圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)

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圆锥曲线统一性质(动态图示)

目录一、几个统一定义1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二圆锥曲线动态结构135例众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：二、与焦半径相关的问题3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31．圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38．圆锥曲面光线反射路径的性质39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质42．圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46．椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积问题探究1动点P 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则（1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？（2）若BM tMQ =u u u u r u u u u r，直线l 过点M ，与直线QA 的交于点P ，则点P 轨迹又是什么？实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆备用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线备用课件问题探究2已知定点(1,0)A -，定直线1l ：3x =-，动点N 在直线1l 上，过点N 且与1l 垂直的直线2l 上有一动点P ，满足PAPNλ=，请讨论点P 的轨迹类型. 实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）问题探究3已知两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足条件8PA PB +=，另一动点Q满足0,()0PA PB QB PB QP PA PB•=•+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质问题探究4已知两定点(2,0),(2,0)A B -，动点P 满足条件2PA PB -=，动点Q 满足()0PA PBQB PA PB•+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()0PA PB QP PA PBλ++=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）备用课件5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质问题探究51．已知动点P在椭圆22143x y+=上，F为椭圆之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF+u u u u r u u u r是否为定值2．已知点P在双曲线22143x y-=上，F为双曲线之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF-u u u u r u u u r是否为定值实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆相切（此圆与双曲线外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此圆无穷大与曲线外切）备用课件6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质问题探究6过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交备用课件抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切备用课件7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质问题探究71．已知动点P在椭圆22143x y+=上，12,F F为椭圆之左右焦点，点G为△12F PF的内心，试求点G的轨迹方程.2．已知动点P在双曲线22143x y-=上，12,F F为双曲线之左右焦点，圆G是△12F PF的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线备用课件8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支11112||||AF BF ep += AB 在异支11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C ∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AF C ∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为(1,3)e =r 的直线l 过点(0,23)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=019．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一问题探究19已知椭圆22184x y +=，过点T(1,0)的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明∣TN ∣=∣TM ∣.实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点 T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二问题探究20已知椭圆22184x y +=，过点(0,1)T 的直线12,l l 分别交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点和3344(,),(,)C x y D x y 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明1324y y y y -=-.实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M 的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过双曲线虚轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点M （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）问题探究21已知椭圆22184x y +=，过原点(0,0)O ，点(2,1)T 的直线l 交椭圆于点N ，过点T 的中点弦为AB ，过A ，B 分别作切线12,l l 且交于点P ，求证：2||||||OT OP ON =.实验成果动态课件椭圆中心O 与点00(,)P x y 的连线交椭圆于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动.备用课件双曲线中心O 与点00(,)P x y 的连线交双曲线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动(直线保持平行).备用课件设过点P 与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||O Q O P O N ∞∞∞=.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线00()y y p x x =+作反向运动(直线保持平行).备用课件22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）问题探究22过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l 过点P 与抛物线交于两点C 、D ，与直线AB 交于点Q ，试探求||PQ PQPC PD +的值是否为定值.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，与椭圆切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，与双曲线切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）问题探究23已知椭圆22184x y +=，过点T (1,0)的直线1l ，2l 分别交椭圆于两点C 、D ，点Q 在直线l 上，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，试探求点Q 的轨迹.实验成果动态课件过椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然. 备用课件24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）问题探究24过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l ：2x =与抛物线交于点N ，与直线AB 交于点Q ，求证：（1）N 点处的切线与直线AB 平行.（2）AQ QB =u u u r u u u r.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=中心与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦001Ax x By y +=.备用课件双曲线221Ax By +=中心与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦001Ax x By y +=. 备用课件过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦. 备用课件25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（弦过定点）问题探究25过抛物线2y x =外一点(1,2)Q 作抛物线的中点弦AB （Q 为AB 中点），两条切线PA ，PB 交于点P ，过点P 作直线l ，且l ∥AB ，点G 是直线l 上的动点，过G 作抛物线的两条切线GC 、GD ，求证：直线CD 过定点.实验成果动态课件点T 是与椭圆221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与双曲线221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与抛物线22y px =外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .（PQ 平行对称轴）备用课件26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一问题探究26已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分备用课件27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二问题探究27已知双曲线22131x y -=，过(,0)N t 点的直线1l 交双曲线于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分. 备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分.备用课件过抛物线对称轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被对称轴平分备用课件28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线问题探究28抛物线24y x =，直线l 过点(,0)F t 并交抛物线于M 、N ，若)0(>=λλFN MF ，直线x t =-与x 轴交于点E ，试探究：EN EM EF λ-与的夹角是否为定值.实验成果动态课件过点Q (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，2(,0)a P t三点共线.备用课件过点Q (T ,0)的任一直线交双曲线于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ， 2(,0)a P t三点共线.备用课件过点P (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，P ’(-t ,0)三点共线.备用课件29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质问题探究29过点(2,0)P 作抛物线24x y 的切线P A （斜率不为0），F 为焦点，研究斜率PF PA k k 与的关系.实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线与焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成的角相等. 备用课件30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质问题探究30过点(1,2)P 作抛物线24y x =的直线P A 、PB ，且斜率0PB PA k k =+. （1）探究直线AB 的斜率是否为定值.（2）试研究三角形P AB 的面积是否有最大值.实验成果动态课件过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双曲线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛物线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件31．圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质问题探究31已知椭圆22184x y+=的动弦AB的中点为M，试研究斜率AB OMk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值1PA PBK K⋅=-备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=-备用课件双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=备用课件32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）问题探究32已知点P为椭圆22184x y+=上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率OPk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆切线与半径的斜率积为定值1PO LK K⋅=-备用课件椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=-备用课件双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=备用课件。

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep += 11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12已知椭圆22143x y+=，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l交椭圆于A，B两点，,C D分实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线（抛物线的D点在无穷远处）.备用课件别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点，实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件并证明之.15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AF C∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D∠备用课件已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件问题探究16已知椭圆22184x y+=，过点(2,0)N的直线12,l l分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线4x=.17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y+=，点1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l分别交椭圆于A，B两点，实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.备用课件设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 试求λμ+的值.18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18 已知方向向量为3)e =r 的直线l 过点(0,3)A -和椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r .⑴求椭实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F BAF m F Be m m e→→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F BAF m F Be m m e →→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即备用课件圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r ，求12λλ+的值.。

2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.3双曲线的方程与性质的应用课件新人教A版

则以定点B(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)，即为y＝3x－2．代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0，由Δ＝122－4×6×7＝－24＜0，得所求直线不存在，以定点B(1,1)为中点的弦不存在．
1．求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2)，分别与两条渐近线
y＝
3 3x
和
y＝－
3 3x
联立，求得
M(3，
3)，
N32，－ 23，所以|MN|＝ 3－322＋ 3＋ 232＝3．
角度 2 求双曲线的离心率已知椭圆 C：x92＋y32＝1，双曲线 E：x92－by22＝1(b＞0)的左、
右顶点分别为 A，B，M 为椭圆 C 的上顶点，直线 AM 与双曲线 E 的右支交于点 P，且|PB|＝2 21，则双曲线的离心率为________．
【答案】
15 3
【解析】椭圆 C：x92＋y32＝1 的上顶点 M(0， 3)，双曲线 E 的左、右
顶点分别为 A(－3,0)，B(3,0)，
则直线 AM：y＝ 33x＋ 3，过点 P 作 PC 垂直于 x 轴于点 C，如图，
点 P 在直线 AM 上，
故设
Px0 PC＝ 33x0＋ 3，BC＝x0－3，
此时，直线 l 方程为 y＝± 3x＋1；当 3－k2≠0，即 k≠± 3，要使直线 l 与双曲线 E 有且仅有一个公共点，则 Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得 k＝±2，此时，直线 l 的方程为 y＝±2x＋1．综上所述，直线 l 的方程为 y＝± 3x＋1 或 y＝±2x＋1．
直线与双曲线位置关系的判断一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ab时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．

圆锥曲线中点弦典型例题及解析

01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合，利用几何意义求解。
THANKS
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特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时，中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲线上的两个对称点的线段。
中点弦的长度等于圆锥曲线上的两个对称点到点$P$的距离之和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时，中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点

圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)

课题：探究抛物线中的焦点弦问题【学习目标】：探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法.【问题探究】：抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.问题一：已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，'',A B 为,A B 在准线上的射影，则''?A FB ∠= （3）：''90A FB ∠=（4）：以Q 为圆心，以''A B 为直径的圆切AB 于F 点(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyF´B´A´Q问题三、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，'',A B 为,A B 在准线上的射影，则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？（5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点（6）：90AQB ∠=问题四、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：221212,4p x x yy p ==-问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11?AF BF+= （8）：112A F B F p+=(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´QP(x 1,y 1)(x 2,y 2)xy(x 1,y 1)(x 2,y 2)xy例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点，则QF = （用a 表示）变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''A B 的中点，则QF = （用,a b 表示）例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，则OA OB ⋅=例4、过抛物线22(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+=小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´。

高考高频考点(圆锥曲线)9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式

第9讲两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos pAF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=，设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=，所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =，易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−，所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥，当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=，则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−，所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−，所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=，从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−，显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==，从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°，如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF−=可得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点，此时1AFAF BF −=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF −=，所以AF AF BF BF −⋅=，故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos p p p ααα−=+，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =【答案】y 2=2x。

高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第八章第8讲圆锥曲线中的热点问题

第八章平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题1. 定值问题如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值, 探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源2.最值问题圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶ 利用数形结合；（4）构造函数等.3.范围问题求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.產D -做一做•1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是1解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7, 0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .2 2解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.由正方形的对角线性质可得:b=c,又该正方形面积为4,,则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D所以疋喀便仟斗=—心=4要点整食r1.必明辨的2个易错点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切, 事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.2.常用的1个结论设斜率为冰H0）的直线/与圆锥曲线C相交于£ B两点, A(x p ji), Bg丿2)，贝!IAB = \Jl-{-k2lx 1—兀21=\/1+/ • yl(X1+X2)2—4X1X2=寸1+* • Wlpl=\J1+p ■<Ji+j2)2—4yjj2.產D；、绦二综［1.过点(0, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有 3 条.解析：设过点(0, 1),斜率为比的直线方程为y=kx+l.由得^x2+(2JI-4)x+1=0.(*) 当吃=0时，(*)式只有一个根;当&工0 时，4=（2氐_4）2_4疋=_16氐+16, 由/=0,即一16抵+16=0 得k=\.所以片0,或片1时，直线与抛物线只有一个公共点'又直线x=0和抛物线只有一个公共点•故所求直线有3条，2.以直线无±2y=0为渐近线，且截直线x-j-3=0所得弦只斤丘 2_丫长为竽的双曲线方程为解析：设双曲线方程为x 2-4y 2=^消去〃得3兀2—24兀+(36+2)=0・设直线被双曲线截得的弦为AB, MA(xx ，J O, B(X 2, J 2),联立方程组 X 2—4y 2=l,x —y —3 = 0,兀1+ X2"~A = (—24) 2—12 (36+2) >0・所以 AB=(1+A:2) [ (xj+x 2) 2-4XX X 2]0 解得2=4,故所求双曲线方程是^—y 2= l.那么, 36+2 V 兀1兀2=J ， 2_4X %+力 "J G 厂厂=8f(1 + 1)（2016•泰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中,缶+器=1（。

专题16 圆锥曲线焦点弦微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用

15．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.
16．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为________.
17．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于两点，求．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线的焦点弦长公式：
同支弦；异支弦，统一为：；
（2）双曲线的焦点弦长公式：
同支弦；异支弦，统一为：．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线的焦点弦长公式：；
（2）抛物线的焦点弦长公式：；
说明：特殊情形，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于，两点，求弦长．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1）为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则．
专题16 圆锥曲线焦点弦微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦

高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。

圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1?已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为）当焦点内分弦外分弦。

证明是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点上的射，，，所以（1）内分弦时。

如图1，，所以（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注?特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解?这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（??）解?的倾斜角为，代入公式得，所以，所以例3题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，轴左侧），则有＿＿＿＿解，代入公式得，解得例4题）已知的一个焦点，线段的延长线交于点，且，则解?设直线与焦点所在的轴的夹角为，所以例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。

若，则＿＿＿解?这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。

定理2?已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。

过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有证明，过点作轴的垂线交直线于点，于点由圆锥曲线的统一定义得，，所以。

有关圆锥曲线的经典结论(精选课件)

有关圆锥曲线的经典结论★说明：圆锥曲线我们并未学完,有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此!有关解析几何的经典结论一、椭圆1.点P 处的切线ＰＴ平分△PF １F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ＰF 1F ２在点P 处的外角,则焦点在直线P Ｔ上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点..3..4. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。

5.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.7. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Ｐo 作椭圆的两条切线切点为P １、P ２，则切点弦Ｐ1Ｐ2的直线方程是00221x x y yab+=． 8. 椭圆22221x y a b+= (ａ〉b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.9. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞０）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ）.10. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥N Ｆ..11..12. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点Ｐ、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1Ｐ和A 2Q 交于点Ｍ，A 2Ｐ和A １Q 交于点N ，则ＭF ⊥NF 。

.13..14. A Ｂ是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦,Ｍ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=.15. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Ｐo所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.16. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+．二、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△ＰF 1F 2在点P 处的内角。

极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题

极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题圆锥曲线是一种常见的二维曲线形式，它可以由圆锥的剖面所生成。

在数学中，我们经常遇到求解圆锥曲线焦点弦的问题。

首先，让我们回顾一下极坐标的基本概念。

极坐标是一种用极径和极角来描述平面上点位置的坐标系统。

对于圆锥曲线，我们可以使用极坐标来描述其形状和特性。

求解圆锥曲线焦点弦的问题是要找到圆锥曲线上两个焦点之间的弦的方程。

为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定圆锥曲线方程：根据圆锥曲线的类型，如椭圆、双曲线或抛物线，确定其标准方程。

例如，对于椭圆，标准方程为 r = a(1 - e*cosθ)；对于双曲线，标准方程为r = a(1 + e*cosθ)；对于抛物线，标准方程为r = a(1 + cosθ) 或 r = a(1 - cosθ)。

2. 确定焦点坐标：通过曲线方程中的参数，计算出曲线的焦点坐标。

对于椭圆和双曲线，焦点坐标为 (ae, 0) 和 (-ae, 0)，其中 e 是离心率。

对于抛物线，焦点坐标为 (a/2, 0)。

3. 求解弦的方程：选择两个不同的点作为弦的端点，可以通过给定的焦点坐标和极径的差值来确定弦的长度。

然后，通过两点式或极坐标变换，推导出弦的方程。

在进行上述步骤时，应注意选择合适的曲线方程和坐标系，以确保结果的准确性和一致性。

此外，还应牢记圆锥曲线的性质和特点，以便在求解过程中进行验证和判断。

综上所述，通过极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题需要确定圆锥曲线方程、焦点坐标和弦的方程。

这一过程涉及到数学知识和计算技巧，并需要合理地选择坐标系和参数值。

通过正确地应用这些步骤，我们可以准确地求解圆锥曲线焦点弦的问题。

第三章圆锥曲线的方程课件(人教版)

1
1
(1)由椭圆的离心率e＝＝ 2 ，可知 2 ＝4，∴ ＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

(2)由题意可得＝ 2，即c＝ 2a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)．
y−0 +
4
＝，化简即得y＝ x＋4.
4−0 0+

则直线PF的方程为

结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行，
1
S＝2|PF1|·|PF2|＝24.
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以
9
其横坐标为8，即点P的坐标是
[答案] (1)B (2)4
9
,3
8
9
,3
8
.
)
典型例题
2.求圆锥曲线方程
1
【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于2，则C的方程是(
A.
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求 · 的值；
(2)如果· ＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
[解析] (1)解：由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
64−λ 3
2 y2
故所求双曲线方程为36－12＝1.
典型例题
3.圆锥曲线的性质及应用
【例3】(1)若椭圆
1
A．y＝±2x
(2)已知双曲线
2 y2
3
2 y2
＋＝1(a>b>0)的离心率为 2 ，则双曲线 2－2＝1的渐近线方程为(
2 2
B．y＝±2x

高考高频考点(圆锥曲线)8、椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式

第8讲椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，P 为椭圆上任意一点，设PFO α∠=，则椭圆的焦半径2cos b PF a c α=−，若延长PF 交椭圆于另一点Q ，则椭圆的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−. 2．双曲线()222210,0x y a b a b −=>>的一个焦点为F ，P 为双曲线上任意一点，设PFO α∠=，则双曲线的焦半径2cos b PF c aα=±，若直线PF 交双曲线于另一点Q ，则双曲线的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y 轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______；若AF BF >，则:AF BF =______. 【解析】如图，设AFO α∠=，则45α=︒由焦点弦公式，2222222228cos 42cos 453ab AB a c α︒⨯⨯===−−⨯，由焦半径公式，22cos b AF a c α===−，23BF ==，所以:3:1AF BF =.【答案】83，3:1变式1 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，所以cos α=，由焦点弦公式，22222222220cos 942ab AB a c α⨯⨯===−−⨯⎝⎭. 【答案】209变式2 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则由焦半径公式，23cos b AF a c α===−，解得：cos 3α=，由焦点弦公式，2222218cos 5ab AB a c α==−. 【答案】185变式3 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF AF BF λ+=⋅，则λ=________.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，由焦半径公式，2cos b AF a c α==−，()2cos b BF a c πα==−−，所以112AF BF +==，从而2AF BF AF BF +=⋅，即2λ=.【反思】一般地，设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则2112aAF BF b +=.变式4 已知椭圆222:14x y C b+=()02b <<的右焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若167AB =，则椭圆C 的离心率为________. 【解析】由焦点弦公式，()222222222216cos 744cos 60ab b AB a c b α⨯⨯===−−−⨯︒，解得：22b =，所以e =.变式5 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若2AF 、AB 、2BF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】直线l 的斜率为1l ⇒的倾斜角45α=︒，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，2AF 、AB 、2BF 成等差数列222223AB AF BF AB AF BF AB ⇒=+⇒=++，如图，由椭圆定义可得224AF BF AB a ++=，所以34AB a =，故222264cos 45ab a a c =−︒，化简得：22232b a c =−，所以2222332a c a c −=−，从而224a c =，故椭圆C 的离心率12c e a ==.【答案】12【例2】过双曲线22:142x y C −=的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为【解析】k =⇒直线的倾斜角60α=︒，由焦点弦公式，222222222165cos 46cos 60ab AB a c α⨯⨯===−−︒. 【答案】165变式1 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为_______.【解析】由题意，2a =，b =，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222248cos 23cos ab AB a c αα===−−，解得：25cos 6α=或12，若25cos 6α=，则21sin 6α=，所以21tan 5α=，从而直线l 的斜率tan 5k α==，故直线l 的方程为y x =−；若21cos 2α=，则21sin 2α=，所以2tan 1α=，从而直线l 的斜率tan 1k α==±，故直线l 的方程为(y x =±；综上所述，直线l 的方程为5y x =或(y x =±【答案】5y x =±−或(y x =± 变式2 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若23AF =，则BF =______.【解析】设AFO α∠=，因为23AF =，所以点A 必在双曲线右支上，由焦半径公式，22cos 3b AF c a α===+，解得：cos α=，所以sin α=，从而tan αC 的渐近线的斜率为2±，2>，所以点B 也在双曲线的右支上，如图，由图可知，BFO AFO ππα∠=−∠=− 所以()22cos b BF c a πα==−+.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_______.【解析】由焦点弦公式，22222222316cos 51412ab AB a c α⨯⨯===−⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭. 【答案】1652.（★★）已知椭圆22:193x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AB =，则直线l 的方程为________.【解析】设直线l 的倾斜角为α，由焦点弦公式，2222222333cos 96cos ab AB a c αα⨯⨯===−−⨯，从而cos 2α=，所以45α=︒或135°，从而直线l 的斜率为1±，显然()F ，故直线l的方程为y x =+或y x =−.【答案】y x =+或y x =−−3.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则2ABF 的面积为________. 【解析】如图，由焦点弦公式，222228cos 3ab AB a c α==−，所以21218sin 4523ABF SF F AB =⋅⋅︒=.【答案】834.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>一个焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若34AB a =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由题意，直线l 的倾斜角为45°，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，因为34AB a =，所以222264cos 45ab a a c =−︒，结合222b a c =−化简得：222a c =，故离心率2c e a ==.【答案】25.（★★★）已知F 是椭圆22:142x y C +=的左焦点，过F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点M ，则AB FM=________.【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A 在x 轴下方，则22222442cos 2cos AB αα⨯⨯==−−，AF ==，所以21222cos FN AN AF AB AF α=−=−==−，从而cos FN FM α==AB FM=解法2（特值法）：考虑AB y ⊥的情形，此时4AB =，M与原点重合，所以FM =AB FM=【答案】6.（★★★）如图，椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 的面积的取值范围是________.【解析】设AFO α=，不妨假设02πα≤≤，则2EFO πα∠=+，由焦点弦公式，AB =22cos 2DE α=−+ ⎪⎝⎭，所以四边形ADBE 的面积()()2222114222cos 2sin 2cos 2sin S AB DE αααα=⋅=⨯⨯=−−−− 2222241642sin 2cos sin cos 8sin 2ααααα==−−++，显然20sin 21α≤≤，所以1629S ≤≤，即四边形ADBE 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.（★★★）双曲线22:1C x y −=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则直线l 的方程为________. 【解析】由题意，1a b ==，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222224cos 12cos ab AB a c αα===−−，解得：23cos 4α=或14，若23cos 4α=，则21sin 4α=，所以21tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==，故直线l的方程为y x =；若21cos 4α=，则23sin 4α=，所以2tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==故直线l的方程为y x =，综上所述，直线l的方程为y x =或3y x =±【答案】y x =−或3y x = 8.（★★★）双曲线22:163x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若213AF AF =，则2BF =________.【解析】由题意，21213AF AF AF AF ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，所以1AF =1AFO α∠=，则21cos b AF c a α==+，所以=，解得：cos α=，从而sin α==sin tan cos ααα==C的渐近线斜率为，因为<，所以点B 也在左支上，且1BFO πα∠=−，故()22cos b BF c aπα===−+【答案】39.（★★★）双曲线22:13y C x −=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，且5PF =，则PFO 的面积为________.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，设PFO α∠=，由焦半径公式，23cos 2cos 1b PFc a αα==−−，又5PF =，所以352cos 1α=−，解得：4cos 5α=，所以3sin 5α=，如图，显然113sin 523225PFOSPF OF α=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 解法2：由题意，1a =，2c =，离心率2e =，设()00,P x y ，由焦半径公式，0125PF x =+=，又5PF =，所以0125x +=，解得：02x =或3−，因为P 在右支上，所以02x =，代入双曲线方程可求得03y =±，所以01123322PFOSOF y =⋅=⨯⨯±=. 解法3：如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，由双曲线定义，12PF PF −=，又5PF =，所以13PF =，易求得14FF =，所以22211PF FF PF +=，故11PF FF ⊥，所以1111143622PFF SFF PF =⋅=⨯⨯=，显然O 是1FF 的中点，所以1132PFOPFF SS ==.【答案】3。

圆锥曲线焦点弦

圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。

组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。

一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。

法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。

设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。

选修21人教版圆锥曲线复习课共15张PPT

x轴、y轴、原点对称
(+a,0)
(0,+a)
e c a
e c a
e 1
ybx a
yax b
图像标准方程
抛物线
ly
ox
yl
ox
y
o lx
y
o
l
x
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
范围焦点准线对称性离心率
A
11
22
o
P
x B
联立方程
y
x2 4
kx 1 k + y2 =1
2
消去y, 得 (1 2k 2 )x2
4k(k
1)x
2(k
2
2k
1)
0
令 0,即16k2(k 1)2 8(1 2k2) k2 2k 1 0, 恒成立。
由韦达定理得x1
x2
4k(k 1) 1 2k 2
.
又P平分AB， x1 x2 2
4k(k 1) 2,解得k 1 , 又直线过P点，直线方程为y-1=- 1 (x 1),
1 2k 2
2
2
即x+2y-3=0
注2： (1)联立方程组
例3 P(1,1)为椭圆 x2 + y2 =1内一定点，经过P引一弦，使此弦
42
在P点被平分，求此弦所在的直线方程。
解：法2：点差法设弦的两个端点 A(x1, y1), B(x2, y2 )
（
）
A2
B3
C6
D9
A (2)直线y kx k 1与椭圆 x2 y2 1恒有（）个交点。 94

2025届高中数学一轮复习《圆锥曲线最值与范围问题》ppt

高考一轮总复习•数学
第9页
圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单调性法等．
5－82＝2.
第23页
高考一轮总复习•数学
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圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
第22页
高考一轮总复习•数学
即 16y20<(x0－4)2. 因为x420＋y20＝1，所以y02x－02 1＝－14，所以 5x20－8x0>0，解得 x0>85或 x0<0. 因为 0<x0≤2，所以85<x0≤2，所以 EF＝2 r2－d2＝2 x40－12－4xy002＝2 5－x80≤2 所以该圆被 x 轴截得的弦长|EF|的最大值为 2.
所以|AB|＝ 1＋14 x1＋x22－4x1x2＝解得 p＝2(负值舍去)．
1＋14 8p－22－4＝4 15，
高考一轮总复习•数学
第6页
(2)由题知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x＝my＋b，由(1)知，抛物线
C 的方程

圆锥曲线--抛物线

∴ △DRF∽△FRC ∴∠DFR＝∠RCF， ∴∠DFR＋∠RFC＝90 ∴∠DFC＝90
【例 4】如图 7，过抛物线 y2＝2px（P＞0）的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、N 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M1、N1，求证：FM1⊥FN1
★⑵
1 1 2 ＋＝p | AF | | BF |
p2 p p 【证法一】由⑴x1x2＝，且| AF |＝x1＋，| BF |＝x2＋ . 4 2 2 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 1 1 1 1 ∴ ＋＝＋＝＝ | AF | | BF | p p p p p p2 x1＋ x2＋ (x1＋ )·(x2＋ ) x1x2＋ (x1＋x2)＋ 2 2 2 2 2 4 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 2 ＝ 2 ＝＝ p p p2 p p ＋ (x ＋x )＋ (x ＋x ＋p) 4 2 1 2 4 2 1 2 p p p 【证法二】由| AF |＝1＝，| BF |＝2＝＝ . 1－cos 1－cos(＋ ) 1＋cos 1 1 1 1 1－cos 1＋cos 2 ∴ ＋＝＋＝＋＝ | AF | | BF | 1 2 p p p
2 2 2 2
p p 1 1 1 在直线 AB 方程 x＝my＋中令 x＝0，得 y3＝－，代入上式得＋＝ 2 2m y1 y2 y3
p p ④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋，| BF |＝| BC |＝x2＋， 2 2 | AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p 又| AB |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2＝＝＝ 1＋m2 1＋m2 1＋m2| y2－y1 |
【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结 FM，则 FM＝DM. 又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图 4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 1 ∴∠2＋∠3＝ ×180＝90 2 ∴∠AMB＝90