分支定界法
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15! = 1307674368000 20! =
2432902008176640000
分支定界法的基本思想
min f (x) s.t. x S
基本思想
S S1
S3 S2
➢ 把S 分成若干个子集。（分支） ➢ 在每个子集上，估计 f 的取值范围。（定界） ➢ 丢弃不可能存在最优解的那些子集。（剪枝） ➢ 重复以上过程，直至找到最优解。
CurBest=112 (BDCBDAAC)
C
DBCA=13
DCCC=12
分支定界法的基本思想
min f (x) xS
举例
S S1
S3 S2
➢ 把S 分成若干个子集。（分支） ➢ 在每个子集上，估计 f 的取值范围。（定界） ➢ 丢弃不可能存在最优解的那些子集。（剪枝） ➢ 重复以上过程，直至找到最优解。
举例
BA?? BC??
C???
BD?? DA??
A???
DBA? DB?? DC?? DBC?
Task1
Task2
All solns DCDC=7
A
A
ACDA=14 BADC=13
C
B
BCDA=12
BCDC=9 D
BDCC=13
C
CBDA=13 A
DACC=12 A
D
B
DBAC=11
DCCC=8 DBCC=10 C
举例
B???
C??? DA??
A???
D??? DB?? DC??
Task1
Task2ห้องสมุดไป่ตู้
A ACDA=14
All solns
B BCDC=9
DCDC=7
C
CBDA=13 A
DACC=12
D
B
DCCC=8 DBCC=10
CurBest=13 (CBDA)
C DCCC=12
举例
BA?? BC?? B???
分支定界法
概述
通用搜索方法。 最优化问题（组合优化）。
A. H. Land and A. G. Doig (1960). "An automatic method of solving discrete programming problems". Econometrica 28 (3). pp. 497–520.
分支定界法的思想 举例
概述
基本思想
➢ 从一个实例谈起
（分派问题）设生产任务1、2、3、4，皆可由四 人A、B、C、D去完成。每个人完成各项任务所 需的时间（分钟）不同，如下表。规定每人只能 安排一项任务。请问如何分派这四项任务，使总 时间最少。
1 2 34 A BCD A BDC A CBD ……
举例：用分支定界法解分派问题
举例
？？？？
All solns DCDC=7
CurBest = +∞
举例
B??? ????
C???
A???
D???
All solns DCDC=7
Task1 A
ACDA=14
B BCDC=9
C CBDA=13
D DCCC=8
CuCruBrBeesstt==1+3∞ (CBDA)
task1
A B
C D
task2
B C D A C D A B D A B C
task3
C D B D B C C
D A D A C B
D A D A B B C A C
A B
task4
D C D B C B D
C D A C A D
B D A B A C B C A
B A
4! = 24
10! = 3628800
C???
BD?? DA??
A???
DB?? DC??
Task1
Task2
All solns DCDC=7
A
A
ACDA=14 BADC=13
C
B
BCDA=12
BCDC=9 D
BDCC=13
C
CBDA=13 A
DACC=12
D
B
DCCC=8 DBCC=10
CurBest=132 (CBBCDA)
C DCCC=12
2432902008176640000
分支定界法的基本思想
min f (x) s.t. x S
基本思想
S S1
S3 S2
➢ 把S 分成若干个子集。（分支） ➢ 在每个子集上，估计 f 的取值范围。（定界） ➢ 丢弃不可能存在最优解的那些子集。（剪枝） ➢ 重复以上过程，直至找到最优解。
CurBest=112 (BDCBDAAC)
C
DBCA=13
DCCC=12
分支定界法的基本思想
min f (x) xS
举例
S S1
S3 S2
➢ 把S 分成若干个子集。（分支） ➢ 在每个子集上，估计 f 的取值范围。（定界） ➢ 丢弃不可能存在最优解的那些子集。（剪枝） ➢ 重复以上过程，直至找到最优解。
举例
BA?? BC??
C???
BD?? DA??
A???
DBA? DB?? DC?? DBC?
Task1
Task2
All solns DCDC=7
A
A
ACDA=14 BADC=13
C
B
BCDA=12
BCDC=9 D
BDCC=13
C
CBDA=13 A
DACC=12 A
D
B
DBAC=11
DCCC=8 DBCC=10 C
举例
B???
C??? DA??
A???
D??? DB?? DC??
Task1
Task2ห้องสมุดไป่ตู้
A ACDA=14
All solns
B BCDC=9
DCDC=7
C
CBDA=13 A
DACC=12
D
B
DCCC=8 DBCC=10
CurBest=13 (CBDA)
C DCCC=12
举例
BA?? BC?? B???
分支定界法
概述
通用搜索方法。 最优化问题（组合优化）。
A. H. Land and A. G. Doig (1960). "An automatic method of solving discrete programming problems". Econometrica 28 (3). pp. 497–520.
分支定界法的思想 举例
概述
基本思想
➢ 从一个实例谈起
（分派问题）设生产任务1、2、3、4，皆可由四 人A、B、C、D去完成。每个人完成各项任务所 需的时间（分钟）不同，如下表。规定每人只能 安排一项任务。请问如何分派这四项任务，使总 时间最少。
1 2 34 A BCD A BDC A CBD ……
举例：用分支定界法解分派问题
举例
？？？？
All solns DCDC=7
CurBest = +∞
举例
B??? ????
C???
A???
D???
All solns DCDC=7
Task1 A
ACDA=14
B BCDC=9
C CBDA=13
D DCCC=8
CuCruBrBeesstt==1+3∞ (CBDA)
task1
A B
C D
task2
B C D A C D A B D A B C
task3
C D B D B C C
D A D A C B
D A D A B B C A C
A B
task4
D C D B C B D
C D A C A D
B D A B A C B C A
B A
4! = 24
10! = 3628800
C???
BD?? DA??
A???
DB?? DC??
Task1
Task2
All solns DCDC=7
A
A
ACDA=14 BADC=13
C
B
BCDA=12
BCDC=9 D
BDCC=13
C
CBDA=13 A
DACC=12
D
B
DCCC=8 DBCC=10
CurBest=132 (CBBCDA)
C DCCC=12