三年级奥数-高斯求和
新三第3讲-高斯求和
高斯求和德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =? “这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。
不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。
老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1和100，2和99，3和98，…），可以搭配100 ÷ 2 = 50对，并且它们的和都等于101。
也就是说1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100相当于50个101 ，即5050。
用一个算式表示就是：（1 + 100）×（100 ÷ 2）= 5050。
事实上，像1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。
利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：等差数列的和 =（首项 + 末项）×项数÷ 2等差数列的项数 =（末项–首项）÷公差 + 1首项 = 末项–公差×（项数– 1）末项 = 首项 + 公差×（项数– 1）有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。
【例1】计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10分析在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数两两配对，可配成5对（如图）。
因此，求这10个数的和可以看成是求5个（1 + 10）的和。
〖即学即练1〗（1）计算：1 + 3 + 5 + … + 17 + 19（2）求50以内所有偶数（包括50）的和。
奥数之高斯求和
承上题
解：项数=（995-104）÷11+1 =891÷11+1 =82
总和=（104+）×82÷2 =1099×82÷2 =45059
课堂练习
1、时钟在1点钟时敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下， 依次类推，从1至12点钟共敲了几下？
2、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天 都比前一天多学会了1个，最后一天学会了26个。丹丹 在这些天中共学会了多少个单词？
例3：求所有加6以后被11整除的三 位数的和。
分析：加“6以后被11整数的三位数，”换一 个说法，也就是“被11除余5的三位数。” 在这些数中最小的三位数是104，最大 的三位数是995，而且相邻两数都相差11， 即这些三位数依次是104、115、 126······995。 显然，它们成等差数列，故可利用等差 数列求和公式求和。
研究目标
若干个数按照一定的顺序规律排列起来就 是一个数列。
如果在这个数列中，任意两个相邻的数 之间的差都相等，我们就把这个数列称为 等差数列。其中第一个数称为首项，最后 一个数称为末项。相邻两个数之间的差称 为公差，这列数中数的个数称为项数。
等差数列求和公式
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差×（项数-1） 首项=末项-公差×（项数+1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1）
2、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？ 3、6个连续偶数的和是1998，这6个数是多少？ 4、计算 （7+9+11+······+25）-（5+7+9+······+23） 19971997+9971997+971997+71997+1997+997+97+9 5、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小学奥数——高斯求和专项讲解
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跟 找规律求和：
张
1+2+3=6=2×3
老
1+2+3+4+5=15=3×5
师
1+2+3+4+5+6+7=28=4×7
学
小
1+3+5=9=3×3
学
1+3+5+7+9=25=5×5
奥
1+3+5+7+9+11+13=49=7×7
数
规律：等差数列的和=中间数×项数
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师
示
举例： 1,3,5,7,9……
学
小 公差d=__2___ 首项a1=__1____
学 a1=1 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
奥
a10=a1+_9_×__d a20=_a_1_+19__×__d
数
a100=a1+9_9_×__d an=_a_1_+_9_9_×__d
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数 =50
=100 × 50÷2 =5000÷2
=2500
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跟 例题解析：
张
（3）电影院的第1排有10个座位，以
老
后每排比前一排多一个座位，电影
师
院共20排，一共有多少个座位？
学
a1＝10， d＝1 ,n＝20
小
学
an=a1+(n-1)d
=10+(20-1)×1
S=（a1+an） ×n ÷2 =（10+29）× 20÷2
三年级奥数高斯求和
高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。
奥数知识十二——高斯求和（等差数列）
奥数知识十二——高斯求和（等差数列）高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）
德国数学家⾼斯幼年时代聪明过⼈，上学时，有⼀天⽼师出了⼀道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ⽼师出完题后，全班同学都在埋头计算，⼩⾼斯却很快算出答案等于5050。
⾼斯为什么算得⼜快⼜准呢？原来⼩⾼斯通过细⼼观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，⼩⾼斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
⼩⾼斯使⽤的这种求和⽅法，真是聪明极了，简单快捷，并且⼴泛地适⽤于“等差数列”的求和问题。
若⼲个数排成⼀列称为数列，数列中的每⼀个数称为⼀项，其中第⼀项称为⾸项，最后⼀项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是⾸项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是⾸项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是⾸项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由⾼斯的巧算⽅法，得到等差数列的求和公式： 和=（⾸项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，⾸项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利⽤等差数列求和公式之前，⼀定要判断题⽬中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，⾸项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利⽤等差数列求和公式时，有时项数并不是⼀⽬了然的，这时就需要先求出项数。
小学奥数题_高斯求和
《小学奥数教程：高斯求和》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.在关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（）A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天2.现在有100个苹果要分给学生，保证每个学生最少分得一个苹果，并且每个学生分得的苹果数都不相同，则最多可以分给（）个同学。
A. 11B. 12C. 13D. 143.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A. 45B. 50C. 55D. 604.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A. 100000B. 499000C. 499500D. 5000005.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A. 100B. 500C. 1000D. 5050二、判断题6.1+2+3+…+2006的和是奇数．．三、填空题7.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习.当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是________.8.1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15=________²9.一本书，小红第一天读了3页，以后每天都比前一天多读1页，5天后，小红一共读了________页。
10.一堆钢管的最上层有3根，最下层有13根，每相邻两层相差1根，这堆钢管一共有________根。
11.91＋92＋93＋94＋95＝93×________＝________12.1+2+3+4+5+6+7+8+9……+99=________。
13.学校有一只大钟，一时敲1下，2时敲2下……12时敲12下．你知道它一昼夜一共敲________下14.填上合适的数981+982+983+984+985+986+987=984×________=________15.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号．16.1+3+5+7+…+97+99=________ =________ 2．17.1+2+3+4+5+6+7+…+99=________．18.计算：9+17+25+…+177=________．19.100以内的偶数和是________ ．20.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．21.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2012，去掉的那两个数共有________ 种可能．22.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________ 块．23.9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是________ ．24.1+2+3+4+5…+2007+2008的和是________ （奇数或偶数）．25.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．26.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________ ．27.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________ ．28.1+3+5+…+99=________．29.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________ 个杯子．30.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是________ ．31.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是________ ．四、计算题32.33.想一想，算一算。
小学奥数--高斯求和练习(学生版)
高斯求和练习1、1+2+3+∙∙∙+302、4+7+10+13+16+193、3+6+9+12+15+18+21+24+27+304、3+7+11+15+19+23+27+315、3+5+7+9+∙∙∙+356、2+5+8+11+14+∙∙∙+627、4+7+10+13+∙∙∙∙∙∙（共20项）8、6+10+14+18+∙∙∙∙∙∙（共20项）9、3+8+13+18+∙∙∙∙∙∙（共10项）10、1000-2-5-8-10-14-∙∙∙∙∙∙-62 11、40+41+42+43+∙∙∙+80 12、8+12+16+20+∙∙∙（共20项）13、1000-1-2-3-∙∙∙∙∙∙-40 14、9+16+23+30+37+44+5115、1+4+7+10+13+∙∙∙∙∙∙（共21项）16、1.5.9.13 ∙∙∙∙∙∙求这组的第21项是多少? 17、300-1-2-3-∙∙∙∙∙∙-2018、1+4+7+10+∙∙∙（共20项）19、50-49+48-47+46-45+∙∙∙-3+2-1 20、2000-1-2-3-∙∙∙-40 21、2310-2-4-6-8-∙∙∙-100高斯求和(解决问题）练习题1、在13和25两个数之问插入3个数，使这5个数构成等差数列，你知道插入的3个数分别是多少吗?2、5个连续奇数和是45，求这5个数是多少?3、一个剧场设置了22排座位，第一排有20个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？3、一堆木材叠在一起，一共是20层，第l层有12根，第2层有13根，……下面每层比上一层多1根，这堆木材共有多少根？5、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？6、在10和30两个数之间插入4个数，使这6个数构成等差数列，你知道插入的4个数分别是多少吗?7、有9个连续偶数和是180，求这9个数是多少?8、一个剧场设置了30排座位，第一排有20个座位，往后每排都比前一排多1个座位，这个剧场共有多少个座位?9、小马虎存计算从1加到100的和时，把其中一个数漏掉了，得出的和是5000，请问他把哪个数丢了?10、甲乙二人都住在同一个胡同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数甲住在21号，乙住在193号，甲乙二人的住处相隔多少个门?11、我家在一条短胡同里，这条胡同门牌从1挨着编下去，如果除我家外，其余各家门牌号加起来，减去我家门牌号数，恰好等于100，我家门牌号是几?12、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了40层，共有多少根铁管?13、一个剧场设置了20排座位。
高斯小学奥数含答案三年级上第07讲和倍与和差
本讲中，我们将学习一类新的应用题——和差倍问题．所谓“和差倍问题”，就是指题目条件中给出的是数量之间的和、差或者倍数的大小，通过和、差、倍其中某几个条件来求出具体每个数量的大小．在解决和差倍问题时，线段图法是最常用的方法，一般选取较少的数量画成一段，再按照题目条件中所给的数量关系画出其他量的长度，再设法通过条件求出一段所代表的数量即可．先来看一下和倍问题，和倍问题就是条件中给出了和的关系和倍数关系的问题．例题1纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍，请问：男、女职工各有几人？分析：试着补全下面这个线段图，男职工画成一段的话，女职工应该画成几段呢？,“1” 、、男职工 1 1I480人女职工某小学有学生共1500名，其中男生人数是女生的2倍，请问：男、女生各有多练习1少人？例题1中一个量是另一个量的整倍数，这类问题比较容易解决．当一个量不是另一个量整倍数，而是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，或把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决．例题2交通协管员一个月一共开出78张罚单．这些罚单有两种：一种是违章停车，一种则是闯红灯．违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3 张．违章停车的罚单共有几张？分析：哪种罚单的数量较少？应该把哪种罚单的数量画成一段呢？卡莉娅和小山羊一共有92颗糖，卡莉娅的糖果数量比小山羊的3倍多4颗，请造习»问：卡莉娅有多少颗糖？例题3果园中梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果树的2倍少2棵，苹果树有多少棵？分析：如果再多2棵梨树的话，总共有多少棵树？梨树是苹果树的多少倍？文具店里有圆珠笔和钢笔共76支，圆珠笔比钢笔的3倍少4支，圆珠笔有多少0习力支？我们解决了和倍问题后，如果只知道“和”与“差”呢？这就是接下来要解决的问题——和差问题．例题4小高和墨莫一共有40元，其中小高比墨莫少14元，那么墨莫有多少元？分析：把小高的钱数画成一段，不难画出如下图所示的线段图，如何求出“1”段代表的钱数呢？例题5阿呆和阿瓜共有56根玉米．如果阿呆给阿瓜5根，则阿呆比阿瓜少2根．请问原来阿呆和阿瓜各有多少根？分析：题目条件中有“倍”的关系，能不能找到“和”的条件呢？例题6登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125名．原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，即使这样第一组仍比第二组多5名．原来第一组有多少名专家？分析：两组的人数和是多少？差是多少？课堂内外月球是地球最亲密的邻居.多少个夜晚，当人类仰望夜空时，银色的月亮 总是让无数人浮想联翩.关于月亮的神话和传说也多不胜数.在20世纪，人类 终于登上了月球，揭开了月球神秘的面纱.50年代末，苏联和美国的太空站愈演愈烈.苏联发射卫星，建立太空空间 站，取得了一系列巨大成就.美国不甘落后，也在1961年5月25日向全世界 宣布实施宏伟的载人登月计划.1969年7月21日，“阿波罗” 11号宇宙飞船的 登月舱载着两名宇航员降落到了月球上，11时56分，阿姆斯特朗打开登月舱 舱门，走出去，小心翼翼地把梯子放到月面（在地球上未曾模拟过此动作）他 带着电视摄像机慢慢走下梯子，踏上了人们为之梦想了数千年的月球，这时他 激动地说：“对我来讲这是一小步，而对于全人类而言这又是何等巨大的飞跃!” 19分钟后，奥尔德林也走出登月舱.两名宇航员很快在月球上学会了地球人不 习惯的移动方法：跳跃.人类登月历史划也顺势推出，一共分三步进行：发射太空实验室和寻找贵重元素月球轨道飞行器；第二步，实现太空机器人登月；第三步，载人登月.北京时 间2007年10月24日18时05分左右，嫦娥一号月球探测卫星成功发射，运行 良好，标志着我们国家的首次月球探测工程圆满成功.步他俩时而用单脚蹦，时而又用双脚跳，有些像袋鼠.此外，两人还在月球上放置了一块金属纪念牌，上面镶刻着：“1969年7月.这是地球人在月球首次着陆的地方.我们代表全人类平安地到达这里”“阿波罗11号”登月后，又有五艘飞船相继成功登月.“阿波罗”工程是当代规模最大、耗资最多的科技项目之一.后来又将该计划中取得的技术进步成果向民用转移，带动了整个科技的发展与工业繁荣，其二次开发应用的效益，远远超过“阿波罗”计划本身所带来的直接经济与社会效益.总之，载人登月对人类社会发展具有重要推动作用.此后，各国也纷纷宣布登月计划.随着航天实力逐渐增强，中国的登月计1.包子铺里有肉包子和菜包子共90个，其中肉包子数量是菜包子的2倍，肉包子有几个？2.某市去年一年365天内不下雨的天数比下雨的天数的3倍多5天，那么去年一年中该市有几天下雨？3.公园里有松树和柏树共98棵，其中松树比柏树的3倍少2棵，柏树有多少棵？4.体育室里篮球和足球共46个，并且篮球比足球多6个，请问：足球有多少个？5.小高、墨莫和卡莉娅共有40块糖，小高的糖是卡莉娅的2倍，墨莫的糖和卡莉娅一样多，请问卡莉娅有几块糖详解：通过倍数关系画出线段图，男职工为“1”份，女职工为“3”份．总人数是480人表示的是“4”份，那么“1”份为480 +（1 + 3）= 120人，即男职工有120人，女职工有120x3 = 360人或480 -120 = 360 人.2.例题2答案：63张详解：通过倍数关系画出线段图，设闯红灯的时间为“1”份，接下来画违章罚单的数量为“4”份多3张．总罚单78张表示的是“4+1”份多3张，为求“1”份，把多的这3张去掉，总罚单相应减少3张变成75张，那么“1”份为（78 -3）+（1 + 4）= 15张，即闯红灯的罚单有15张，违章的罚单有4x 15 + 3 = 63张或78 -15 = 63张.3.例题3答案：23棵详解：通过倍数关系画出线段图，“1”份为（67 + 2）+（1 + 2）= 23棵，苹果树有23棵.4.例题4答案：27元详解：小高有（4。
小学三年级(奥数)专项训练 加法巧赛算
三年级专项训练加法巧算（配对求和）[知识概述]：高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家，从小就聪明过人。
他8岁时，老师给他和班上的同学出了一道题：1+ 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = ？8岁的小高斯很快报出了得数：5050。
这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯是计算速度如此快小高斯用什么办法算得这么的呢？原来，他用了一种巧妙的方法——配对求和。
这种方法正是我们要向同学们介绍的。
记住公式：（首项+末项）×项数÷21：计算(1) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10(2) 11+12+13+14+15+16变式练习1:计算：（1）1+2+3+4+…+8 （2）1+2+3+4+…+292：计算(1)13+14+15+…+17(2)101+102+103+104+105+106+107+108+109+110启示：搞清楚数的个数是和配成的对数。
变式练习2:（1）8+9+10+…+41+42 （2）16+17+18+…+83+84（3）13+14+15+…+37+38 （4）25+26+27+…+53+543：一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。
这堆圆共多少根？变式练习4:1、有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。
第1层有12根，第2层有13根……下面每层比上层多一根。
这一垛电线杆共有多少根？2、有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3。
这20个数连加，和是多少？作业：家长签字：时间：月日A组基础训练1、找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。
（1） 3，6，9，12，（），18，21（2） 28，26，24，22，（），18，16（3） 60，63，68，75，（），（）（4） 180，155，131，108，（），（）（5） 196，148，108，76，52，（）（6） 6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）（7） 0，1，1，2，3，5，8，（），（）（8） 10，98，15，94，20，90，（），（）2、计算：（1）40+41+42+…+61 （2） 17+18+19+…+26（3）31+32+33+…+41 （4）2+3+4+5+…+25+26B组能力提升1、填空题。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第21讲等差数列求和
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -对于一个等差数列而言，除了它的首项、公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非常重要的．在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以123456789++++++++为例：把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项()19+，而且共有项数()9那么多对，所以所有数之和等于：首项末项项数因为我们把原来的等差数列写了2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的2倍，于是可以+ + + + + + + + 1 23456789+ + + + + + + + 987654321+先把数列正着写一遍：再把数列反着写一遍：第二十一讲等差数列求和得到等差数列求和公式：2和首项末项项数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1计算下列各题：（1）36912151821242730+++++++++；（2）4137332925211713951++++++++++．分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？练习1计算：61116212631364146++++++++．例题2计算下列各题：（1）511177783+++++L ；（2）827772127．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习2计算：100928412L．例题3计算下列各题：（1）10121824共项+++L 14444444244444443；（2）131********共项+++L 1444444442444444443．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习3计算：12101316共项+++L 14444444244444443．例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？例题5小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？例题6小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007．小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？作业1.计算：．2.计算：．3.计算：．31581114L 144424443共项111825102++++L 7067646158555249+++++++课堂内外高斯是一对普通夫妇的儿子．他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲．在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作．他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师．高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今．他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算．能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋．高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和．他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050．这一年，高斯9岁．父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生．高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格．在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich ）．弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就．他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力．若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”．正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠．在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲．罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了．她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感．高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围．当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知．高斯的故事4.一个等差数列的首项是21，从第二项起每一项都比前一项大2，它的前20项之和是多少？5.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了多少根香蕉？第二十一讲等差数列求和1.例题 1答案：（1）165；（2）231详解：（1）()36912151821242730330102165+++++++++=+锤=．（2）()4137332925211713951411112231++++++++++=+锤=．2.例题 2答案：（1）616；（2）712 详解：（1）先求项数=()8356114-?=，再求和：()583142616原式=+锤=．（2）先求项数=()8275116-?=，827162712原式．3.例题 3答案：（1）390；（2）2041详解：（1）先求末项=()12101666+-?，()1218661266102390原式=+++=+锤=L ．（2）先求末项=()1931316121--?，()1931871211931211322041原式=+++=+锤=L ．4.例题 4答案：（1）8天；（2）204页详解：先求项数，即多少天=()3615318-?=天，()151********2204++鬃?=+锤=，即共有204页．5.例题 5 答案：360颗详解：利用中间数×项数，共有1524360?颗．6.例题 6 答案：63详解：123621953++++=L ，123632016++++=L ，则多加的数为2007195354-=，则漏加的数为201620079-=，则被重复计算和漏掉的两数之和为54963+=．7.练习 1 答案：234简答：()6111621263136414664692234++++++++=+锤=．8.练习 2 答案：672简答：先求项数=()100128112-?=，10012122672原式．9.练习 3 答案：318简答：先求末项=()10121343+-?，()121013161043122318+++=+锤=L 14444444244444443共项．10.练习 4答案：3600米简答：先求项数，有()6002005019-?=天，()200250600200600923600++鬃?=+锤=，即共游了3600米．11.作业 1答案：476简答：首项为70，末项为49，项数为8．(7049)82476原式．12.作业 2答案：791简答：项数为(10211)7114，和为(10211)142791．13.作业 3答案：1550简答：末项为530395，和为(595)3121550．14.作业 4答案：800简答：公差为2，第20项为2119259，和为(2159)202800．15.作业 5答案：162根简答：前9项的中间项是第5项．所以前9项和为189162．。
高斯求和的所有公式
高斯求和的所有公式高斯求和，这可是数学世界里一个相当有趣的话题！咱先来说说啥是高斯求和。
有这么个小故事，当年小高斯上小学的时候，老师出了一道题，让从 1 加到 100 算出总和。
别的小朋友都在埋头苦算，小高斯却很快得出了答案 5050。
他是咋做到的呢？原来他发现 1 和 100 相加是 101，2 和 99 相加是 101，以此类推，一共有 50组这样的 101，所以总和就是 50×101 = 5050。
这就是高斯求和的智慧啦！那高斯求和都有哪些公式呢？最常见的就是“和 = （首项 + 尾项）×项数÷ 2”。
这里面“首项”就是数列开头的那个数，“尾项”是数列最后的数，“项数”就是数列中数的个数。
比如说，要计算 1 到 50 的和。
首项是 1，尾项是 50，项数是 50。
那按照公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
再比如计算 3 到 27 的和。
首项是 3，尾项是 27，项数可不是 27 哦，得算一下，27 - 3 + 1 = 25 ，所以和就是（3 + 27）× 25 ÷ 2 = 375 。
还有一种情况，如果知道总和、首项和项数，想求尾项，那就可以用“尾项 = 总和 × 2 ÷项数 - 首项”。
假设总和是 200，首项是 5，项数是 10，那尾项就是 200 × 2 ÷ 10 -5 = 35 。
要是知道总和、尾项和项数，求首项呢，公式就是“首项 = 总和 × 2 ÷项数 - 尾项”。
比如总和是 300，尾项是 25，项数是 20 ，那首项就是 300 × 2 ÷ 20- 25 = 5 。
在实际生活中，高斯求和的公式也很有用呢。
就说我上次去超市买水果，苹果一斤3 块钱，香蕉一斤5 块钱。
我打算买连续的7 天的量，每天买一种水果。
那我得算算这一共得花多少钱。
三年级高斯求和完整版
三年级高斯求和HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第3讲：高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5，，100；（2）1，3，5，7，9，，99；（3）8，15，22，29，36，，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
（4）由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋＋1999分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
(最新)三年级奥数举一反三第十一周 配对求和
第十一周配对求和专题简析：被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2末项=首项＋公差×（项数－1）项数=（末项－首项）÷公差＋1例题1 你有好办法算一算吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。
练习一1，计算：1＋2＋3＋4＋ (20)2，你能迅速算出结果吗？1＋2＋3＋4＋ (100)3，想一想，该怎样计算方便？21＋22＋23＋24＋ (50)例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（ ）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想： 1010101010101010+987654321109876543219个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。
当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。
练 习 二用简单方法迅速算出下面的题。
1，1＋2＋3＋4＋ (55)2，1＋2＋3＋4＋ (99)3，56＋57＋58＋ (76)（1）32＋34＋36＋38＋40＋42（2）203＋207＋211＋215＋219思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考高斯求和公式是小学奥数非常重要也是应用非常多的一个公式，要求学生们必须掌握。
记住公式的同时，还应该了解公式背后的原理，深刻的理解并能够灵活是我们追求的目标，从小就打下坚实的基础。
引言我们先计算一道简单的数学题：1+2+3+4+5=先不要说答案，告诉我你是怎么做的？一个数字一个数字相加吗？没关系，'不管黑猫白猫，能捉老鼠的就是好猫。
'实用最重要！问题升级：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=题目依然简单，可如果还是一个数字一个数字相加就需要有点耐心。
有的人可能会打点其他的注意，比如开始找点捷径。
不管用的什么方法，总之你做出来了，这题目还难不倒你。
问题再再升级：1+2+3+4+5+ (100)这下，似乎有点麻烦了，必须打点其他的注意，我们需要专门为这类题目打造专用工具——高斯求和公式（也叫等差数列求和公式）。
一、高斯求和公式（等差数列求和公式）(1).什么是等差数列？像前面的3组数，都是连续的自然数，他们排列整齐，依次增加或者依次减少，有一种和谐且治愈的美感。
又如：3，6，9，12，15，18；40，38，36，34，32，30，28，26。
第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，数列中数的个数也叫数列的项数。
(2).等差数列求和回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。
思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。
找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：3×5=15(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。
)有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=没有代表，我们也要造出一个代表来。
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例1: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，10是 等差数列，首项是1，末项是10，共有10个 数。由等差数列求和公式可得
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1＋10）×10÷2 =55
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判 断题目中的各个加数是否构成等差数列。
德国著名数学家高斯幼ຫໍສະໝຸດ 时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却 很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？ 原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都
相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单 快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称 为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后 项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项 之差称为公差。 例如：
50+58+66+74+82+90+98 =（50＋98）×7÷2 =148 ×7÷2
=518
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
13，15，17是等差数列，首项是1，末项是 17，共有9个数。由等差数列求和公式可得
1+3+5+7+9+11+13+15+17 =（1＋17）×9÷2 =18 ×9÷2
=81
例4: 11+12+13+14+……+27+28+29+30＝？ 分析与解：这串加数11，12，13， 14……27 ，28，29，30是等差数列，首项 是11，末项是30，共有(30-11+1=20)个数。 由等差数列求和公式可得
例2: 1+2+3+4+5+……+99 ＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，99是
等差数列，首项是1，末项是99，共有99个 数。由等差数列求和公式可得
1+2+3+4+5+……+99 =（1＋99）×99÷2
=4950
例3: 1+3+5+7+9+11+13+15+17 ＝？ 分析与解：这串加数1，3，5，7，9 ， 11，
（1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3） 是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
• 由高斯的巧算方法，得到等差数列的 求和公式：
11+12+13+14+……+27+28+29+30 =（11＋30）×20÷2 =41 ×10÷2
=205
例5: 50+58+66+74+82+90+98 ＝？ 分析与解：这串加数50，58，66，74，
82，90，98是公差为8的等差数列，首项是 50，末项是98，共有7个数。由等差数列求 和公式可得