高中数学必修5一元二次不等式及其解法知识讲解
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高三数学一元二次不等式及其解法
-2 -1 O
3 2 1 x 1 -1 -2 -3 2 3
1 25 ( ,) 2 4
观察这个图象,可以看出,抛物线位于 观察这个图象,可以看出,抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零 纵坐标大于零, 轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点 的横坐标的集合
y
A={x| x<-2或x>3}是一元二 - 或 是一元二 次不等式x2-x-6>0的解集. 次不等式 - 的解集. 抛物线位于x轴下方的点 抛物线位于 轴下方的点 的纵坐标小于零, 的纵坐标小于零,因此这些 点的横坐标的集合 集合B={x| - 点的横坐标的集合 2<x<3}是一元二次不等式 2 是一元二次不等式x 是一元二次不等式 -x-6<0的解集. - 的解集.
y 3 2 1 x O -1 1 2 3
解:对于任意实数x, 对于任意实数 , x2-2x+3=(x-1)2+2>0, - , 因此不等式(1)的解集为 因此不等式( ) 实数集R, 实数集 , 不等式(2)无解,或说它 不等式( )无解, 的解集为空集. 的解集为空集
-1 O -1 y 3 2 1 x 1 2 3
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 < x < 3
因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3). ,所求函数的定义域是 , 因此
�
通过以上两例, 通过以上两例,我们不难对一元二次 不等式ax 不等式 2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 和 (a>0)解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析 的判别式为△ 设方程ax 设方程 2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△. 的判别式为 (1)当△>0时,二次方程 2+bx+c=0有两 ) 时 二次方程ax 有两 个不等的实数根x ,(设 个不等的实数根 1,x2,(设x1<x2). 考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象, 的图象, 考察这类二次函数 的图象 这时,函数的零点把x轴分成三个区间 这时,函数的零点把 轴分成三个区间
3 2 1 x 1 -1 -2 -3 2 3
1 25 ( ,) 2 4
观察这个图象,可以看出,抛物线位于 观察这个图象,可以看出,抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零 纵坐标大于零, 轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点 的横坐标的集合
y
A={x| x<-2或x>3}是一元二 - 或 是一元二 次不等式x2-x-6>0的解集. 次不等式 - 的解集. 抛物线位于x轴下方的点 抛物线位于 轴下方的点 的纵坐标小于零, 的纵坐标小于零,因此这些 点的横坐标的集合 集合B={x| - 点的横坐标的集合 2<x<3}是一元二次不等式 2 是一元二次不等式x 是一元二次不等式 -x-6<0的解集. - 的解集.
y 3 2 1 x O -1 1 2 3
解:对于任意实数x, 对于任意实数 , x2-2x+3=(x-1)2+2>0, - , 因此不等式(1)的解集为 因此不等式( ) 实数集R, 实数集 , 不等式(2)无解,或说它 不等式( )无解, 的解集为空集. 的解集为空集
-1 O -1 y 3 2 1 x 1 2 3
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 < x < 3
因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3). ,所求函数的定义域是 , 因此
�
通过以上两例, 通过以上两例,我们不难对一元二次 不等式ax 不等式 2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 和 (a>0)解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析 的判别式为△ 设方程ax 设方程 2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△. 的判别式为 (1)当△>0时,二次方程 2+bx+c=0有两 ) 时 二次方程ax 有两 个不等的实数根x ,(设 个不等的实数根 1,x2,(设x1<x2). 考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象, 的图象, 考察这类二次函数 的图象 这时,函数的零点把x轴分成三个区间 这时,函数的零点把 轴分成三个区间
一元二次不等式及其解法ppt课件(自制)
下面我们通过实例，研究一元二次不等 式的解法，以及它与相应的方程、函数之 间的关系。 例如解不等式：
（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.
我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6 = (x 1 )2 25 的图象和性质。
24
方程x2－x－6=0的判别式 1 4 1 ( 6 ) 2 5 0
新课标人教版课件系列
《数学》
必修5
3.3 《一元二次 不等式及其解法》
教学目标
▪ 掌握一元二次不等式的解法 ▪ 教学重点： 一元二次不等式的解法
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0. 这两个不等式有两个共同特点： （1）含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2.
1
实数x，都有x2－2x+3>0。
x
-1 O 1 2 3
-1
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
通过以上两例，我们不难对一元二次 不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。 设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。 （1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两 个不等的实数根x1，x2，（设x1<x2）.
3
2x
x2
高中数学必修五课件：3.2-2《一元二次不等式及其解法》(人教A版必修5)
A．(－2,2] B．[－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：由题设条件知： ①Δa－＝2[2<0a，－2]2－4a－2×－4<0. ∴a－<22<，a<2. ∴－2<a<2. ②当a－2＝0时，原不等式恒成立．∴a＝2. 综合①②可得a的取值范围为：(－2,2]．故选A.
[例3] 若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－ 1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取 值范围如何？
[分析] 此为二次方程根分布问题．
[解] ∵函数 f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3 的图象是连续曲线， 由题意可知 f(－1)f(1)<0 且 f(1)f(3)<0， 即3－k－k－24－3kk－ －46<<00， ，
分式不等式的常见解法
(2)指数、对数不等式的解法．
解指数、对数不等式的依据是指数、对数 函数的概念和性质，因而同底法是解指数、 对数不等式的基本方法．当然，最终是将 它们转化为代数不等式，其主要类型和解 法是：
①
af(x)>aφ(x)⇔f(x)>φ(x)(a>1)
或
f(x)<φ(x)(0<a<1)．
A．x2＋2x＋1>0
B. x2>0
C．(13)x＋1>0
D.1x－2<1x
()
解析：∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； ∵ x2＝|x|≥0，∴B不正确； ∵(13)x>0，∴(13)x＋1>1>0(x∈R)，故C正确 ； 1x－2<1x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C.
答案：C
解析：由题设条件知： ①Δa－＝2[2<0a，－2]2－4a－2×－4<0. ∴a－<22<，a<2. ∴－2<a<2. ②当a－2＝0时，原不等式恒成立．∴a＝2. 综合①②可得a的取值范围为：(－2,2]．故选A.
[例3] 若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－ 1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取 值范围如何？
[分析] 此为二次方程根分布问题．
[解] ∵函数 f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3 的图象是连续曲线， 由题意可知 f(－1)f(1)<0 且 f(1)f(3)<0， 即3－k－k－24－3kk－ －46<<00， ，
分式不等式的常见解法
(2)指数、对数不等式的解法．
解指数、对数不等式的依据是指数、对数 函数的概念和性质，因而同底法是解指数、 对数不等式的基本方法．当然，最终是将 它们转化为代数不等式，其主要类型和解 法是：
①
af(x)>aφ(x)⇔f(x)>φ(x)(a>1)
或
f(x)<φ(x)(0<a<1)．
A．x2＋2x＋1>0
B. x2>0
C．(13)x＋1>0
D.1x－2<1x
()
解析：∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； ∵ x2＝|x|≥0，∴B不正确； ∵(13)x>0，∴(13)x＋1>1>0(x∈R)，故C正确 ； 1x－2<1x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C.
答案：C
一元二次不等式及其解法课件ppt(人教A版必修5)
例4.不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 {x | x }, 求 a, b. 2 3 1 1 2 , 是方程 ax bx 2 0 解:由题意可得,
2 3
的两个根,且a<0.
1 1 b 2 3 a 1 1 2 2 3 a
解得:
a 12, b 2.
的解集
x | x1 x x2
例题选讲
题型二.不含参数的一元二次不等式的解
例2.解下列不等式
(1)2x 5x 3 0
2
(2) 3x 15x 12 2 (3) 3x 6 x 2
2
(4)4x 4x 1 0
2
练习:P80 1
2
(5) x 2x 3 0
2
取值范围. 2.已知 A {x | x2 x 6 0}, B {x | x2 2x 8 0},
C {x | x2 4ax 3a2 0}, 若 A
B
题型八. 应用问题
一元二次方程
2
与x轴交点的横坐标。 下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
一元二次不等式的解集如下表
b 2 4ac
二次函数
0
y
0
y
y
x1 = x2
0
0
没有实根
y ax2 bx c(a 0)
的图像 一元二次方程
x1
0
x2 x
0
x
x
ax2 bx c 0(a 0)
变式：已知关于x的不等式(a b) x (2a 3b) 0 1 的解集为(, )，求关于x的不等式 3 (a 3b) x (b 2a) 0的解.
高中数学北师大版必修5《第3章22.2一元二次不等式的应用》课件
)
(3)应用穿针引线法解不等式(x＋2)2(x－3)＞0，可得其解集为
(2,3)．( )
[答案] (1)× (2)× (2)×
36
[提示] (1)错误，不等式3xx＋＋15＞2 与xx＋ ＋31＞0 同解； (2)错误，xx－ ＋12≤0 与(x－1)(x＋2)≤0 且 x＋2≠0 同解； (3)错误，(x＋2)2(x－3)＞0 的解集为(3，＋∞)．
31
2．(变结论)例 3 的条件不变，若存在 x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5 恒 成立，求 m 的取值范围．
[解] 不等式 f(x)＜－m＋5 可化为 mx2－mx－1＜－m＋5， 即 m(x2－x＋1)＜6，由于 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，故原不等式 等价于 m＜x2－6x＋1. 当 x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，故x2－6x＋1∈67，6，由题意可 知 m＜6.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函 数关系式；
(2)设 k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益 比上年度至少增长 20%?
19
[解] (1)设下调后的电价为 x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至 x－k0.4＋a，电力部门的收益为 y＝x－k0.4＋a(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
5
思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？ [提示] 可以 (2)应用穿针引线法解高次不等式 f(x)＞0，对 f(x)的最高次项的系 数有什么要求吗？ [提示] 把 f(x)最高次项的系数化为正数．
6
1．不等式43xx＋－21>0 的解集是(
)
A．xx>13或x<－12
B．x－12<x<13
高中数学人教A版必修5《3.2.5一元二次不等式的恒成立问题》课件
例4 在R上定义新运算：x*y=x(1-y)，
若不等式 (x-a)*(x+a)<1对任意 实数x恒成立，求a的取值范围。
x2 x a2 a 1 0
解法1：常规方法不等式ax2 ax 2 0恒成立 求a的取值范围。 2.关于x的不等式ax2 2ax 1 0恒成立 求实数a的取值范围
求a的取值范围。
例例23.关于x的函数y mx2 6mx m 8
恒有意义，求实数m的取值范围
定义域为R
例3已知 f(x) x2 2(a 2)x 4
(1)如果对于一切 x R , f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围 (2)如果对于一切 x [-3,1] , f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围
一元二次不等式的恒成立问题
一、问题引入 — 解下列不等式
1.x2 x 3 0
不2等.3式x 2的解2 x集为1R
0
解集为R, 称之为 “恒成立”
对3任.2意x2（所2x有、3 一 0切）实数都成立
不这些等不式等x式2-所x对+3应≤的0二的次解函数集的为开空口方集向
以及判别式有什么共同特征？
以上开几口种向说上法，是否 完0 全相同？
3.若关于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 2 0 恒成立，求实数a的取值范围
他想，继续这样混下去，只能静静地躺在海中，无声地被海水埋没，永远没有出头之日。发现了它原来是个死东西以后，它走近它，由于好奇，把它从两边敲了敲，它高兴地想道：“哎呀，我好歹找到 吃的东西了!这个东西一定是填满了肉和脂肪的。饥饿的巨蛇赶紧接受了邀请。
关于x的不等式ax2 bx c 0恒成立的条件是什么？
a 0 0
或a b 0且c 0
一元二次不等式及其解法课件
人民教育出版社普通高中实验教科科书《数学》必修5
§3.2
一元二次不等式及其 解法（1）
xxx
问题：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有 两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元； 公司B的收费规则如图所示：即在用户上网的第1 小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每 小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）.
一般来说，一次上网 不会超过17个小时，所以， 假设一次上网时间总小于 17小时。那么，一次上网 在多长时间以内能够保证 选择公司A比选择公司B所 需费用少？
分析：假设一次上网 小时， 则： 公司A收取的费用为： 1.5 x （元） 公司B收取的费用为：
x 1.7 1.7 x 1 0.1 2
5
y0 2 所以， x 5x 0的解集为：
x 0 x 5.
所以，当一次上网在5小时内，选择A公司的费用 少；超过5小时，选择B公司的费用少。 事实上，上述方法我们可以推广到求一般一元二 2 2 次不等式 ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0) 的解 集。
R
ax 2 bx c 0 x x1 x x 2 (a 0)的解集
求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
典例剖析 规范步骤
例1. 解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ >0,
方程2x2－3x－2 ＝0的解是
2 x 容易知道，方程 5 x 0 的两个实数根:
x1 0, x2 5
§3.2
一元二次不等式及其 解法（1）
xxx
问题：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有 两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元； 公司B的收费规则如图所示：即在用户上网的第1 小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每 小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）.
一般来说，一次上网 不会超过17个小时，所以， 假设一次上网时间总小于 17小时。那么，一次上网 在多长时间以内能够保证 选择公司A比选择公司B所 需费用少？
分析：假设一次上网 小时， 则： 公司A收取的费用为： 1.5 x （元） 公司B收取的费用为：
x 1.7 1.7 x 1 0.1 2
5
y0 2 所以， x 5x 0的解集为：
x 0 x 5.
所以，当一次上网在5小时内，选择A公司的费用 少；超过5小时，选择B公司的费用少。 事实上，上述方法我们可以推广到求一般一元二 2 2 次不等式 ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0) 的解 集。
R
ax 2 bx c 0 x x1 x x 2 (a 0)的解集
求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
典例剖析 规范步骤
例1. 解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ >0,
方程2x2－3x－2 ＝0的解是
2 x 容易知道，方程 5 x 0 的两个实数根:
x1 0, x2 5
高中数学课件归纳必修5第三章不等式一元二次不等式的解法7
(2) -3x2+6x>2
(3) 4x2-4x+1>0 解：令4x2-4x+1=0 ∵△=16-16=0
0.5
方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2 ∴原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4)- x2+2x-3>0
解： x2-2x+3<0 令x2-2x+3=0 ∵△=4-12= -8<0 ∴方程2x2-3x-2=0无实数根 ∴原不等式的解集为ф
由上述讨论及例题，可归纳出用图象法解一 元二次不等式的程序如下： 1.将不等式化为标准形式：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
2.解出相应的方程的根。 3.确定相应函数图象与x轴交点坐标。
4.画出相应函数图象，根据图象确定所求不等 式的解集。
课堂练习
(1)3x2-7x+2<0 (2)–6x2-x+2 ≦0 (3)4x2+4x+1<0 (4)x2-3x+5>0
解:令x2-4x+1=0
X1=2-√3, x2=2+√3 ∴当x=2- √3, 2+√3 时,y=0 当x<2- √3或x> 2+√3 时,y>0 当2- √3<x<2+√3 时,y<0
课堂练习3. x是什么实数时, √x2+x-12有意义?
解: x2+x-12≧0 解之得 x≦ - 4或x≧3
∴当x≦ - 4或x≧3时√x2+x-12有意义
Y<0
不等式x2-x-6<0 的解集为_﹛_x_|-_2_<_x<_3_﹜_
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
§3.2 一元二次不等式 及其解法
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修54
若(x－m)(x－n)<0，则可得 m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要 对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”， 讨论需从以下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
2018春高中数学必修五课件：3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法3 精品
2.解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解题探究】1.典例1中关于x的不等式x2+ax-6a2<0对 应的方程的根分别是多少？能否比较大小？ 提示：对应方程的根分别是-3a和2a，由于a<0， 故-3a>2a. 2.典例2中解此不等式应注意什么？ 提示：在因式分解之后需对方程的两根(含有参数a)进 行大小比较，所以要进行讨论.
(2)从方程的角度看
设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)
的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，
则有
x1 x1x 2
x2
c， a
b a
，
即不等式的解集的端点值是相应方程
的根.
【题型探究】
类型一 解一元二次不等式
(3)当Δ<0时，此时方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等 式①的解集为R，不等式②的解集为∅.
2.从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集，即二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)满足y>0时的自变量x组成的集合，亦 即二次函数y=ax2+bx+c>0(a>0)的图象在x轴上方时点 的横坐标x的集合，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的 根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
当0<a<1时，a2<a，x<a2或x>a； 当a=1时，a2=a，x≠1； 当a>1时，a<a2，x<a或x>a2. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为 {x|x<a2或x>a}； 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a2或x<a}.
高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为 禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值，并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式可化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
2a
韦达定理
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向；
b 对称轴 x
3.2一元二次不等式及其解法 教学课件 PPT
[答案] 含有一个未知数 x 未知数 x 的最高次数为 2
第三章 不等式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
新课引入
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用，各地一线城市的房价增速下降，但仍是涨多跌少．某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2，到了 2011 年 2 月末，楼盘 均价高于 20 580 元/m2，那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数？能列出不等式求解吗？
温故知新
1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________．
[答案] ax＋b>0(a≠0) ax＋b<0(a≠0)
第三章 不等式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
2．不等式 2x2－x＋1>0 和 x2＋2x－3<0 的两个共同点是 ________和________．
第三章 不等式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
①△＞0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1、 x2，设 x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1 或 x＞x2}，不等式(2) 的解集为{x|x1＜x＜x2}；
②△＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的根，即 x1＝x2 ＝－2ba，此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－2ba}，不等式(2)的解 集为∅；
第三章 不等式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
第三章 不等式
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第三章 不等式
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新课引入
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用，各地一线城市的房价增速下降，但仍是涨多跌少．某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2，到了 2011 年 2 月末，楼盘 均价高于 20 580 元/m2，那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数？能列出不等式求解吗？
温故知新
1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________．
[答案] ax＋b>0(a≠0) ax＋b<0(a≠0)
第三章 不等式
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2．不等式 2x2－x＋1>0 和 x2＋2x－3<0 的两个共同点是 ________和________．
第三章 不等式
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①△＞0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1、 x2，设 x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1 或 x＞x2}，不等式(2) 的解集为{x|x1＜x＜x2}；
②△＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的根，即 x1＝x2 ＝－2ba，此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－2ba}，不等式(2)的解 集为∅；
第三章 不等式
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第三章 不等式
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问：一次上网在多长时间以内能够保证选择 电信比选择网通所需费用少？
新课导入
分析：假设一次上网x小时，
则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知，网通公司收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，…… ∵ 1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项，以-0.1为公差的等差数列
∴网通公司的收取费用为 1.7x x(x 1) (0.1) x(35 x)
一元二次不等式的解法
判别ห้องสมุดไป่ตู้ △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y
x1 O x2 x
△=0 y
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O x1
x
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
• 1、三个二次的关系，注意结合图像； • 2、将一元二次不等式化为标准形式；
作业：
课本80页习题3.2 A组第1、2题
例2.求函数 f (x) 2x2 x 3 log3(3 2x x2) 的定义 域.
解：要使得函数有意义，则
2x2 x 3 0
3
2x
x2
0
，
即：x
1或x
3 2
1 x 3
， 也即 1 x 3
故函数 f (x) 的定义域是[1,3) 。
课堂小结
这节课我们学习了一元二次不等式的解法，同学们下去 可以多注意以下两点
2
20
如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则1.5x x(35 x)
20
整理得 x2 5x 0
这是什么？
新知讲解
一元二次不等式
像 x2 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x2 5x 0 怎样
去求解呢？
• 2.计算判别式的值： • 3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相
应方程的两根； • 4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的
形式
课堂练习：P80练习题1题（1）（3）（5）
求解一 元二次不等 式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程 序框图:
x b 2a
△≥0
x< x1或x> x2
例题讲解
高中数学必修5
一元二次不等式及其解法
共两课时 （第一课时）
新课导入
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准：
电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二
小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用 户一次上网时间超过17小时，按17 <不妨设该同学一次上网不超过17小时>
{x|x≠
b
2a}
△<0 y
x O 没有实根
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
例题讲解
例 1.解下列关于x 一元二次不等式
（1）x2 x 6 0 (2)4x2 4x 1 0 (3) x2 2x 3 0
解一元二次不等式的步骤：
• 1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为 0、最高次的系数为正）；
探究新知
y
我们来考察与其所对的二次 函数 y x2 5x 的关系：
（1）当 x 0 或 x 5 时，y 0
O
（2）当 x 0 或 x 5 时，y 0
（3）当0 x 5 时，y 0
x
5
下结论：
结合图像知不等式 x2 5x 0 的解集 是 {x | 0 x 5}
推广：
那么对于一般的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？
新课导入
分析：假设一次上网x小时，
则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知，网通公司收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，…… ∵ 1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项，以-0.1为公差的等差数列
∴网通公司的收取费用为 1.7x x(x 1) (0.1) x(35 x)
一元二次不等式的解法
判别ห้องสมุดไป่ตู้ △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y
x1 O x2 x
△=0 y
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O x1
x
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
• 1、三个二次的关系，注意结合图像； • 2、将一元二次不等式化为标准形式；
作业：
课本80页习题3.2 A组第1、2题
例2.求函数 f (x) 2x2 x 3 log3(3 2x x2) 的定义 域.
解：要使得函数有意义，则
2x2 x 3 0
3
2x
x2
0
，
即：x
1或x
3 2
1 x 3
， 也即 1 x 3
故函数 f (x) 的定义域是[1,3) 。
课堂小结
这节课我们学习了一元二次不等式的解法，同学们下去 可以多注意以下两点
2
20
如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则1.5x x(35 x)
20
整理得 x2 5x 0
这是什么？
新知讲解
一元二次不等式
像 x2 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x2 5x 0 怎样
去求解呢？
• 2.计算判别式的值： • 3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相
应方程的两根； • 4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的
形式
课堂练习：P80练习题1题（1）（3）（5）
求解一 元二次不等 式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程 序框图:
x b 2a
△≥0
x< x1或x> x2
例题讲解
高中数学必修5
一元二次不等式及其解法
共两课时 （第一课时）
新课导入
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准：
电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二
小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用 户一次上网时间超过17小时，按17 <不妨设该同学一次上网不超过17小时>
{x|x≠
b
2a}
△<0 y
x O 没有实根
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
例题讲解
例 1.解下列关于x 一元二次不等式
（1）x2 x 6 0 (2)4x2 4x 1 0 (3) x2 2x 3 0
解一元二次不等式的步骤：
• 1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为 0、最高次的系数为正）；
探究新知
y
我们来考察与其所对的二次 函数 y x2 5x 的关系：
（1）当 x 0 或 x 5 时，y 0
O
（2）当 x 0 或 x 5 时，y 0
（3）当0 x 5 时，y 0
x
5
下结论：
结合图像知不等式 x2 5x 0 的解集 是 {x | 0 x 5}
推广：
那么对于一般的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？