初中数学比较二次根式大小的八种方法

专训2 比较二次根式大小的八种方法

名师点金：含二次根式的数(或式)的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．

平方法

1．比较6＋11与14＋3的大小．

作商法

2．比较

a ＋1a ＋2与a ＋2a ＋3

的大小．

分子有理化法

3．比较15－14与14－13的大小．

分母有理化法

4．比较12－3与13－2

的大小．

作差法

5．比较

19－13与23

的大小．

倒数法

6．已知x ＝n ＋3－n ＋1，y ＝n ＋2－n ，试比较x ，y 的大小．

特殊值法

7．用“<”连接x ，1x

，x 2，x(0

定义法

8．比较5－a 与3a －6的大小．

答案

1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，

17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2.又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋ 3.

2．解：因为a ＋1a ＋2÷a ＋2a ＋3＝（a ＋1）（a ＋3）（a ＋2）2＝a ＋4a ＋3a ＋4a ＋4＜1，易知a ＋1a ＋2

>0，a ＋2a ＋3>0，所以a ＋1a ＋2＜a ＋2a ＋3

. 方法总结：作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二次根式(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算两个二次根式的商，然后比

较商与1的大小关系．已知a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b

＜1，则a ＜b.

3．解：15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14

＝115＋14

， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13

＝114＋13

， ∵15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0，

∴115＋14<114＋13

， 即15－14＜14－13.

4．解：∵12－3＝2＋3，13－2

＝3＋2， 2＋3＞3＋2，

∴12－3＞13－2

. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0，所以19－13>23

. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1

＝n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n

＝n ＋2＋n 2＞0， ∵n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，∴1x ＞1y

＞0，∴x ＜y.

7．解：取特殊值x ＝14，则1x ＝4，x 2＝116，x ＝12，∴x 2＜x ＜x ＜1x

. 8．解：∵5－a ≥0，∴a ≤5.∴a －6＜0. ∴3a －6＜0. 又∵5－a ≥0，∴5－a ＞3a －6.