以计算为P(A)+P(B)。
2.不互斥事件不互斥事件是指两个事件可能同时发生或者其中一个事件发生时另一个事件也可以发生的情况。
概率公式总结
一、随机事件和概率1、随机事件及其概率、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X Eb)二F(b) P(a ：：： X <b)二F(b) — F(a)2、散型随机变量3三、多维随机变量及其分布1、 离散型二维随机变量边缘分布 P i.=P(X=X j )=' P(X=X i ,Y=y j )=' pjP j=P(丫 = yj)=' P(X=X j ,Y=yj)=' pjjji i2、 离散型二维随机变量条件分布x y3、 连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F (x, y)=匕打二f (u,v)dvdu4、 连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数x ■: : ■::分布函数： Fx (x) f (u,v)dvdu y -beF Y (y) f (u,v)dudv5、二维随机变量的条件分布 s(yx)—XY (xy)fyp —四、随机变量的数字特征1、 数学期望■bo 鈕离散型随机变量： E(X) X k P k连续型随机变量： E(X ) = xf (x)dxk=1一北2、 数学期望的性质(1) E(C) =C,C 为常数 E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)pi j= P(X=xi 丫= yj)史二二上,i”P(Y =y j)P j.pj i= P(Y = yjX =x i)7 丫知P(X =X i )P i .密度函数：fx (x)二 f(x,v)dv_f?0■ho fY(y)二 f(u, y)du⑵ E(X _Y) =E(X) -E(Y) E(aX —b)二aE(X) _b EGX1 C n X n) ^汨*) C n E(X n)⑶若XY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2空 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X) =E(X2) —E2(X)4、方差的性质2 2(1)D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) :：: E(X _C)2(2)D(X _Y) =D(X) D(Y) _2Cov(X,Y) 若 XY 相互独立则： D(X 二丫)= D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) =E(X,Y) -E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov(X,Y)=06、相关系数：P XY = P(X，丫) = Cov(X,Y)若XY相互独立则：P XY =0即XY不相关W(X)jD(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) =D(X) Co VX,Y) =Co VY,X) ⑵ Cov(X i X2,Y) =Cov(X i,Y) C OV(X2,Y) Cov(aX c,bY d) =abCo%,Y) 8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ==D(X) =；「2,对于任意0 有 P{X -E(X) 一 } 一卫孚或 P{X -E(X) ：： } 一1-卫冷91n1nXT X n相互独立且n T旳时，丄瓦Xi ― 丄瓦E(X i) n y nid2、大数定律：若⑸样本k 阶中心距：n1 _— k B k 二M k (X i -X)k,k =2,3…⑹次序统计量：设样本 (人必2…X n )的观察值 区也…冷)，将“X ?…冷按照由小到大的次序重新排列，得到X (1)岂乂⑵乞…岂Xg ，记取值为X(Q 的样本分量为X(Q ，则称X (1)岂X (2) <<X (n)为样本以皿 X .)的次序统计 量。
第1章 随机事件与概率
3. 必然事件 (Ω)
4. 不可能事件 ( ) —— 空集. 5. 随机变量 表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
第6页
1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
第一章 随机事件与概率
第30页
几何概型的例子
例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.
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第一章 随机事件与概率
蒲丰投针问题(续1)
第31页
解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，
又以表示针与此直线间的交角.
Pnr r!
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
注意
第24页
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
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第一章 随机事件与概率
第25页
1.2.3 确定概率的频率方法
➢ 随机试验可大量重复进行.
➢ 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， n( A)
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
概率的运算和事件的运算
概率的运算和事件的运算概率是数学中的一个分支，它研究随机事件发生的可能性。
在概率论中，事件是指一个或多个结果的集合，它们可能会发生或不发生。
事件的运算是对事件的组合进行操作，从而得到新的事件。
本文将着重介绍概率的运算和事件的运算。
一、概率的运算1. 加法原理加法原理是指，如果事件A和事件B是不相交的，那么它们的联合事件（即事件A或事件B发生）的概率等于事件A的概率与事件B 的概率之和。
例如，如果A表示抛掷一枚骰子时得到1或2的事件，B表示抛掷一枚骰子时得到3或4的事件，那么P(A或B)=P(A)+P(B)=2/6+2/6=4/6。
2. 乘法原理乘法原理是指，如果事件A和事件B是独立的，那么它们的交集事件（即事件A和事件B都发生）的概率等于事件A的概率与事件B 的概率之积。
例如，如果A表示从一副扑克牌中抽取一张红色牌的事件，B表示从一副扑克牌中抽取一张大牌（即A、K、Q、J、10中的一张）的事件，那么P(A且B)=P(A)×P(B)=26/52×20/52=5/26。
3. 条件概率条件概率是指，在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A且B)/P(B)，其中P(A且B)表示事件A和事件B都发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，如果A表示某人患有某种疾病的事件，B表示某人的年龄在40岁以上的事件，那么P(A|B)表示在已知某人年龄在40岁以上的情况下，他患有某种疾病的概率。
二、事件的运算1. 并集并集是指由两个或多个事件的所有结果组成的集合。
例如，如果A 表示抛掷一枚骰子时得到1或2的事件，B表示抛掷一枚骰子时得到2或3的事件，那么A和B的并集表示抛掷一枚骰子时得到1、2或3的事件。
2. 交集交集是指由两个或多个事件的公共结果组成的集合。
例如，如果A 表示从一副扑克牌中抽取一张红色牌的事件，B表示从一副扑克牌中抽取一张大牌的事件，那么A和B的交集表示从一副扑克牌中抽取一张既是红色牌又是大牌的事件。
随机事件的概率计算公式
随机事件的概率计算公式随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，它可以帮助我们理解和预测各种随机事件的发生可能性。
在概率论中，我们可以使用概率计算公式来计算随机事件的概率，这有助于我们进行各种决策和预测。
概率是一个介于0到1之间的数，表示事件发生的可能性。
概率为0意味着事件不会发生，概率为1意味着事件一定会发生。
对于一个随机事件来说，其概率可以通过以下公式来计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总事件数。
举个例子来说明，假设有一个有标号的骰子，它有6个面，每个面上的数字分别为1到6。
现在我们想要知道投掷这个骰子后，出现奇数的概率是多少。
我们需要确定样本空间N(S)，也就是所有可能的结果。
在这个例子中，样本空间N(S)为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，共有6个元素。
接下来，我们需要确定事件A，也就是出现奇数的情况。
在这个例子中，事件A为{1, 3, 5}，共有3个元素。
根据概率计算公式，我们可以计算出事件A发生的概率：P(A) = N(A) / N(S) = 3 / 6 = 0.5所以，投掷这个骰子后出现奇数的概率为0.5，也就是50%。
除了使用概率计算公式来计算随机事件的概率外，我们还可以利用一些概率规则来简化计算过程。
在概率论中，有几个常用的概率规则，包括加法规则、乘法规则和条件概率。
加法规则适用于两个事件同时发生的情况。
如果事件A和事件B是两个不相交的事件（即两个事件没有共同的元素），那么它们的概率可以通过以下公式计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率。
乘法规则适用于两个事件依次发生的情况。
如果事件A和事件B是两个相互独立的事件（即事件A的发生不会影响事件B的发生），那么它们的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
随机事件的概率与计算
随机事件的概率与计算在日常生活中，我们会遇到许多随机事件，如抛硬币、掷骰子、抽奖等。
而了解这些随机事件发生的概率以及如何进行计算，对我们能够做出合理的决策和判断至关重要。
本文将介绍随机事件的概率概念，以及一些常见的概率计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0和1之间取值。
0表示事件绝对不会发生，而1表示事件一定会发生。
一般而言，概率越高，事件发生的可能性就越大。
二、随机事件的分类随机事件可以分为两类：离散型和连续型。
1. 离散型事件：指在有限个取值中取值的事件，例如抛硬币的结果只能是正面或反面。
2. 连续型事件：指在某个区间内取值的事件，例如一个人的身高可以是任意实数。
三、概率计算方法常见的概率计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率：也称为“理论概率”，适用于等可能性事件。
它的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的元素个数，n(S)表示样本空间中的总元素个数。
2. 几何概率：适用于随机事件的概率与其可能的取值范围的长度成正比的情况。
计算公式为：P(A) = 长度(A) / 长度(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，长度(A)和长度(S)分别表示事件A和样本空间S的长度。
3. 统计概率：也称为“频率概率”，基于大量重复试验的统计结果。
计算公式为：P(A) = lim(n->∞) (n(A) / n)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验的总次数。
四、概率计算的实例以下是几个概率计算的实例，以帮助更好理解概率的计算过程。
1. 抛硬币的概率假设我们有一枚公平的硬币，它的正反面出现的概率应该相等。
因此，抛一次硬币正反面的概率都是1/2。
2. 掷骰子的概率假设我们有一个六面骰子，每个面的概率都是1/6。
因此，掷一次骰子每个面出现的概率都是1/6。
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第一周随机事件及其概率运算
1.1随机试验与随机事件
同学们好！欢迎大家参加中国大学先修课程《概率论与数理统计》的学习。
我是清华大学数学科学系的教师梁恒，很高兴在今后一段时间里与大家分享一些概率论与统计学中最基本、最重要也是最常用的经典成果。
概率论与统计学集中对不确定性进行定量研究，建立了描述不确定性的有效数学模型和理论方法。
随着现代科学技术的发展，深刻地理解不确定性有着越来广泛和紧要的需求，概率论与统计学已经成为科学研究、工程技术、经济管理，乃至人文社科等领域不可或缺的工具。
这门课程的基本内容和方法不仅是提供了一些有效工具，更反映出独特的思维模式，很好地体现了数学理论和实际应用的联系。
本课程面向已经有一些微积分基础的优秀中学生，强调抽象原理与现实应用的紧密结合，希望通过深入浅出的内容，引导同学们从传统的确定性思维模式逐步熟悉和掌握随机性思维模式，当然也希望能够激发同学们的学习兴趣，提升大家的科学素养，为同学们在大学后继课的学习奠定良好的数学基础并帮助同学们适应从初等数学到高等数学，学习观念上的转变，更好地适应即将到来的大学学习和生活。
第一周我们主要学习随机事件及事件的概率运算。
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偶然性与不确定性的概念几乎与人类文明本身一样的古老。
人们不得不应付天气变化、传染病的侵袭、战争胜负，以及一次捕猎是否成功等等的不确定现象。
很久以前，人们就对理解和运用不确定性的机理和特征产生了兴趣。
早在公元前3500年左右，古埃及等地就已经出现了利用动物骨头制作的具有随机性质的游戏。
通常人们都认为近代的概率论，也就是概率的数学理论是由十七世纪法国数学家帕斯卡和费马共同开创的，他们成功地推导出一些赌博规则对应的实际概率，获得了一些有效的计算公式。
从那时起，概率论得到了稳步的发展，被越来越多地应用到工程、科学、管理、医药等领域，成为与微积分、线性代数同等重要的最基础的数学工具之一。
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随机试验与样本空间
如果一个试验事先能够明确地知道试验所有可能的基本结果，在每一次观察中，不能
事先准确地预言其中哪一个基本结果会发生，并且在相同条件下可以重复进行，则称此试验为随机试验。
随机试验的每种基本结果称为一个样本点ω，全体基本结果构成的集合称为样本空间，通常记为Ω。
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例1.1.1考察下面几个随机试验的样本空间
试验1：将一枚均匀硬币抛3次，观察出现正面的次数；{}3,2,1,01=Ω；
试验2：同时掷两颗六面的色子，观察所得的点数和；{}12,,4,3,22 =Ω试验3：某网站在某一段时间内被点击的次数；{}
,3,2,1,03=Ω试验4：在一批电子器件中任意取一只，测试其寿命。
{}
0|4≥=Ωt t *********************************************************
样本空间中具备某种属性的样本点的集合叫做一个随机事件，简称为事件，通常用大写字母A、B、C 等表示。
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
对于Ω⊂A ，A w ∈⇔事件A 发生；A w ∉⇔事件A 未发生。
例如：掷两颗色子的随机试验中，随机事件“点数和为3的倍数”对应集合{}12963,,,=A 。
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例1.1.2考虑例1.1.1中的随机试验3，即某网站在某一段时间内被点击的次数，试写出下列事件包含的样本点：
=A {一小时内被点击次数在10到20次之间}；
{}20,,12,11,10 =A =B {一小时内被点击次数不多于7次}；
{}7,6,5,4,3,2,1,0=B =C {一小时内被点击次数为偶数次}；{}
,2,,6,4,2n C ==D {一小时内被点击次数至少为0次}；
{},,,,0123D =Ω= =E {一小时内被点击次数少于0次}.
E =Φ
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字幕(出镜)：样本空间Ω包含所有的样本点，若事件集合等于Ω本身，则在每次试验中它总是发生的，故称为必然事件；而空集Φ中不包含任何样本点，它在每次试验中都不可能发生，故称为不可能事件。
为讨论方便，以及概念的完整性，虽然必然事件与不可能事件并不具有不确定性，我们仍然常常将它们作为随机事件的特例，纳入到随机事件的范畴来统一考虑。
（备注3：话音结束后，再在此画面多停留3-5秒，然后切入下一页）
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事件的示性函数
函数()⎩
⎨⎧∈=otherwise A w w I A ,,0 1，称为事件A 的示性函数或标志函数（indicator）*********************************************************。