《一元二次方程的根与系数的关系》优秀教学设计
北师大版九年级上册15一元二次方程的根与系数的关系教学设计
3.教学方法的设想：
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题解决来学习新知识，提高解决问题的能力。
-结合信息技术，利用数学软件或在线平台，让学生在互动中学习，提高学习的趣味性和效率。
4.对于学习困难的学生的设想：
-提供个性化的辅导，针对不同学生的学习困难，给予具体的指导和帮助。
4.小组合作任务要充分发挥团队合作精神，每个成员都要积极参与，共同为解决问题贡献力量。
作业批改与反馈：
1.教师要及时批改学生作业，关注学生的解题思路和方法，给予针对性的评价和建议。
2.鼓励学生主动请教教师和同学，及时纠正作业中的错误，不断提高自己的数学素养。
3.定期对学生的作业情况进行总结和反馈，对表现优秀的学生给予表扬，激发学生的学习积极性。
3.将实际问题转化为数学模型，用一元二次方程解决，并能够解释结果的实际意义。
-这是培养学生数学应用能力的重点，学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，并理解数学结果在实际情境中的含义。
（二）教学设想
1.对于重难点的教学，我设想采用以下策略：
-引导学生通过探索和发现，而不是直接灌输知识，以增强他们的理解和记忆。
2.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
-在解决一元二次方程问题时，教师要引导学生面对困难，勇于尝试，克服挫折。
-学生在成功解决问题后，能够增强自信心，激发进一步学习的动力。
3.培养学生的数学思维，使其认识到数学在生活中的重要性，提高学生的综合素质。
-教师要引导学生运用数学思维解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的价值。
-利用多媒体和教具，如抛物线图像、表格等，将抽象的知识具体化，帮助学生形象地理解根与系数的关系。
一元二次方程根与系数的关系优秀教学设计
一元二次方程根与系数的关系优秀教学设计一元二次方程根与系数的关系优秀教学设计作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常需要用到教学设计来辅助教学，教学设计一般包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学步骤与时间分配等环节。
那么你有了解过教学设计吗？以下是小编精心整理的一元二次方程根与系数的关系优秀教学设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
教学内容：一元二次方程的根与系数的关系教学目标：知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.情感与态度目标：1.在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。
2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.教学重、难点：重点：根与系数的关系及其推导。
难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。
教学程序设计：一、复习引入：1、写出一元二次方程的一般式和求根公式.请两位同学写在黑板上，其他同学在纸上默写，交换检查，互相更正。
对出错严重之处加以强调。
2、解方程①x2-5x+6=0，②-2x2-x+3=0.观察、思考两根和、两根积与系数的关系.提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗?观察、思考两根和、两根积与系数的关系.在教师的引导和点拨下，由学生大胆猜测，得出结论。
二、探究新知推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系.设x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.试计算(1)x1+x2(2)x1*x2一名学生在板书，其它学生在练习本上推导.过程略。
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：结论1.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么：bcx1?x2??,x1?x2?aa教师举例说明，学生理解记忆。
1、验根.(口答)判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根.(1)x2-6x+7=0;(-1，7)(2)-3x2-5x+2=0;(5/3，-2/3)(3)x2+9=6x(3，3)要求：学生先思考，再举手抢答，调动学习气氛。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
4 一元二次方程根与系数的关系 课件+一等奖创新教案(共22张PPT)
4 一元二次方程根与系数的关系课件+一等奖创新教案(共22张PPT)2.4 一元二次方程根与系数的关系浙教版八年级下情境导入把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积新知讲解先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：(1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0方程两个根两根之和两根之积x1 x2 x1+x2 x1·x2x2-12x+11=0x2-9=04x2+20x+25=011112113-3-9-5新知讲解猜想：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为，则思考：你能证明这个猜想吗？新知讲解证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2新知讲解归纳总结一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.韦达定理把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积你能行吗？练一练新知讲解例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，求x12+x22和的值.解：有一元二次方程的根与系数的关系，得∴∴总结归纳【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.新知讲解例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.解设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.拓展延伸（1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的（2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。
推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p x1·x2=q推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2+（x1+x2）x+x1·x2=0课堂练习1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )A．4 B．－4 C．3 D．－3D2.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为_________ ( )A. m＝－2___B. m＝3C. m＝3或m＝－2D. m＝－3或m＝2C课堂练习3. 方程的两根和为4，积为-3，则a= ，b= .4.已知x1，x2是关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0的两个实数根，有下列结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.其中正确的是______(填序号).①②83课堂练习5.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.拓展提高6.若12＜m＜60(m为整数)，且关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0的两个根都为整数，求m的值.∵Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝8m＋4＝4(2m＋1)，∴2m＋1是完全平方数.∵12＜m＜60，∴25＜2m＋1＜121.又∵2m＋1是奇数，∴2m＋1＝49或81，解得m＝24或40.当m＝24时，方程的两个根分别为32和18；当m＝40时，方程的两个根分别为32和50.故m＝24或40.中考链接7.（中考广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1 x2=2D课堂总结2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系.1．一元二次方程根与系数的关系是什么？这节课你学到了什么？如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2=板书设计2.4 一元二次方程根与系数的关系1.如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2=作业布置课本P47 练习题谢谢（) 中小学教育资源网站有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入教师合作团队！！月薪过万不是梦！！详情请看：https:///help/help_extract.php2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计课题 2.4一元二次方程的根与系数的关系单元1 学科数学年级八学习目标1.经历一元二次方程根与系数关系的发现过程，培养学生善于观察、思考、归纳、概括的能力；2.理解一元二次方程根与系数关系及其证明过程，培养学生逻辑推理能力及严谨的学习态度；3.会应用一元二次方程根与系数关系求含两根的代数式的值；构造满足某种条件的一元二次方程，培养学生的转化、类比等知识迁移能力。
一元二次方程根与系数的关系优秀教案
一元二次方程根与系数的关系【教学目标】一、知识与技能掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和以及两根之积，并会解一些简单的问题。
二、过程与方法经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
三、情感态度通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
【教学重难点】1．重点：根与系数关系及运用。
2．难点：定理的发现及运用。
【教学过程】一、情景导入，初步认知我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的值是由a、b、c来决定的。
除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？教学说明：由问题引入新课，提高学生学习兴趣。
二、思考探究，获取新知（一）探究规律先填空，再找规律：（二）若x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，你能猜想x 1+x 2=______，x 1·x 2=______（三）你能证明你的猜想吗？当Δ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个根，分别为：1x =2x =归纳结论：当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
即：这种关系称为韦达定理。
三、运用新知，深化理解（一）教材相关的例1、例2。
（二）利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0的两个根。
分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求。
（三）已知方程5x 2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值。
分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求。
解：设方程的另一个根是x 1，那么2x 1=-6/5∴x 1=-3/5又x 1+2=-k/5∴k=-7（四）已知一元二次方程x 2-6x-5=0的两根为a 、b ，则1/a+1/b 的值是多少？解：∵a ，b 是一元二次方程的两根∴a+b=6，ab=-5，（五）已知方程x2-4x-1=0有两个实数根x1，x2，要求不解方程，求值：1．(x1+1)(x2+1)2．x2x1+x1x2解：x1+x2=-b/a=4；x1x2=c/a=-1，（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1，=-1+4+1=4（六）已知x，y均为实数，且满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，求x/y+y/x的值。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程的解法及应用的理解。
二、教学内容1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 根的判别式：Δ= b^2 4ac。
3. 根与系数的关系：(1) 若有两个实数根，则根的值为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b √Δ) / (2a)。
(2) 若有两个相等的实数根，则根的值为：x1 = x2 = -b / (2a)。
(3) 若没有实数根，则方程无实数解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：根与系数之间的关系。
2. 教学难点：理解根的判别式Δ的意义及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究根与系数的关系。
2. 通过实例分析，让学生感受数学知识在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。
五、教学准备1. 教学课件：展示一元二次方程的图像，直观地展示根与系数之间的关系。
2. 实例：准备一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题。
3. 练习题：设计一些有关根与系数关系的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习一元二次方程的一般形式和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解根与系数的关系：结合课件和实例，讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 互动环节：学生分组讨论，尝试解决实例中的问题，教师巡回指导。
4. 练习环节：学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和解析。
5. 总结与反思：学生分享学习心得，教师总结根与系数之间的关系及其应用。
七、教学拓展1. 探讨二元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 研究多项式方程的根与系数之间的关系。
3. 引导学生思考根与系数关系在实际问题中的应用，如线性规划、优化问题等。
八、课后作业1. 复习根与系数的关系，巩固所学知识。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
九年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案
C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝
解：另一根为 ，k＝3.
共育
课堂小结
．一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
课堂评价
本节课在学生已有的公式法知识基础上遵循循序渐进的原则
自育
例2(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
【思路点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．
【跟踪训练1】已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝－ ，x1x2＝－3.
(3)x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝
②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
自育
共育
3．利用求根公式推导根与系数的关系：
ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝ ，x2＝ ．
则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ．
共育
类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积
例1(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系优秀教学案例
1.教师布置一道巩固一元二次方程根与系数关系的作业，要求学生在课后思考和练习。
2.学生完成作业，巩固所学知识，提高解题技能。
3.教师在下一节课开始时，检查学生作业完成情况，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。
五、案例亮点
1.情景创设贴近生活：本案例以生活中的实际问题为切入点，引导学生思考一元二次方程在现实中的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
5.作业小结巩固知识：教师布置具有针对性的作业，要求学生在课后思考和练习，巩固所学知识，提高解题技能。教师在下一节课开始时，检查学生作业完成情况，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习效果。
本案例通过以上五个亮点，有效地提高了学生的学习兴趣，培养了学生的团队协作能力和问题解决能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握了知识，提高了教学效果。
2.教师组织学生进行讨论，引导学生通过交流、分享，解决问题。
3.教师给予适当的点拨和指导，帮助学生建立知识体系，提升学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师将学生分成若干小组，鼓励学生合作探究，培养学生的团队合作精神。
2.教师设计具有探究性的任务，引导学生在合作中思考、交流，共同解决问题。
3.教师关注每个小组的学习情况，及时给予反馈和指导，提高学生的学习效果。
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系，是学生在掌握了方程的解法之后，进一步探究一元二次方程的根与系数之间的内在联系的重要内容。此节内容是在学生已经具备了方程解法、根的判别式等知识的基础上进行学习的，对于学生来说，既是知识的巩固，又是拓展，对于培养学生的逻辑思维能力、提高解题技能具有重要意义。然而，由于这部分内容比较抽象，学生理解起来存在一定的困难，因此，如何设计教学案例，让学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解题技能，是摆在我们面前的一个重要课题。
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；
一元二次方程根与系数的关系-初高中衔接数学教学设计
作业：布置一些有关一元二次方程根与系数关系的练习题，让学生巩固所学知识。
解答：解答学生提出的问题，给予及时反馈。
总用时：45分钟
教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣。同时，要注重师生互动，让学生在实践中掌握知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数学抽象。通过学习一元二次方程的根与系数的关系，学生能够锻炼自己的逻辑推理能力，从而更好地理解和掌握一元二次方程的解法；同时，通过建立数学模型，学生能够将理论知识应用到实际问题中，提高数学建模能力；此外，通过对一元二次方程根与系数的关系进行抽象和总结，学生能够提高自己的数学抽象能力。
3. 已知一元二次方程的两个根分别为 x1 和 x2，请写出该方程的系数与根之间的关系式。
4. 请举例说明如何运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
5. 请总结本节课的学习内容，并谈谈自己对一元二次方程根与系数关系的理解和体会。
当堂检测的目的是让学生及时巩固所学知识，发现和解决自己在学习过程中存在的问题。教师应及时批改学生的检测试卷，给予反馈和指导，帮助学生提高解题能力和数学思维能力。同时，教师应根据学生的检测结果，调整教学方法和策略，以满足学生的学习需求。
四、教学方法与策略
1. 选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课的教学方法主要包括讲授法和案例研究法。讲授法主要用于向学生传授一元二次方程根与系数的关系的理论知识，而案例研究法则用于让学生通过具体的案例深入理解和掌握这一关系。
2. 设计具体的教学活动：为了促进学生的参与和互动，可以设计一些小组讨论活动。例如，让学生分组讨论一元二次方程的根的判别式，以及如何根据判别式求解方程的根。此外，还可以设计一些数学游戏，让学生在游戏中运用和巩固所学知识。
初中数学初三数学下册《一元二次方程的根与系数关系》教案、教学设计
（1）已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为α和β。请证明：若α + β为定值，当a > 0时，αβ的最大值为(b^2 - 4ac) / (4a)。
（2）已知抛物线y = ax^2 + bx + c与x轴的交点为（α，0）和（β，0）。请证明：当a > 0时，线段[α，β]的长度为2√[(α + β)^2 - 4αβ]。
3.学会运用韦达定理求解一元二次方程的根，并能解决实际问题中涉及一元二次方程根的计算问题。
4.能够运用一元二次方程的根与系数关系分析解决几何问题，提高学生的几何思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下过程与方法提高数学素养：
1.通过自主探究、合作学习等方式，发现一元二次方程根与系数之间的关系，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.重点：培养学生合作学习的意识和能力，通过小组讨论和互助学习，提高学生的问题解决能力。
难点：如何在小组合作中平衡学生的参与度，确保每个学生都能在合作中收获知识和技能。
（二）教学设想
1.引入：通过一个实际问题的情景引入，如设计一个与一元二次方程相关的实际情境，让学生感受到数学知识在解决现实问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.判别式的概念：讲解判别式的定义，引导学生理解判别式元二次方程的根与系数之间的关系，并总结规律。
3.韦达定理：介绍韦达定理，并用实例讲解其应用方法。
4.数形结合：利用几何图形，如抛物线与x轴的交点，形象地展示一元二次方程的根与系数关系。
二、学情分析
针对初三学生的年龄特点和认知水平，他们对一元二次方程已有一定的了解，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对本章节内容的掌握程度有以下特点：
一元二次方程根与系数的关系优课教案
一元二次方程根与系数的关系一、知识与能力会用列一元二次方程的方法解相关数与数字之间关系的应用题。
二、过程与方法教课目的经过列方程解应用问题，进一步提升剖析问题、解决问题的能力。
三、感情态度价值观领会根与系数的关系在解一元二次方程问题上的简短性。
教课重难点 能正确的列出一元二次方程解决实质问题教课过程教师活动学生活动1．解以下方程（1）题 6 号板演。
一、激情导入（1） x 2 2x 1 0 （2）题 5 号板演。
（2） x 2 3x4 0（3）题 4 号板演。
其余同学下边达成。
（3） 4 x 2 4 x 1 01、2 号批阅、评论。
二、认定目标一世口述目标，其余生静听、领悟。
出示学习目标察看两个根与系数的关三、自主研究系自学导航1．计算三个方程中两个解的同组议论沟通 1 找出和与两个解的积。
察看两根的和bca 、b 、c 的关系及两根的积与 a 、b 、 x 1x 2x 1x 2a a1 / 3c 的关系？的关系。
2．试依据上边的关系解决下 利用上边关系迅速求另面问题一个根。
（1） x 26x5 0 的解是 、a b ，则 a+b=ab=（2）210x 0 的解是a 、16xb ，则 a+b=ab=（3） x 2 3x4 0 的一个根是 4，则另一个根是四、激情互动（4） x 2ax 4 0 的一个根是 4，则另一个根是（5） x 23x b 0 的一个根是 4，则另一个根是组内沟通自学中的疑惑问题，全组达成一致建议。
有疑惑的组由科代表提出本组疑惑问题，追求其余组帮助，各组选派代表说明解法。
五、拓展应用指导生互动沟通，解决生自 师生互动学中的疑惑问题x 1 x 2b1题 3号板演 评论： a 2题 4号板演x 1 x 2c 其余同学下边达成a1、2 号批阅、评论当堂检测：1． 2 x 2 1 3x 的解是 a 、 b ，求 a 2b ab 2 。
2． 2x 2 11x 5 0 的解是 a 、 生回首浅谈收获b ，求 a b 。
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
21.2 .4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
因此本节课起着承上启下的作用。
二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。
三、教学目标：(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。
四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。
教学工具：ppt课件、白板笔。
五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系六、教学过程：方法2：若ax2+bx+c=0两个根为x1, x2回答：研究方法：特殊------根与系数的关系：（七）教学反思本节课通过学生解一元二次方程填写表格、观察表格中的数据，发现规律得出结论，教师再引导他们进行合理的推理，从而得出一元二次方程根与系数的关系，通过知识的产生过程，让学生感受数学的思维方式，激发学生学习的兴趣。
但是对于二次项系数是1的一元二次方程推导根与系数的关系，学生理解比较困难，需要教师加强引导与解释。
对于二次项系数不是1的时候可以让学生分小组分任务进行推导，教师参与引导，注意把控时间，环节（3）练习较多，但也得引导学生做完一个练习及时总结知识点和易错点。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的根的概念，了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.学会使用根的判别式来判断一元二次方程的根的情况，并能根据判别式的值来确定方程的根的性质。
3.掌握一元二次方程的求解公式，能够运用公式法求解一元二次方程，并解决实际问题。
-激发学生的学习兴趣，通过表扬和鼓励，增强学生的学习信心。
-关注学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服学习中的困难。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：通过一个关于抛物线的实际例子，如“一个篮球在抛出后，其运动轨迹形成一个抛物线，假设我们知道篮球的初始速度和抛出角度，如何确定篮球落地的时间？”来引入一元二次方程的根与系数的关系。
-讲解：在学生探究的基础上，教师进行总结讲解，强调重难点，并配合典型例题进行解释。
-练习：设计梯度明显的练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识，并及时给予反馈。
-应用：结合实际生活情境，设计综合应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的数学应用能力。
3.教学评价：
-过程评价：关注学生在课堂上的参与度、合作探究能力和解决问题的策略。
-利用多媒体辅助教学，通过动态演示和图形展示，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。
-实施分层次教学，针对不同水平的学生设计不同难度的练习题，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练。
2.教学过程：
-导入：通过一个实际问题引入本节课的内容，激发学生的好奇心和学习兴趣。
-探索：引导学生通过小组合作、讨论的方式，探究一元二次方程根与系数的关系，总结根的判别式的使用方法。
4.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力。
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5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
教学目标
1．理解和掌握根与系数的关系，会利用根与系数的关系解决有关问题．
2．在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中，培养学生的观察、思考、归纳概括能力．
3．通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．
教学重点、难点
重点
理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系．
难点
一元二次方程的根与系数关系的理解及应用．
教学设计
一、复习导入
1．请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)．
2．解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
学生独立完成，教师巡视指导．
二、探究新知
1．探究一元二次方程的根与系数的关系
课件出示：
解出下列方程的根x1和x2，并计算x1＋x2和x1·x2的值.
教师：观察表中x1＋x2与x1·x2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
师生共同总结规律，教师板书．(学生的语言表达可能不是很到位，教师可以进行适当地引导和点拨，但不能代替学生表达) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－a b，x1·x2＝a c.
2．证明一元二次方程的根与系数的关系
教师：刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关
系，那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢？
学生先独立解决，再分组交流讨论发表看法． (教师板书) 证明：∵当Δ≥0时，由求根公式得 x 1＝2a b2－4ac
，x 2＝2a b2－4ac
， ∴x 1＋x 2＝2a b2－4ac
＝－a b
， x 1·x 2＝
4a2（－b ）2－（b2－4ac ）＝4a24ac ＝a c
.
三、举例分析
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x 2－7x ＋1＝0； (2)x 2＋14x －21＝0； (3)2x 2＋x －3＝0； (4)x 2－nx ＋n －5＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝7，x 1·x 2＝1. (2)x 1＋x 2＝－14，x 1·x 2＝－21. (3)x 1＋x 2＝－21，x 1·x 2＝－23
. (4)x 1＋x 2＝n ，x 1·x 2＝n －5.
例2 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值．
解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有
（－3）2－p ×（－3）＋q ＝0.02－p ×0＋q ＝0，
解这个方程组得
p＝－3，
q＝0.
所以p＝－3，q＝0.
解法二：由x1＋x2＝p，x1·x2＝q，
方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，可得
0＋(－3)＝p，
0×(－3)＝q.
即得p＝－3，q＝0.
四、练习巩固
教材第50页“随堂练习”第1～3题．
五、小结
1．通过这节课的学习，你有什么收获？
2．一元二次方程的根与系数有什么关系？
六、课外作业
教材第51页习题2.8第1～4题．
教学反思
观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．本节课在研究方程的根与系数的关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 经历了本节课的教学，学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握，但在寻求转化为两根之和与两根之积的过
程中不要操之过急，例2可以在练习一定的习题后再给出来．在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式，培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识，并应该坚持下去。