数学思想方法(一)整体思想、转化思想、分类讨论思想

2014年中考数学二轮复习精品资料

数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2013•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．

思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．

解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．

故答案是：1．

点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

对应训练

1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．

1．1000

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

对应训练

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互

独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 例3 （2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示：

（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ．

乙种收费的函数关系式是 ．

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y 1=kx+b ，乙种收费的函数关系式是y 2=k 1x ，直接运用待定系数法就可以求出结论；

（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y 1＞y 2时，当y 1=y 2时，当y 1＜y 2时分别求出x 的取值范围就可以得出选择方式．

解：（1）设甲种收费的函数关系式y 1=kx+b ，乙种收费的函数关系式是y 2=k 1x ，由题意，得

616100b k b

=⎧⎨=+⎩，12=100k 1， 解得：0.16k b =⎧⎨=⎩

，k 1=0.12， ∴y 1=0.1x+6，y 2=0.12x ；

（2）由题意，得

当y 1＞y 2时，0.1x+6＞0.12x ，得x ＜300；

当y 1=y 2时，0.1x+6=0.12x ，得x=300；

当y 1＜y 2时，0.1x+6＜0.12x ，得x ＞300；

∴当100≤x ＜300时，选择乙种方式合算；

当x=100时，甲乙两种方式一样合算；

当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算．

故答案为：y 1=0.1x+6，y 2=0.12x ．

点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．

对应训练

3．（2013•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A 型电脑每台进价2500元，B 型电脑每台进价2800元，A 型每台售价3000元，B 型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A 型电脑购进x 台、商场的总利润为y （元）．

（1）请你设计出进货方案；

（2）求出总利润y （元）与购进A 型电脑x （台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A 型和B 型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A 型电脑、B 型电脑和帐篷的方案．

3．解：（1）设A 型电脑购进x 台，则B 型电脑购进（40-x ）台，由题意，得

25002800(40-)10570030003200(40-)123200

x x x x +≤⎧⎨+≥⎩， 解得：21≤x≤24，

∵x 为整数，

∴x=21，22，23，24

∴有4种购买方案：

方案1：购A 型电脑21台，B 型电脑19台；

方案2：购A 型电脑22台，B 型电脑18台；

方案3：购A 型电脑23台，B 型电脑17台；

方案4：购A 型电脑24台，B 型电脑16台；

（2）由题意，得

y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x ），

=500x+16000-400x ，

=100x+16000．

∵k=100＞0，