集合与常用逻辑用语

• 4．(2014年哈师大附中)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝ {x|0≤x<5}，则集合(∁UA)∩B＝( ) • A．{x|0<x<2} B．{x|0<x≤2} • C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤2} • 解析：先求出∁UA＝{x|x<2}，再利用交集的定义求得(∁UA)∩B＝ {x|0≤x<2}． • 答案：C
元素与集合
• 1．集合元素的特性： 、 确定性 、无序性． 互异性 • 2．集合与元素的关系：若a属于A，记作 ；若b不属于A， a∈A 记作 . • 3．集合的表示方法： 、 、图示法． b∉A • ____________________[ 通关方略]____________________ 列举法 描述法 • 1．集合中含有参数的问题，解题时要用互异性对所求参数进行 检验． • 2．无序性常用来判断两个集合的关系．
)
• 解析：∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时， b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S” 知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i， • ∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1. • 答案：B
• 2．已知集合A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝ m，y＝3m2＋12，m∈Z}．若存在实数a，b使得A∩B≠∅成立，称 点(a，b)为“￡”点，则“￡”点在平面区域C＝{(x，y)|x2＋ y2≤108}内的个数是( ) • A．0 B．1 • C．2 D．无数个
• 2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集 共有( ) • A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 • 解析：P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4个． • 答案：B • 3．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝ ( ) • A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 • 解析：当B为空集时，m＝0；当2∈B时，m＝3；当3∈B时，m＝ 2. • 答案：D
集合的基本运算
• 【例3】 (1)(2013年高考湖北卷)已知全集为R，集合A＝{x|x≤1}， B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝( ) • A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} • C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4} • (2)(2013年高考重庆卷改编)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}， B＝{2,3}，则∁U(A∩B)＝( ) • A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}
• 答案：B
集合间的基本关系
• 【例2】 设全集U＝R，集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列 关系中正确的是( ) • A．M＝P B．P M • C．M P D．(∁UM)∩P＝∅ • [解析] 对集合P：由x2>1，知x>1或x<－1，借助数轴，故M P， 选C. • [答案] C
——集合的创新性问题
• 以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问 题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新 定义、新运算与性质等．
集合新定义问题
• 【典例1】 (2014年广东省实验中学测试)若X是一个集合，τ是一 个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ； ②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ. 则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面 给出的四个集合τ： • ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}， {a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a， c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． • 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是________．
• 变式训练 • 2．(2014年云浮模拟)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋ 1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为 ( ) • A．(1,9) B．[1,9] C．[6,9) D．(6,9] • 解析：依题意，P∩Q＝Q、Q⊆P，于是，解得6<a≤9，即实数a的 取值范围是(6,9]，选D. • 答案：D
• 由题悟道 • 解决创新集合新运算问题常分为三步 • (1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向； • (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法； • (3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息 的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．
1．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对 a＝1， 2 任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当b ＝1 ，时，b＋c＋d等于( c2＝b A．1 C．0 B．－1 D．i
第一章
集合与常用逻辑用语
第一节
[最新考纲ห้องสมุดไป่ตู้示]
集合
1．了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系． 2.能用自然 语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问 题． 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子 集． 4.在具体情境下，了解全集和空集的含义． 5.理解两个 集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交 集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子 集的补集． 7.能使用Venn图表达集合的关系和运算．
• [解析] (1)由题意可知，集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以 ∁RB＝{x|x<2或x>4}，此时由借助数轴可得，A∩∁RB＝{x|0≤x<2或 x>4}，故选C. • (2)由韦恩图可得，A∩B＝{2}，且全集U＝{1,2,3,4}，所以 ∁U(A∩B)＝{1,3,4}． • [答案] (1)C (2)A
解析：要使A∩B≠∅，首先函数y＝ax＋b的图象与函数y＝3x2＋12
y＝3x2＋12 的图象必须有公共点，由 y＝ax＋b
可得3x2－ax－b＋12＝0 ①，
由Δ＝a2－12(－b＋12)≥0可得a2＋12b≥144，若点(a，b)在区域C内， 则必有a2＋b2≤108，即a2≤108－b2，故144≤a2＋12b≤108－b2＋ 12b，所以b2－12b＋36≤0，即(b－6)2≤0，所以b＝6，所以a2≤108－ b2＝72，由a2＋12b≥144可得a2≥72，故a2＝72，即a＝± 6 可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A. • 答案：A 2 ，代入①
• 反思总结 • 1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式 中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻 找关系． • 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转 化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题 常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
解析：由|x－a|≤1，∴A＝[a－1，a＋1]．
a－1≤4， 当 A∩B≠∅时，有 a＋1≥2.
∴1≤a≤5.
• 反思总结 • 在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图、数轴和坐标 平面等工具，使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦 恩(Venn)图表示；集合元素为连续实数时用数轴表示，用数轴表 示时注意端点值的取舍.
• 反思总结 • 判断元素与集合的关系时，若已知集合用描述法给出，且元素 易列举，可一一列举后比较判断，否则，需验证对象是否满足集 合中元素的共同特征，满足即“属于”，不满足即“不属于”．
变式训练 12 1．集合{x∈N*| x ∈Z}中含有的元素个数为( A．4 B．6 C．8 D．12 )
12 12 12 解析：当x＝1时， x ＝12；当x＝2时， x ＝6；当x＝3时， x ＝ 12 12 12 4；当x＝4时， x ＝3；当x＝6时， x ＝2；当x＝12时， x ＝1.
集合的基本运算
• ____________________[通关方略]____________________ • 1．集合运算的方法 • (1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对 已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独 考察符号． • (2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． • 2．常用结论 • (1)A∩∅＝∅，A∪∅＝A，A∩A＝A，A∪A＝A. • (2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. • 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
• 5．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝ {2,3}，则实数p的值为________． • 解析：由条件可得M＝{1,4}，把1代入x2－5x＋p＝0，可得p＝4. 再检验可知结论成立． • 答案：4
集合的基本概念
• 【例1】 (1)(2013年高考山东卷)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B ＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) • A．1 B．3 C．5 D．9 • (2)(2013年高考江西卷)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 个元素，则a＝( ) • A．4 B．2 C．0 D．0或4
• [解析] ①中，{a}∪{c}＝{a，c}，但{a，c}不属于τ，所以①不 是集合X的一个拓朴； • ③中，{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}，但{a，b，c}不属于τ，所以 ③不是集合X的一个拓朴；②④均符合，故填②④. • [答案] ②④ • 由题悟道
•
该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，解决时 只需准确提取信息并加工利用，便可解决．
1．已知集合A＝{3， 2 ，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则 a的值为________．
解析：因为A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝ 2 或a＝－ 2 ；当a ＝ 2时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－ 2.
答案：－ 2
集合间基本关系
• ____________________[通关方略]____________________ • 1．集合的子集和真子集具有传递性，即若A⊆B，B⊆C，则A⊆C； 若A B，B C，则A C. • 2．对于集合A，B若A∩B＝A∪B，则A＝B. • 3．要注意∅的特殊性，在写集合的子集时不要忘记空集和它本 身． • 4．若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－ 1，非空真子集的个数是2n－2.
集合新运算与性质
• 【典例2】 设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x， y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是( ) • A．7 B．10 C．25 D．52 • [解析] A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝ {(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (3,5)}，共有10个元素，故选B. • [答案] B
• [解析] (1)逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－ 2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－ 1,0,1,2.共5个． • (2)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数 解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)． • [答案] (1)C (2)A