人教版数学高二-高二必修五不等式第10课时 刘燕

2a b 与 ４．基本不等式的证明方法： 比较法分析法，综合法． 2

ab 2ab 由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相求证: a 2+b 听课随笔

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(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z 证明：因为题目简单，证略．

点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 222(,)a b ab a b R (2) 22

(,)2a b ab a b R (3) 2(,)a b ab a b R (4) 2()(,)2a b

ab a b R

2.学会多次运用和创造条件运用基本不

等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可

将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式． ３．注意严格不等式的证明方法． 思维点拔：

1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题

的方法技巧，以让学生初步领会不等式证

明的基本方法．

２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),则12n

a a a n (n>1,n N

)

追踪训练

１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．

（１）２与８ 答案：５，４

（２）３与１２ 答案：７.５，6 （３）Ｐ与９Ｐ 答案：５p ，3p （４）２与２2p 答案：p 2+1，2p ２．已知a>1求证a+1

1a ≥3

略证．

３．已知a+b+c=1,求证a 2+b 2+c 2≥1

3

提示：只要证3(a 2+b 2+c 2）≥1即可．

４．已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 ,

求证: c b a c b a ++>++1

11

注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何

不能成立．

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