高数教案
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《高等数学》课时教案
§5.7 广义积分
【引例】
计算曲线 y
e x =-2与x 轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 ⎰∞+-=0
2dx x e
A 。 显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：
编程计算A b e
x dx b b ()(,,,,)=-⎰=212100
的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab 程序gs0504.m 。
一、积分区间为无穷区间的广义积分 【定义一】设函数
f x ()在区间[,)a +∞上连续， 任取 b a >，如果极限lim ()b a
b
f x dx →+∞⎰存在，
则称此极限值为函数
f x ()在无穷区间[,)
a +∞上的广义积分，并记作f x dx a
()+∞
⎰,
亦即
f x dx f x dx a
b a
b ()lim ()+∞
→+∞⎰=⎰此时，也称广义积分f x dx a
()+∞
⎰收敛；
如果上述极限不存在， 则称广义积分
f x dx a
()+∞
⎰发散。
类似地,设函数
f x () 在区间(,]-∞b 上连续，任取 a b <，如果极限lim ()a a
b
f x dx →-∞⎰
存在，则称此极限值为函数
f x ()在无穷区间(,]-∞b 上的广义积分，
记作
f x dx b
()-∞
⎰, 亦即f x dx f x dx b
a a
b
()lim ()→-∞⎰=⎰
此时，也称广义积分
f x dx b
()-∞
⎰ 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分f x dx b
()-∞
⎰发散。
类似地,设函数
f x ()在区间(,)-∞+∞上连续，如果广义积分f x dx ()-∞
⎰0
与 f x dx ()0
+∞
⎰
同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数
f x ()在无穷区间(,)-∞+∞上的广义积分，记作
f x dx ()-∞
+∞⎰。 亦即 0
()()()lim
()lim
()b
a b a
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx
+∞
+∞
-∞
-∞
→-∞
→+∞
=
+
=+⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
这时，也称广义积分
f x dx ()-∞
+∞
⎰ 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分f x dx ()-∞
+∞⎰发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】
xdx -∞
+∞
⎰
lim lim lim ()b b b
b b b
b xdx x →+∞-→+∞-→+∞
⎰=⎡⎣⎢⎤
⎦⎥==12002 ， 但 2200
11lim lim lim 22b
b
b b b xdx xdx x b +∞
→+∞→+∞→+∞⎡⎤
====+∞⎢⎥⎣⎦⎰
⎰，xdx 0
+∞⎰发散,因此，xdx -∞
+∞⎰是发散的。
【例1】计算广义积分
t e dt pt
⋅⎰
-+∞
解：t e
dt td p e t p e p e dt pt
b pt b
pt b
pt
b ⋅⎰=-⎰=-+⎰----0
00
011()
=-+-⎡⎣⎢⎤
⎦⎥--b p e p p e pb pt b
110
=-+---b p e p p e pb pb 1122
2220
11
1lim lim b
pt
pt pb pb b b b t e
dt t e dt e e p p p p +∞
----→+∞→+∞⎡⎤⋅=⋅=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分
dx x
12
+
⎰
-∞+∞
。
解：
+
+
+
→-∞→+∞
⎰⎰
lim lim
a b
a
b
dx
x
dx
x
11
2
2
=+
→-∞→+∞
lim[]lim[]
a
a
b
b
arctgx arctgx
=-+
→-∞→+∞
lim()lim()
a b
arctga arctgb
观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：
请注意：
意味着取极限lim,lim
x x
arctgx arctgx
→+∞→-∞
，这
样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3
解：若
若
二无界函数的广义积分
作
称之为奇点。类似地，有,