大学物理基础教程答案1-4力-4

5
1 2 v gRdt = m gRt = ∆L = m + MR Rv 解: Q∫ m 2 R
m gt ∴ v= M m+ 2
R m1 m2
1 1 m gt 2 2 Ek,m = m = m( v ) = 8.2J M 2 2 m+ 2
1 2 1 1 v 2 m gt 2 2 RT∆θ = W = Iω = ( MR )( ) = M( ) = 20.2(J) 2 2 2 R M + 2m 在其重量作用下滚落, 4-8 有一线绕圆盘半径为R、质量为m在其重量作用下滚落,显 得上端固定在天花板上。 得上端固定在天花板上。求圆盘中心从静止下落h高度时的转动
F 解： dN = 2πrdr dM = rµdN 2 πR R 2 M = ∫ dM = µFR 0 3 ห้องสมุดไป่ตู้ R 又 M = Iβ = ( m 2 )β ω0 = βt 2 3m ω0 R 1 2 R ω0 M = ∴ t= m 2 4µF
ω0
R r dr
如图， 4-5 如图，两物体的质量分别为m1 和m2，滑轮的转动惯量为I， (1)如果 与桌面之间为光滑接触， 半径为R。(1)如果m2与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度a .(2)如果 及绳中张力T1和T2 .(2)如果m2与桌面之间的摩擦系数为µ ,求系 3 统的加速度和及绳中张力 绳子与滑轮间没有相对滑动。 统的加速度和及绳中张力T1和T2 .绳子与滑轮间没有相对滑动。
dω Mz = Izβ = Iz 而力矩的功: 而力矩的功 dt ω dω w = ∫ Mzdθ = ∫ Iz ⋅ ωdt = ∫ Izω dω ω0 dt 1 1 2 2 = Izω − Izω0 2 2
z
ω
力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理. 力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理 =0.2米 =2.5千克的匀质 如图所示， 4-7 如图所示，有一个半径为R=0.2米，质量m1=2.5千克的匀质 圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳， 圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳 上缀一个质量m2=0.51千克的物体。试计算施在圆盘上的力矩从 =0.51千克的物体。 千克的物体 的动能。 静止开始， 静止开始，在2秒之内所作的功和2秒时物体m2的动能。 秒之内所作的功和2
h
8
两个飞轮A 可以接合起来， 4-10 两个飞轮A和B可以接合起来，使它们以相同的转速一起转 以知AB两飞轮的轴在同一直线上， AB两飞轮的轴在同一直线上 动。以知AB两飞轮的轴在同一直线上，A轮的转动惯量为 I1=10 千克·米 =20千克 千克·米 开始时A 千克 米2 ，B轮的转动惯量为 I2=20千克 米2，开始时A以转速 两轮接合后的转速: n1=600 转·分-1 匀速转动，B轮静止.求（1）两轮接合后的转速: 分 匀速转动， 轮静止. 结合过程中机械能的损耗。 （2）结合过程中机械能的损耗。 =2π 接合过程中,摩擦属内力, 解：以知 ω 1=2πn接合过程中,摩擦属内力,又 无其他外力矩，角动量守恒I 无其他外力矩，角动量守恒I1ω = (I1+I2)ω A B I1 ω n= = n1 = 200 （转/分） 所以
1 1 2 2 W = m = m = m(2a) ω gh ga 2 3
细杆脱落后,质心满足： 细杆脱落后,质心满足：
vc = aω
A
1 2
而棒绕质心转动,角动量守恒, 而棒绕质心转动,角动量守恒,所以ω 不变
1 2 h = gt 2
C C’
B
∆θ = ωt = 2πN
1 3h 解得： N = 解得： ( ) 2π a
I1 = 1 m 2 l 3 I2 = m l
1 3 2
O
l
A
2 3 2
1 2 3 2 5 2 I3 = m + m( l) = m l l 12 2 4
总的转动惯量为: 总的转动惯量为:
3 2
l
l
B
I = I1 + I2 + I3 = ml
l
4-3
一半圆形均匀细杆，其半径为R 质量为m 如图所示， 一半圆形均匀细杆，其半径为R，质量为m，如图所示，试
I
I m1g − T = m1a 1 a = (m1 − µm2 )g ( R2 + m1 + m2 ) (m1g ≥ µm2g时) I I T − µm2g = m2a T2 = (m1 + µm2 + µ 2 )m2 g ( 2 + m1 + m2 ) 2 R R I I (T − T )R = I a 2 1 R T1 = m1g( R2 + m1 + µm2 ) ( R2 + m1 + m2 ) 4
动能和质心速度? 动能和质心速度? 解: 质心运动定理 质心系中的角动量定理
1 2 dω QTR = m R 2 dt
m −T= m C g a
6
角量、线量的关系张力的作用点是瞬时不动点 角量、
dω ω 2 β= aC = Rβ vC = Rω aC = g dt 3 1 vC 2 1 4 EkC = I( ) = mgh vC = gh 2 R 3 3
2 2 2 2 QvC末 = R2ωC末 = vC = R2ωC
1 vC 2 1 4 EkC = I( ) = m gh vC = gh 2 R 3 3 长为2 4-9 长为2a的匀质细杆AB，以铰链固结于A点，起初使杆在水平 点无摩擦地转至竖直位置时， 位置， 位置，当放开B端，棒绕A点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自
4-5解： (1)如图所示分为三个隔离体求解。 (1)如图所示分为三个隔离体求解。 如图所示分为三个隔离体求解
m2
T2
m1g − T = m1a 1 T = m2a 2 a (T − T )R = I 1 2 R (2)
I a = m1 g ( R2 + m1 + m2 ) T1 I T2 = m1m2 g ( 2 + m1 + m2 ) R m1 I I 1 T = m1g( R2 + m2 ) ( R2 + m1 + m2 )
2
以垂直于盘面的力F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上， 4-4 以垂直于盘面的力F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上， 使其制动,如图所示.飞轮可以看作是质量为m 半径为R 使其制动,如图所示.飞轮可以看作是质量为m、半径为R的匀质圆 盘面与粗糙平面间的摩擦系数为µ,轴的粗细可略, 盘,盘面与粗糙平面间的摩擦系数为 ,轴的粗细可略,飞轮的初始 角速度为ω.(1)求摩擦力矩.(2)经过多长时间飞轮才停止转动 求摩擦力矩.(2)经过多长时间飞轮才停止转动？ 角速度为ω.(1)求摩擦力矩.(2)经过多长时间飞轮才停止转动？
10
=10千克 千克, =0.20米的圆柱体 米的圆柱体， 4-12 一质量m=10千克,半径为R=0.20米的圆柱体，用绳子系住 =0.1米 它的旋转中心轴， =2千克 千克， 它的旋转中心轴，此绳子跨过一质量m1 =2千克，半径r =0.1米 的定滑轮， =5.0千克的重物 千克的重物。 的定滑轮，在绳的下端悬一质量m2=5.0千克的重物。设绳长不变 绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计， ，绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计，绳与定滑轮间无相对 滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时， 重物的加速度( 滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时，求：(1)重物的加速度(2)绳 中张力T1 和T2.. v v' R T 解:
v v 末v 1 2 1 2 v ∑∫初Fi外 ⋅ drCO = ∫初T⋅ drCO =( 2 mv C末 − 2 mv C初) + (ECp末 − ECp初) （2） i
两式相加
i 末 初 初 i 初
1 1 2 2 0 = m C末 − m C + IωC末 v gh 2 2
7
在惯性系中绳张力不作功。 在惯性系中绳张力不作功。
I1 + I2
解：圆盘的运动属于纯滚动.小圆盘与绳的切 圆盘的运动属于纯滚动. 为 瞬时轴，则有： 点O’为 瞬时轴，则有：
T(RA − RB ) = (mA + mB )gRB
圆盘静止或匀速运动, (1) 圆盘静止或匀速运动,则m也匀速运动或 则有T 静止 ,则有T = mg
T’ RA O O’ RB
m (RA − RB ) = (mA + mB )gRB g
圆盘向上加速运动
T (mA+mB)g
当m (RA − RB ) > (mA + mB )gRB g
圆盘向下加速运动
g 当m (RA − RB ) < (mA + mB )gRB T
m
在静止条件下将圆盘和物体m视为一整体， (2) 在静止条件下将圆盘和物体m视为一整体，则: T’=(m+mA+mB)g =(m+m 物体m静止则有: 物体m静止则有: T=mg mg
第四章
刚体的运动规律
4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理 一个平面刚体薄板 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板 一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴的转动惯量,等于绕平面内与该垂直轴相交 对于垂直板面的某轴的转动惯量 等于绕平面内与该垂直轴相交 的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和,即 的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和 即 Iz=Ix+Iy 证明: 证明 依题意作右图所示,由定义求得 依题意作右图所示 由定义求得: 由定义求得 y dm r x x z y
求细杆对过圆形圆心和端点的轴AA 的转动惯量 求细杆对过圆形圆心和端点的轴AA’的转动惯量. AA 的转动惯量. 解:
QdI = r dm = (Rsinθ)ρRdθ
2
dl = Rdθ
ρR3 1 2 3 2 I = ∫ dI = ρR ∫ sin θdθ = = mR 0 2 2
π
A R
'
dθ
θ
r A
2π
1 2 1 I2 2 2 2 − ∆E = I1ω1 − (I1 + I2 )ω = 2I1π n1 ≈ 1.32×104 (J) 2 2 I1 + I2
质量为m 半径为R 的两个圆盘同心地粘在一起, 4-11 质量为mA和mB,半径为RA和RB的两个圆盘同心地粘在一起,小 圆盘边缘绕有绳子,上端固定在天花板上,大圆盘也绕有绳子, 圆盘边缘绕有绳子,上端固定在天花板上,大圆盘也绕有绳子,下 端挂以质量为m的物体,如图所示. (1)要使圆盘向上加速 要使圆盘向上加速、 端挂以质量为m的物体,如图所示.求(1)要使圆盘向上加速、向下 加速,静止或匀速运动的条件?(2)在静止条件下两段绳中的张力. ?(2)在静止条件下两段绳中的张力 加速,静止或匀速运动的条件?(2)在静止条件下两段绳中的张力. 轴处摩擦和绳的质量忽略.绳与滑轮之间没有相对滑动发生. 轴处摩擦和绳的质量忽略.绳与滑轮之间没有相对滑动发生. 9
Iz = ∫ r2dm = ∫ (x2 + y2 )dm = ∫ x2dm + ∫ y2dm = Ix + Iy
计算由三根质量均为m长为l 4-2 计算由三根质量均为m长为l的均匀细杆组成的正三角形 绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量.
1
OA相对于 点的转动惯量: 相对于O 解： OA相对于O点的转动惯量: OB相对于O点的转动惯量: OB相对于O点的转动惯量: 相对于 AB相对于O点的转动惯量: AB相对于O点的转动惯量: 相对于
解法2： ： Q
R
m
v T
v mg
∑∫
i
末
初
v 末v v v Fi外 ⋅ driC = ∫ T⋅ dr边C = ∑(Eik内末 − Eik内初)
初 i
1 2 1 2 1 = ( IωC末 − IωC初) （） 2 2 末 末r 末r r r r r Q∑∫ migdriC = ∫ g ⋅ d(∑miriC) = ∫ g ⋅ mdrCC = 0
4-6 从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理 从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理. 角加速度为β 转动惯量 解: 刚体饶定轴转动角速度为ω,角加速度为β,转动惯量
外力对定轴z的力矩为 转动定律数学表达式: 的力矩为M 为Iz ,外力对定轴 的力矩为 z,转动定律数学表达式
动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中， 动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛 物线， 转动， 物线，而棒本身则绕质心C转动，试求当它的质心从C’位置下 距离时（如图所示），棒共转了多少转？ ），棒共转了多少转 降h距离时（如图所示），棒共转了多少转？ 解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时,重力作功，有 细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时,重力作功，