第五章 梁弯曲时的位移 - 材料力学精品课

写出微分方程并积分。 EIw M ( x) Fl Fx
1 2 Fx C1 ， 2 1 1 EIw Flx 2 Fx 3 C1 x C 2 2 6 EI w Flx
应用位移边界条件求积分常数 由 w x 0 0

x 0
0
得 C1=0，C2=0
A
例题7-6试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的外伸梁截面B的
转角以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。 2q
q
A 2q A w2 B 2qa
B
D
C
a
qa2
a
2a
2qa
q
w1
qa2
B
D
C
q
B θBq D
wDq
wDM
C
解：将梁沿B截面截开，如图所示， 看成一悬臂梁和简支梁。
qa2
B θBM
D
C
ql3 q(2a)3 qa3 Bq 24EI 48EI 3EI M Bl 2qa3 BM 3EI 3EI
样的钢材制成，材料的弹性模量为E，梁的横截面惯性矩为I， 拉杆的横截面面积为A，其余尺寸见图。试求钢杆AD的拉力FN。 D l 2q
q
A
B
C
a
2a
D 2q
FN A A1 FN wA 2q B
q q
解：、建立基本静定系。 、几何方程——变 形协调方程 C
wA l
wA wAq wAF l
Me A
q
C
B
解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。
l
q
wC wCq wCM
B
M el 2 5ql 4 384EI 16EI
A
Me A
A Aq AM
B Bq BM
M el ql3 24EI 3EI
M el ql3 24EI 6 EI
C
wAq FN wAF
B
B
C
D 2q
FN A A1 FN wA 2q B
q q
、物理方程——变形与力 的关系
7 qa4 wAq 12EI C FN a 3 wAF EI
C
wAq FN wAF
B
FN l l EA
B
C
、补充方程 求得：
7qa4 FN a 3 FN l ＝ 12EI EI EA
二、提高梁刚度的措施 1.增大梁的弯曲刚度 2.调整跨长和改变结构
§7－ 6
一、概念
简单超静定梁的求解
1. 静定梁：支座反力和内力仅用静力平衡条件 就可全部确定的梁。 2. 超静定梁：支座反力和内力仅靠静力平衡条 件不能全部确定的梁。 3. 超静定次数：多余约束的数目。 二、超静定梁的求解－变形比较法。 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方 程相结合，求全部未知力。
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x 0 0
位移连续条件：
w xl 0
(a) w2 (a) w1 (a) w2 (a), w1
得： C C Fb (l 2 b 2 ), 1 2 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
AC段:
A
l
B
x
y
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237 104 m 4
梁的最大挠度为：
wmax ql 4 3 103 34 3 6 . 4 10 m 9 4 8EI 8 20010 0.23710
wmax 6.4103 1 1 l 3 468 400 满足刚度要求。
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
w
w
1 1 2 Flx Fx EI 2
1 1 1 3 2 Flx Fx EI 2 6
⑤ 求最大挠度和最大转角。在自由端处，有
max
Fl 2 Fl 2 Fl 2 EI 2 EI 2 EI
wmax
2、举例
q
A B
解：、建立基本静定系 确定超静定次数，用反力代替多余
l
q A
q A A
约束所得到的结构——基本静定系。
B FB
B
、几何方程——变形协调方程
wB wBq wBF 0
w物理方程——变形与 力的关系 B
wBq
B
q
A q A A
ql 4 8EI
(0 x a )
Fb 1 2 2 2 1 (l b ) x 2 EIl 3
：
Fbx 2 w1 (l b 2 x 2 ) 6 EIl
BC段:
(a x l )
：
1 Fb 2 2 F 2 2 2 ( l b 3 x ) ( x a ) EI 2 6l
EIw( x) M ( x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1、微分方程的积分
EIw( x) M ( x)
积分一次， EIw M ( x)dx C1 积分两次，
EIw 〔 M ( x)dx〕dx C1 x C 2
2、位移边界条件 、支座约束条件：
B
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me A
q
C
B
解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。
l
q
wC wCq wCM
B
M el 2 5ql 4 384EI 16EI
A
Me A
A Aq AM
wA w1 w2 B a w2
qa3 qa4 7qa4 wA a 3EI 4 EI 12EI
§7－5
梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wmax w l l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。 q
Fb M2 x F ( x a) BC段弯矩方程为： l
Fb x l
(0 x a)
(a x l )
写出微分方程并积分。
AC段:
M 1 F EI w1 b x ( 0 l Fb 2 EI w1 x C1 2l Fb 3 EIw 1 x C1 x D1 6l
一、挠曲线近似微分方程
x
M M>0
w 0
x x
M
M<0<0 M
M
M
w 0
w
w
1 M ( x) 由曲率与挠度的关系： ( x) EI
而曲率可写作：
由上两式可得：
1 w ( x) (1 w 2 ) 3 2
M ( x) w EI (1 w 2 ) 3 2
k
θ（转角） x
w（挠度）
y
二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。
三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该 曲线称为挠曲线。 其方程为：
w =f（x）
四、转角与挠曲线的关系：
dw tan f ( x) dx
§7－2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
x a)
（a） （b）
BC段:
EI w2
Fb x F ( x a) l
(a x l )
Fb 2 F （c） x ( x a) 2 C 2 2l 2 Fb 3 F （d） EIw 2 x ( x a ) 3 C 2 x D2 6l 6 EI w2
在图示坐标系中，M ( x)与 w 总是符号相反，故
w M ( x) (1 w2 )3 2 EI
（5-1）
在小变形情况下， 所以，有：
w w 2 32 (1 w )
w M ( x) EI
式（ 5-2 ）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下 形式：
1 Fbx 2 F 2 2 3 y2 (l b x ) ( x a) EI 6l 6
⑤ 求指定截面的位移。
C点的挠度：
wC
xa
Fab 2 2 2 (l b a ) 6 EIl
A截面的转角：
Fb 2 2 A （l b ) 6 EIl
§7－3
7qa4 A FN＝ 12( Il Aa3 )
wBF
FB l 3 3EI
、补充方程
ql 4 FB l 3 0 8EI 3EI
FB B
wBq wBF
求得：
3 FB ql 8
、求解其它问题（反力、 应力、变形等）
B RB
例题7-7 一外伸梁承受如图所示的荷载，A端用一钢杆AD与梁
连接。在梁承受荷载前，杆AD内没有内力。已知梁与拉杆用同
按叠加原理计算梁的挠度和转角
一、叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的效应等于每个
载荷单独作用于结构而引起的效应的代数和。 二、用叠加法作内力图 步骤： ①分别求出各项荷载单独作用下梁的位移； ②将其相应的位移叠加即可。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试
按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
A B
A
wA=0
wB=0
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件： A
P
C θC左=θ C右 wC左= wC右，