2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校高一下期末数学(理)(解析版)
2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校第69届高一下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校第69届高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．在等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（）A．3B．27C．D．2432．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为（）A．36B．18C．2D．54．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝（）A．15B．7C．8D．165．两圆x2+y2﹣2y+3＝0与x2+y2+2x＝0公共弦所在的直线方程为（）A．2x﹣2y﹣3＝0B．2x﹣2y+3＝0C．2x+2y+3＝0D．2x+2y﹣3＝0 6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm27．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．98．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．在等差数列{a n}中，a9＝a12+6，则数列{a n}的前11项和S11＝（）A．24B．48C．66D．13210．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π11．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．12．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为（）A．1B．3+2C．5D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过定点．14．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）B（a，﹣1），且与l垂直，直线l2：2x+by+1＝0与直线l1平行，则a+b＝．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则二面角C﹣BD﹣C1的大小是．16．已知圆x2+y2+x﹣6y+m＝0与直线x+2y﹣3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax﹣3．（1）当a＝﹣1时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若对于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．（1）求b的值；（2）求sin C的值．19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当MN＝2时，求直线l的方程．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．22．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．参考答案一、选择题（共12小题）.1．在等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（）A．3B．27C．D．243解：等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝a11•a10＝3，故选：A．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或解：由于△ABC中，a2+c2﹣b2＝ac，可得：cos B＝＝＝，由于：B∈（0，π），故B＝，故选：A．3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为（）A．36B．18C．2D．5解：化圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，得圆心坐标为（2，2），半径为．圆心到直线x+y﹣14＝0的距离d＝．∴圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为．故选：C．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝（）A．15B．7C．8D．16解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1＝1，∴4a1+a3＝2×2a2，即4+q2﹣4q＝0，即q2﹣4q+4＝0，（q﹣2）2＝0，解得q＝2，∴a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴S4＝1+2+4+8＝15．故选：A．5．两圆x2+y2﹣2y+3＝0与x2+y2+2x＝0公共弦所在的直线方程为（）A．2x﹣2y﹣3＝0B．2x﹣2y+3＝0C．2x+2y+3＝0D．2x+2y﹣3＝0解：根据题意，联立两圆的方程有，两式相减可得：2x+2y﹣3＝0，即两圆公共弦所在的直线方程为2x+2y﹣3＝0；故选：D．6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2＝2R，R＝，S＝4πR2＝12π故选：B．7．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．9解：x、y满足约束条件的可行域如图：z＝2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z＝2x+y的最小值是：﹣15．故选：A．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则E（0，0，1），F（1，1，0），A（2，0，0），D1（0，0，2），＝（﹣2，0，2），＝（1，1，﹣1），设直线AD1与EF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AD1与EF所成角的余弦值是．故选：B．9．在等差数列{a n}中，a9＝a12+6，则数列{a n}的前11项和S11＝（）A．24B．48C．66D．132解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a9＝，∴a1+8d＝（a1+11d）+6，∴a1+5d＝12，即a6＝12．∴数列{a n}的前11项和S11＝a1+a2+…+a11＝（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6＝11a6＝132．故选：D．10．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S＝4π×12+π×12×2+2π×1×3＝12π故选：D．11．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a5+a7＝6，a11＝8，∴3a1+12d＝6，a1+10d＝8，解得a1＝﹣2，d＝1．∴a n＝﹣2+（n﹣1）＝n﹣3．∴＝＝．则数列的前n项和＝++…+＝1﹣＝．故选：C．12．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为（）A．1B．3+2C．5D．解：由题意得，直线过圆心（2，1），所以，a+b＝1．∴，当且仅当＝时，等号成立，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过定点（﹣2，1）．解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7＝0，由交点直线系可知上述直线过直线x+2y＝0和3x﹣y+7＝0的交点，解方程组可得∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过定点（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）14．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）B（a，﹣1），且与l垂直，直线l2：2x+by+1＝0与直线l1平行，则a+b＝﹣2．解：∵直线l的倾斜角为，∴，∵l1经过点A（3，2），B（a，﹣1），且与l垂直，∴，解得a＝0；又直线l2：2x+by+1＝0与直线l1平行，∴，解得b＝﹣2．∴a+b＝﹣2．故答案为：﹣2．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则二面角C﹣BD﹣C1的大小是30°．解：设O为BD，AC的交点，则OC＝OD＝＝，C1D＝＝．OC1＝＝．设二面角C1﹣BD﹣C的大小为α则sinα＝＝，∴α＝30°，∴二面角C1﹣BD﹣C的大小为30°．故答案为：30°．16．已知圆x2+y2+x﹣6y+m＝0与直线x+2y﹣3＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为3．解：由题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组求得消y得5x2+10x+4m﹣27＝0，于是根据韦达定理得，x1+x2＝﹣2，x1•x2＝．∴y1•y2＝•＝[9﹣3（x1+x2）+x1•x2]＝[9+6+]＝．再根据OP⊥OQ，可得•＝x1•x2+y1•y2＝+＝0，求得m＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax﹣3．（1）当a＝﹣1时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若对于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，不等式ax2﹣4ax﹣3＞0，即﹣x2+4x﹣3＞0．可化为x2﹣4x+3＜0，即（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，故不等式f（x）＞0的解集为（1，3）．（2）①当a＝0时，不等式ax2﹣4ax﹣3≤0恒成立；②当a≠0时，要使得不等式ax2﹣4ax﹣3≤0恒成立；只需解得：﹣≤a＜0，综上所述，a的取值范围为：[，0]．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．（1）求b的值；（2）求sin C的值．解：（1）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入数据可得b2＝4+25﹣2×2×5×＝17，∴b＝；（2）∵cos B＝，∴sin B＝＝由正弦定理＝，即＝，解得sin C＝19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当MN＝2时，求直线l的方程．解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7＝0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣2，显然x＝﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2为所求l方程．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．【解答】证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD ⊥平面BB1C1C．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c，正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）＝sin C，即2cos C•sin C＝sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝ab sin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2ab cos C，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．22．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．【解答】解．（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣1≠0，∴＝而S1＝（1﹣a1），∴a1＝∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴a n＝（）n．由b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*），得＝1，＝2，d＝＝1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×1＝n，∴b n＝．（2）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c2+c3+…+c n，则T n＝1•+2•（）2+…+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n＝＜．。
【精准解析】吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届2019-2020学年高一上学期期末联考数学(理)
因为 f (2) 22 2 5 3 0 ，所以 2 不是函数的零点，故排除 C ，
因为 f 3 23 3 5 0 ，所以 3 是函数的零点.
故选：D.
-2-
【点睛】本题考查了函数的零点的概念，考查了求函数的零点，属于基础题.
6. tan 690 的值为（ ）
A. 3 3
【答案】C
35 135
8 14
4 7
．
本题选择 A 选项. 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二､填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f（x+1）=3x+2，则 f（x）的解析式是______．
10.已知扇形的圆心角为 2 弧度，半径为 3，则扇形的面积是（ ） 3
A. 8 3
4
B.
3
C. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算可得.
D. 4 3
-4-
【详解】由 S扇形
1 2
R2 ，可得 S扇形
1 2 32 23
3
.
故选：C
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题.
【详解】∵ a / /b ，∴ m 4 0 ，∴ m 4 ，
∴ b 2, 4 ，
∴
3a
2b
(3,
6)
(4,
8)
7,
14
.
故选：A
【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算以及向量的数乘运算和和的坐标运算公式，属于基
础题.
9.已知
r a
2,
3
,
b
4,
7,则a在 Nhomakorabeab
上的投影为(
2019-2020学年辽源市田家炳高级中学高一下学期期末数学试卷(理科)
2019-2020学年辽源市田家炳高级中学高一下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列{a n}中，各项均为正数，前n项和为S n，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1=1，则S4=()A. 7B. 8C. 15D. 162.已知直线ax−by+c=0(abc≠0)与圆O：x2+y2=1相离，且|a|+|b|>|c|，则|a|，|b|，|c|为边长的三角形是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不存在3.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)。
若圆C上存在点P，使得∠APB=90º，则m的最大值为()A. 7B. 6C. 5D. 44.等差数列中，，，则此数列前项和等于()A. B. C. D.5.已知圆C1：x2+y2=4，C2：(x−3)2+(y−4)2=25交于A，B两点，则直线AB的方程为()A. 4x−3y−2=0B. 4x−3y+2=0C. 3x−4y−2=0D. 3x+4y−2=06.如下图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为()A. 1∶6B. 1∶5C. 1∶2D. 1∶37.变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是()A. B. C. D.8.如图，A1B1C1−ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A. √3010B. 12C. √32D. √15109.等差数列中，=12，那么的前7项和=A. 22B. 24C. 26D. 2810.如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为()A. 2+3π+4√2B. 2+2π+4√2C. 8+5π+2√3D. 6+3π+2√311.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=4a n+m，且数列{na n}的前6项和等于321，则m的值等于()A. −1B. −2C. 1D. 212.已知圆C方程x2+y2−2x−4y+a=0，圆C与直线x+2y−4=0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则实数a的值为()A. −45B. 12C. 85D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：2x−y+2=0，l2：x+2y−4=0，l3：x−3y−4=0，则经过这三条直线交点的圆的方程为______．14.两直线l1：ax+2y−1=0，l2：(a−1)x+ay+1=0垂直，则a=______ ．15. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为2√2，则AC 1与面ABB 1A 1所成的角为______ ．16. 过点(3,1)作圆C ：x 2+y 2−2x −4y −20=0的弦，其中弦长为整数的共有________条． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数，其中函数的图象在点处的切线方程为． (Ⅰ)用表示出； (Ⅱ)若在上恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)证明：18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.满足b(sinB −√2sinC)=(a +c)(sinA −sinC)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥0． (1)求A 的值；(2)若a =√2.求b −√2c 的取值范围．19. 已知圆C:x 2+y 2+4x +4y +m =0，直线l:x +y +2=0．(1)若圆C 与直线l 相离，求m 的取值范围；(2)若圆D 过点P(1,1)，且与圆C 关于直线l 对称，求圆D 的方程．20. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，A 1B 1的中点，AA 1=AB =2，AD =4，过D ，A 1，C 1三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD −A 1B 1C 1．(1)求证：EF//平面A1C1D；(2)求点A到平面A1C1D的距离；(3)若P为A1C1上一点，且AP⊥B1C，求直线AP与平面DA1C1所成角的正弦值．21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=2√2，cos(B+C)=√24(1)求sin C的值；(2)求b的值．22. 已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，a n+2−2a n+1+a n=2，数列{b n}满足b n=a n+1−a n．(1)证明{b n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足a1=2，c n+1=a cn +1，记[x]表示不超过x的最大整数，求不等式[1c1+1c2+⋯+1c2018]>a n−b n的解集．【答案与解析】1.答案：C解析：由4a3+2a4=2a5得q2(q2−q−2)=0，由题意知q=2，则S4=1+2+4+8=152.答案：C解析：>1，从而a2+b2<c2，再由余弦定理得cosC<0，由此得到三角形为钝角三角形．由已知得√a2+b2本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、余弦定理的合理运用．解：∵直线ax−by+c=0(abc≠0)与圆O：x2+y2=1相离，且|a|+|b|>|c|，∴圆心O(0,0)到直线ax−by+c=0(abc≠0)的距离大于半径1，>1，化简可得a2+b2<c2，∴√a2+b2∴a2+b2<c2=a2+b2−2abcosC，∴cosC<0，∴∠C是钝角，故此三角形为钝角三角形，故选：C．3.答案：B解析：根据圆心C到O(0,0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°，可AB=m，可得m≤6，从而得到答案．得PO=12本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．AB=m，故有m≤6，再由∠APB=90°，即以原点为圆心，|m|为半径的圆与圆C交点，可得PO=12故选：B．4.答案：C解析：试题分析：由于数列是等差数列，所以，解得，所以，因此，故选C ．考点：1.等差数列的性质；2.等差数列求和5.答案：D解析：解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2=4，C 2：(x −3)2+(y −4)2=25，即x 2+y 2−6x −8y =0， 则有{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−6x −8y =0，解可得：3x +4y −2=0；即直线AB 的方程为3x +4y −2=0； 故选：D ．根据题意，联立两个圆的方程，化简变形可得相交弦所在直线的方程，即可得答案． 本题考查圆与圆的位置关系，涉及相交弦的方程计算，属于基础题．6.答案：B解析：本题主要考查了空间想象力，考查了正方体、三棱锥的体积公式。
2018-2019学年吉林省辽源市田家炳高级中学高一(六十七届友好学校)下学期期末联考数学( 理科)(扫描版)
一、选择题（每题5分）
二、填空题（每题5分）
13. -1 14. 4
π三、解答题 17. （10分） 解：（1）所求直线的倾斜角为135O
,
∴斜率K=-1，
又
经过（-1,2），
∴所求方程为x+y-1=0。
......5分
（2）所求直线在x 轴上的截距是-5，又有斜率K=-1，
∴所求方程为x+y+5=0.......10分
18. （12分）
解：（1）cosB,由正弦定理可得sinAcosB,即得B
为三角形的内角，
∴
(2)
c=2ɑ,由余弦定理2b =222cos ac B a c +-，解得
a c =∴=）设等差数列n
a
的公差为，则，，所以16d a +=解得
，。
所以n
a
的通项公式为
22
1)1
n n =-+）已知圆：
的圆心为
，因直线过点、，所以直线的斜率为，的方程为，即
；）当弦
被点平分时，即。
21.（12分）解:当n=1时,......4分
当时，
......10分
当时,上式也成立.
......12分
22.（12分）（1）连接，
因为EF∥BD，四边形在同一平面上，因为，，是的中点，所以BD⊥AC，ED⊥AC，因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面，FB⊂平面，所以AC ⊥FB。
......6分
（2）取中点，连接，因为，分别是和的中点，所以MH∥DB， MG∥DC，所以平面MHG∥平面ABC，又GH⊂平面，所以GH∥平面......12分。
吉林省辽源市2019-2020学年新高考高一数学下学期期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数,x y满足约束条件4312,1,33,x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则2z x y=-的最大值与最小值之和为（）A．2B．3C．4D．62．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为A．2sin2cos2αα-+；B．sin3cos3αα-+C．3sin3cos1αα-+D．2sin cos1αα-+3．半径为1cm，中心角为150的弧长为（）A．23cm B．23cmπC．56cm D．56cmπ4．已知数列{}n a的通项公式()2019112nnna-⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020nn≤≤≥，前n项和为n S，则关于数列{}n a、{}n S的极限，下面判断正确的是（）A．数列{}n a的极限不存在，{}n S的极限存在B．数列{}n a的极限存在，{}n S的极限不存在C．数列{}n a、{}n S的极限均存在，但极限值不相等D．数列{}n a、{}n S的极限均存在，且极限值相等5．在ABC∆中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinb A=3cosa B．则B=A．B．4πC．D．6．设变量x，y满足约束条件51x yx yy+≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A ．1-B ．5C ．8D ．97．下列函数中最小值为4的是( ) A ．4y x x =+B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．433xx y =+D ．4lg lg y x x=+8．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23,,34a A C ππ===，则c =（ ）A ．26B ．22C ．62+D ．62-9．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A ．24 B ．22C ．1D ．211．已知()5,2a =-，()4,3b =--，(),c x y =，若230a b c -+=，则c 等于（ ） A ．134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．81,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．138,33⎛⎫⎪⎝⎭ D ．144,33⎛⎫⎪⎝⎭12．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．13+B ．23C ．122+D ．2二、填空题：本题共4小题13．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .14．已知数列{}n a 的前n 项和满足()2*2n S n n n =-∈N，则4a=______．15．设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________．16．某中学初中部共有120名老师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专题12必考必刷解答题之复数(解析版)
专题12必考必刷解答题之复数1．【北京市通州区2019-2020学年（下）期末】已知复数1(z i i =-是虚数单位）.（1）求2z z -；（2）如图，复数1z ，2z 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求12z z z+. 【答案】（1）1i --；（2）15i 22-+. 解：（1）1z i =-，222(1)(1)1211z z i i i i i i ∴-=---=-+-+=--；（2）12z i =，22z i =+，∴122223(23)(1)1511(1)(1)22z z i i i i i i z i i i i ++++++====-+---+. 2．【江苏省常州市教育学会2019-2020学年下学期期末】已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数.（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围. 【答案】（1）m ＝5；（2）(-∞，2)(5，+∞).（1）因为z 为纯虚数，所以2235815023560m m m m m m m m ⎧==⎧-+=⇒⎨⎨≠≠-+≠⎩⎩或且 综上可得，当z 为纯虚数时m ＝5；（2）因为22i (815)i (56)z m m m m ⋅=-+--+在复平面内对应的点位于第二象限，()2281505332560m m m m m m m m ⎧-+>><⎧⎪⇒⎨⎨><--+<⎩⎪⎩或或，即m ＜2或者m ＞5， 所以m 的取值范围为(-∞,2)(5,+∞).3．【山东省泰安市2018-2019学年下学期期末】已知复数1z 与21(2)8z i +-都是纯虚数，复数21z i =-，其中i 是虚数单位. （1）求复数1z ； （2）若复数z 满足12111z z z =+，求z . 【答案】（1）12z i =-；（2）2455i -. （1）设1()z bi b R =∈，则()22128(2)8z i bi i +-=+-()24(48)b b i =-+-由题意得240480b b ⎧-=⎨-≠⎩. ∴2b =- ∴12z i =-（2）∵12111z z z =+ ∴1212(2)(1)(2)(1)z z i i z z z i i -⨯-==+-+- 2213i i--=-(22)(13)(13)(13)i i i i --+=-+2455i =- 4．【江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年（美术班）上学期期末】莱昂哈德·欧拉(),1707.4.151783.9.18Leonhard Euler ，瑞士数学家、自然科学家.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式10i e π+=，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数e ，圆周率π；两个单位：虚数单位i 和自然数单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+，解决以下问题：（1）试将复数3i e π写成a bi +（a 、b R ∈，i 是虚数单位）的形式； （2）试求复数312+πi e的模. 【答案】（1）122+；（2）2. （1）根据欧拉公式可得31cossin 3322πππ=+=+i ei ； （2）由题意可知31112212πi e ++=+=，因此，312πi e +==. 5．【上海市理工大附中2018-2019学年下学期期末】设复数z 1＝2＋ai (其中a ∈R )，z 2＝3－4i .（1）若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2的值； （2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|. 【答案】（1）224i +；（2）52. 解：（1）12z ai =+（其中)a R ∈，234z i =-， 125(4)z z a i ∴+=+-，由12z z +是实数，得4a =．124z i ∴=+，234z i =-，则12(24)(34)224z z i i i =+-=+； （2）由122(2)(34)643834(34)(34)2525z ai ai i a a i z i i i +++-+===+--+是纯虚数， 得640380a a -=⎧⎨+≠⎩，即32a =．135|||2|22z i ∴=+==．6．【辽宁省辽阳市2019-2020学年（下）期末】设复数2312iz i-=+. （1）求z 的共轭复数z ；（2）设a R ∈，1z ai +=，求a 的值.【答案】（1）4755z i =-+；（2）45a =或2a =.解：（1）因为()()()()2231223243647471212125555i i i i i i i z i i i i -----+--=====--++-； 所以4755z i =-+； （2）因为47475555z ai i ai a i ⎛⎫+=--+=-+- ⎪⎝⎭，所以1z ai +==，解得45a =或2a =. 7．【陕西省西安市蓝田县2019-2020学年下学期期末】已知0m ≠，复数()()229z m m i =-+-.（Ⅰ）若z 在复平面内对应的点在第一象限，求m 的取值范围； （Ⅱ）若z 的共轭复数z 与复数85i m+相等，求m 的值. 【答案】（Ⅰ）3m >；（Ⅱ）2m =-.解：（Ⅰ）由题意，22090m m ->⎧⎨->⎩，解得3m >；（Ⅱ）由()()229z m m i =-+-，得()()229z m m i =---，又z 与复数85i m+相等，28295m m m ⎧=-⎪∴⎨⎪-=⎩，解得2m =-.8．【福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年下学期期末质检】已知复数241miz i-=+（m R ∈，i 是虚数单位）. （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设z 是z 的共轭复数，若复数2z i +在复平面上对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.【答案】（1）12m =；（2）32m <-.解：（1）241mi z i -=+=()()24(1)(24)(24)(12)(12)1(1)2mi i m m im m i i i ----+==--++- 若z 是纯虚数，则120,120m m -=⎧⎨+≠⎩12m ∴=. （2）由（1）得，(12)(12),z m m i =--+(12)(12)z m m i ∴=-++，2(12)(32)z i m m i +=-++，又因为复数2z i +在复平面上对应的点位于第四象限，120,320m m ->⎧∴⎨+<⎩∴32m <-.9．【吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年下学期期末】已知复数()()11z m m i m R =++-∈.（1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数. 【答案】（1）1m =（2）1m =- （1）复数()()11z m m i m R =++-∈， 若z 为实数，则10m -=，即1m =（2）若z 为纯虚数，则1010m m +=⎧⎨-≠⎩，解得1m =-10．【山东省潍坊市2019-2020学年第二学期期末】在①z 为实数，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：()()2221z m m m i =--+- （1）若________，求实数m 的值；（2）当z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①：1m =-或1m =；选择②：1m ≠-或1m ≠；选择③：2m =；（2）()1,1-.选择①，当z 为实数时，有210m -=， 解得1m =-或1m =，选择②，当z 为虚数时，有210m -≠， 解得1m ≠-或1m ≠，选择③，当z 为纯虚数时，有222010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得211m m m ==-⎧⎨≠±⎩或，∴2m =；（2）因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以222010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<，所以m 的取值范围为()1,1-.11．【上海市徐汇区2019-2020学年下学期期末】已知关于x 的一元二次方程210()x kx k -+=∈R 的两根为12,x x .（1）若1x 为虚数，求k 的取值范围； （2）若12||2x x ，求k 的值.【答案】（1）22k -<<；（2）k 的值为±或0. 解：（1）依题意可得240k ∆=-<，解得22k -<<； （2）因为210x kx -+= 所以12x x k +=，121=x x①0∆≥时，222121212||()444x x x x x x k -=+-=-=，解得k =± ②∆<0时，222121212||[()4]44x x x x x x k -=-+-=-=，解得0k =；综上，k 的值为±或0.12．【江苏省盐城中学2018-2019学年上学期期末】若复数()()12i mi ++为纯虚数，其中i 为虚数单位，m R ∈ （1）求实数m 的值；（2）若用mi 为实系数方程()2220x a x a +-+=的根，求实数a 的值．【答案】（1）2；（2）2. （1）(1)(2)2(2)i mi m m i ++=-++为纯虚数，∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =．∴实数m 的值是2；（2）mi 为实系数方程22(2)0x a x a +-+=的根，实系数方程虚根成对， 由韦达定理可知，2220a i i -+=-=，且2(2)(2)i i a ⋅-=，即2a =．∴实数a 的值是2．13．【宁夏银川三沙源上游学校2019－2020学年上学期期末】已知1234iz i+=-. （1）求z ；（2）已知23i -是关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值.【答案】（1）5z =；（2）4p =-，13q =. （1）由()()()()123451012343425512354i i i i i i z i i ++-+=+=-==-+-+，得z ==；（2）把23i -代入方程20x px q ++=中，得到：()()521230p q p i -++++=， 即520p q -++=且1230p +=，解得4p =-，13q =.14．【陕西省宝鸡市渭滨区2018-2019学年下学期期末】已知复数1az i i=++，其中i 为虚数单位，a R ∈.（1）若z R ∈，求实数a 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2a =（2）(0,2)a ∈解：（1）由题意，根据复数的运算，可得()()()1(1)11122a i a a a z i i i i i i -=+=+=+-++-， 由z R ∈，则102a-=，解得2a =. （2）由z 在复平面内对应的点位于第一象限，则02a >且102a->，解得02a <<，即(0,2)a ∈.15．【山东省临沂市沂水县2018-2019学年上学期期末】已知复数2()z m mi m R =-∈，若||z z 在复平面内对应的点位于第四象限．（1）求复数z ；（2）若21z az b i ++=+，求实数a ，b 的值． 【答案】（1）z ＝1﹣i ；（2）a ＝﹣3，b ＝4．解：（1）2z m mi =-，||z =422m m ∴+=，得21m =．又z 在复平面内对应的点位于第四象限，1m ∴=-，即1z i =-；（2）由（1）得1z i =-， 21z az b i ∴++=+，2(1)(1)1i a i b i ∴-+-+=-，()(2)1a b a i i ∴+-+=+，∴121a b a +=⎧⎨+-⎩解得3a =-，4b =．16．【上海市上海中学2019-2020学年上学期期末】已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）.（1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -5≥（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，1z -==因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45；所以1z -≥17．【宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年上学期期末】已知复数241miz i+=-，（,m R i ∈是虚数单位）.（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z +在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范围. 【答案】（1）12；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）()()()()()241241221111mi i mi z m m i i i i +++===-++--+， ∵z 是纯虚数，∴120m -=，且210m +≠， 解得12m =. （2）∵z 是z 的共轭复数，所以()1221z m m i =--+， ∴()()2122121221z z m m i m m i +=--++-++⎡⎤⎣⎦()3621m m i =-++，复数2z z +在复平面上对应的点在第一象限，∴360210m m ->⎧⎨+>⎩，解得1122m -<<，即实数m 的取值范围为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 18．【福建省泉州市2018-2019学年下学期期末教学质量跟踪监测】已知复数1i z a b =+（a ，b ∈R ），2i zcd =+（c ，d ∈R ）.（1）当1a =，2b =，3c =，4d =时，求1z ，2z ，12z z ⋅；（2）根据（1）的计算结果猜想12z z ⋅与12z z ⋅的关系，并证明该关系的一般性【答案】（1）1z =25z =，12z z ⋅=2）猜想1212z z z z ⋅=⋅，见解析（1）由题知1z ==，25z ==，所以()()1212i 34i 510i z z ⋅=+⨯+=-+所以12z z ⋅===（2）猜想1212z z z z ⋅=⋅证明：因为1z =2z =，所以12z z ⋅==因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=+⨯+=-++，所以12z z ⋅====，所以1212z z z z ⋅=⋅猜想成立.19．【重庆市2019-2020学年（下）期末】（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+； （2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值.【答案】（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=.（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+ ∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132a i ib i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩， 即12,26a b =-=.20．【山东省烟台市莱州一中2018-2019学年（下）第三次质检】已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az +对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.【答案】（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】（I ）=，由题意得解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+21．【江苏省徐州市2019-2020学年下学期期末】复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．【答案】（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-． 12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 22．【上海市曹杨二中2019-2020学年下学期期末】设,αβ分别是方程220x x a ++=()a R ∈的两个虚数根.（1）求a 的取值范围及αβ+的值；（2）若4αβ-=，求a 的值.【答案】（1）1a >，（2）5.（1）由方程220x x a ++=()a R ∈有两个虚数根所以440a ∆=-<，解得1a >由,αβ是方程220x x a ++=()a R ∈的两个虚数根.可得,αβ，不妨设1α==-+,1β==-所以αβ+（2）由（1）可得αβ-==根据4αβ-=，即4=，解得5a =23．【江苏省宿迁市2018-2019学年下学期期末】已知复数()112z m mi =++，()21z i =+，其中m R ∈，i 为虚数单位.（1）若复数12z z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）在复平面内，若复数12z z =对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =.（2）()3,0-（1）由()112z m mi =++，21z i =+得()()12131z z m m i =-+++，又12z z 为纯虚数，所以10m -+=，且310m +≠， 所以1m =.（2）()1232z z m mi ==++，又复数12z z =对应的点在第四象限，所以30m +>，且20m ，所以m 的取值范围是()3,0-.24．【广东省中山市2018-2019学年下学期期末】已知复数2(),43z a i w i =+=-其中a 是（1）若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； （2）若z w是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232019()()...()z z z z w w w w++++； 【答案】（1）1a >；（2）①2；②-1.（1）由题可得：221()2z a i a ai -=+=+，因为复数z 在第一象限，所以21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >.（2）依题意得：22()()(43)43(43)(43)za i a i i i i i ω+++==--+ ()2222223222(43)4843634(3)16(9)a ai i i a ai i a i ai i i ++++++++==--- ()()2246438325a a a a i--++-= 因为z w 是纯虚数，则：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩， 即122133a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪≠-≠⎪⎩或或， 又因为a 是正实数，则2a =.当2a =时，22464833161232525za a ai a i i i i i i ω--++-+-===， 232019232019()()()z z z z i i i i ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()201911i i i -=-25．【北京市大兴区2018-2019学年第二学期期末】已知复数1z a i =+，21z i =-，a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z -是纯虚数，求a 的值；（Ⅲ）若12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2i ；（Ⅱ）1；（Ⅲ）(1,1)-． （Ⅰ）由题意12z z ⋅2(1)(1)122i i i i i =++=++=；（Ⅱ）由题意12(1)2z z a i -=-+为纯虚数，则10a -=，所以1a =； （Ⅲ）212()(1)111(1)(1)222z a i a i i a ai i i a a i z i i i ++++++-+====+--+，对应点11(,)22a a -+，它是第二象限点，则102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得11a -<<．故a 的范围是(1,1)-．。
2019-2020学年吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体高一下学期期末联考数学试题解析
（2）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
（参考公式： ， ）
答案：（1） ；（2）15.2万元.
解：
（1） ，
．
，
，
所以回归直线方程为： ．
（2）当 万元时， 万元．
【考点】线性回归方程．
21．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
答案： .
由最高点坐标求出A，再由 ， 可求出周期T，进而求出 ，再由特殊点求出 .
解：
由已知条件知 ，
又 ，∴ ， ，
∴ ，
∵图象过点 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴令 ，得 ，
∴ .
点评：：
本题考查三角函数的性质求参数，熟记性质与参数间的关系是解题的关键，属于基础题.
20．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x万元与获得的利润y万元的数据，如表所示：
11．已知 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为 求得结果.
解：
由题意得：
向量 在 方向上的投影为：
本题正确选项：
点评：：
本题考查向量 在 方向上的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角的余弦值.
12．函数 的最小值是（）
故选：C.
点评：：
本题考查对总体，个体，样本，样本容量的理解，属于基础题.
2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
A．18B．20C．21D．40
答案：B
由程序框图知：算法的功能是求 的值，∵ ．∴输出S=20．故选B．
吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)试题
友好学校第六十九届期末联考高一数学（文科）试卷说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间为120分钟，分值150分．注意事项：1、答题前，考生将姓名、准考证号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域．2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚．3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试卷上答题无效．4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，下列各题，只有一项符合题意要求，请将所选答案涂在答题卡上）1．设,,a b c R ∈且a b >，则下列关系式正确的是（ ）A ．22a b >B ．a c b c ->-C ．22ac bc >D ．11a b<2．直线10x +=的倾斜角为（ ） A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π32，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）A ．2B ．2πCD ．6π4．已知ABC △中，a =b =60B =︒，那么角A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．90°5．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程25760x x --=的根则三角形的另一边长为（ ）A ．BC ．52D ．136．已知0a >，0b >，131a b+=，则2a b +的最小值是（ ）A ．7+B ．C ．7+D ．147．设m n ，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若m α∥，n β∥，且αβ∥，则m n ∥C ．若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊂，n α⊂，且m α∥，n β∥，则αβ∥8．若直线20mx y --=与直线(2)10m x y +--=互相垂直，则实数m =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3 C ．32000cm D ．34000cm10．圆221:2880C x y x y +++-=与222:4480C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离11．各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，12321a a a ++=，则345a a a ++=（ ）A ．84B ．52C ．26D ．1312．数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（ ）A ．29B ．2563C ．2569D ．2557第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题卡上．）13．若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2x y =-的最小值是________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n n b a -=+，且22n S n n =-，则数列{}n b 的通项公式n b =________．15．直线50x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于________．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点，则异面直线1D A 与EO 所成角的余弦值为________．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题卡上）17．（10分）已知直线l 经过点(2,1)P ，且斜率为2，（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与直线l 平行，且在y 轴上的截距为3，求直线m 的方程．18．（12分）在等差数列{}n a 中，（1）已知25121536a a a a +++=，求16S 的值；（2）已知620a =，求11S 的值．19．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2sin (2)sin (2)sin a A b B c C =-+．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =ABC △的面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD -的体积．21．（12分）在正方体1111A B C D ABCD -中点M 、N 、K 分别是棱11A D 、AB 和BC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BDD B ；（2）求证：平面1C NK ⊥平面11BDD B ．22．（12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为10，28a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．。
吉林省辽源市田家炳高级中学2019届高三(第六十六届友好学校)上学期期末联考数学(理)试题(精编含解析)
C.若������ ⊥ ������，������ ⊥ ������，则������//������或������ ⊂ ������，故 C 错；
D.若������//������，������ ⊥ ������，则������//������或������ ⊂ ������或������ ⊥ ������，故 D 错．
∘
⃗ ，则������
⋅
⃗
������
=‒
1
2，
|2⃗ + ⃗|2 = 4⃗2 + 4⃗ ⋅ ⃗ + ⃗2 = 3
则 ������ ������
������
������ ������ ������
，
|2⃗ + ⃗| = 3
则 ������ ������
；
故选：D．
⃗ ⋅ ⃗ =‒ 1
|2⃗ + ⃗|2 = 4⃗2 + 4⃗ ⋅ ⃗ + ⃗2
6. 设 x，y 满足约束条件 ������ ≥ 0 ，则������ = ������ + ������的最大值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
{������ + 3������ ≤ 3 ������ ‒ ������ ≥ 1 【解析】解：x，y 满足约束条件 ������ ≥ 0 的可行域如图： ，则������ = ������ + ������经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值，
根据题意，由数量积的计算公式可得������ ������ 2，同理可得 ������ ������
������ ������ ������ ������ ，代入数据计算可得答
最新吉林省辽源市田家炳高级中学高一下学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年吉林省辽源市田家炳高级中学高一下学期期末联考数学(理)试题一、单选题1．不等式2320x x -+<的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()2,1-- C ．()(),12,-∞+∞UD ．()(),21,-∞--+∞U【答案】A【解析】因式分解求解即可. 【详解】()()2320120x x x x -+<⇒--<,解得()1,2x ∈.故选：A 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解,属于基础题. 2．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ）A．B．2C ．3 D【答案】D【解析】根据点到直线的距离求解即可. 【详解】点()1,1-到直线10x y -+=2==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式,属于基础题.3．已知一组数1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55，按这组数的规律，则x 应为（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,再求解x 即可.易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,故5813x =+=. 故选：C 【点睛】该数列为“斐波那契数列”,从第三项开始数列的每项都为前两项之和,属于基础题. 4．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，那么A =（ ） A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】化简()()3a b c b c a bc +++-=,再利用余弦定理求解即可. 【详解】()()()2222233a b c b c a bc b c a bc b c a bc +++-=⇒+-=⇒+-=.故2221cos 22b c a A bc +-==.又()0,180A ∈︒,故60A =︒. 故选：B 【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形的问题,属于基础题. 5．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．02（，），2 B ．20（，），2 C ．20-（，），4 D ．20（，），4 【答案】B【解析】试题分析：222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B. 【考点】圆标准方程6．在ABC V 中，已知6845a b C ===︒，，，则ABC V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】ABC V 的面积11sin 6822S ab C ==⨯⨯=故选：B本题主要考查了三角形的面积公式,属于基础题.7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S =（ ） A ．55 B ．81C ．90D ．100【答案】D【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，由题意得，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以101109101014521002S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故答案为D ． 【考点】1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和．8．过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．5x y +=B ．5x y -=C ．5x y +=或40x y -=D ．5x y -=或04=+y x【答案】C 【解析】【详解】设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k ≠0), 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=14, ∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C. 9．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π【答案】C【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C10．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）①若,m ααβ⊥⊥，则m βP ； ②若,,m n ααββ⊥⊂P ，则m n ⊥； ③若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβP ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④【答案】D【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对， 故选D.11．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5 D ．m =3, n = 5【答案】D【解析】因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知4695,3,322m n m +-==-=∴=. 12．数列{a n }的通项公式a n ＝1n n ＋＋{a n }前n 项和为24，则n 为( )．A ．25B ．576C ．624D ．625【答案】C 【解析】a n 1n n ＋＋1n n ＋，前n 项和S n ＝－[(12)＋2－3＋…＋1n n ＋1n ＋－1＝24，故n ＝624.故选C.二、填空题13．设变量x y ，满足条件11x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪，则2z x y =-的最小值为___________【答案】-1【解析】根据线性规划的基本方法求解即可. 【详解】 画出可行域有：因为22z x y y x z =-⇒=-.根据当直线2y x z =-纵截距最大时, 2z x y =-取得最小值.由图易得在()0,1A 处取得最小值1-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.14．若点(),P a b 与()1,1Q b a -+关于直线l 对称，则l 的倾斜角α为_______ 【答案】45o【解析】根据两点关于直线对称，可知PQ 与l 垂直，利用斜率乘积为1-可求得tan 1α=，根据直线倾斜角与斜率的关系可求得倾斜角.【详解】由题意知：PQ l ⊥111PQ a bk b a+-==---Q 1l k ∴=，即：tan 1α=又0180α≤<o o 45α∴=o 本题正确结果：45o 【点睛】斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求得结果.15．如图，在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为2 ，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为________.【答案】3 【解析】如图，取CD 中点E ，AC 中点F ，连接,,BE EF FB ， 由题可知，BCD ∆边长均为1，则BE CD ⊥，ACD ∆中，2,1AC AD CD ===，则AD CD ⊥，得FE CD ⊥，所以二面角A CD B --的平面角即BFE ∠， 在BFE ∆中，312,2BE EF FB ===， 则90BFE ∠=o ，所以3cos FE BFE BE ∠==． 点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角BFE ∠，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．16．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a ⋅=，则6a 的值为【答案】2【解析】根据等比数列的性质与基本量法求解即可. 【详解】由题,因为231171616a a a ⋅=⇒=,又等比数列{}n a 的各项都是正数,故74a =.故7622a a ==. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系.属于基础题.三、解答题17．求倾斜角为135︒且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点()1,2-； （2）在x 轴上的截距是-5.【答案】（1）10x y +-=（2）50x y ++= 【解析】(1)利用倾斜角与斜率的关系与点斜式求解即可. (2)利用点斜式求解即可. 【详解】解：（1）∵所求直线的倾斜角为135︒,斜率1K =-, 又∵经过()1,2-,故方程为()211y x -=-⨯+ ∴即方程为10x y +-=.（2）∵所求直线在x 轴上的截距是-5,又有斜率1K =-,故方程为()015y x -=-⨯+ ∴所求方程为50x y ++= 【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及直线方程的点斜式运用.属于基础题.18．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B =. （1）求角B ；（2）若32b c a ==，，求a c ，的值.【答案】（1）3B π=（2）a c ==【解析】(1)根据sin cos b A B =与正弦定理化简求解即可.(2)利用余弦定理以及(1)中所得的3B π=化简求解即可.【详解】解：（1）sin 3cos b A a B =Q ,由正弦定理可得sin sin 3sin cos B A A B =, 即得tan 3B =,B Q 为三角形的内角,3B π∴=.（2）2c a =Q ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,即2222194342a a a a +-⨯⇒==.解得3,23a c =∴=. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题.需要根据题意用正弦定理边化角以及选用合适的余弦定理等.属于基础题. 19．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n nS n n n =-+-++-=++L【解析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +. (2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（），所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋ 20．已知圆C ：内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程 【答案】（1）；（2）【解析】(1)已知圆C ：的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0. (2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为, 即 x+2y-6=021．己知数列的前n 项和210n S n n =-，求数列{}n a 的通项.【答案】112n a n =-【解析】根据通项前n 项和的关系求解即可. 【详解】解：当1n =时,111019a S ==-=.当2n ≥时,2211010(1)(1)112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.当1n =时,上式也成立.112n a n ∴=-【点睛】本题主要考查了根据前n 项公式求解通项公式的方法.属于基础题. 22．在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB ．（Ⅰ）已知AB=BC ，AE=EC ．求证：AC ⊥FB ；（Ⅱ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ． 【答案】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.（Ⅱ）设的中点为，连，在CEF V ，CFB V 中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面. 试题解析：（Ⅰ）证明：因，所以与确定平面.连接，因为,AE EC D 为的中点，所以，同理可得.又，所以平面， 因为平面，所以. （Ⅱ）设的中点为，连.在CEF V 中，因为是的中点，所以，又，所以.在CFB V 中，因为是的中点，所以，又，所以平面平面， 因为平面，所以平面.【考点】平行关系，垂直关系【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用已知的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.。
吉林省辽源市田家炳高级中学2018_2019学年高一数学下学期期末联考试题理
C.120°
D.150°
5.圆 x2+y2-4x=0 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（0，2），2
B.(2 , 0 )， 2
C.(-2 , 0 ) ，4
D.( 2, 0 ) ，4
6.在△ABC 中，已知 a=6,b=8,C=45°,则△ABC 的面积为（ ）
A． 24 2
B.12 2
C. 6 2
D. 8 2
n n1
A. 25
B. 576
C. 624
D. 625
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
x y 1 13.设变量 x,y 满足条件 x y 1，则 z=2x-y 的最小值为
x 0
14 若点 P(a,b)与 Q(b-1,a+1)关于直线 L 对称，则直线 L 的倾斜角为
an
中, a 7
4, a 19
2a , 9
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）设
bn
1 nan
，求数列｛bn｝的前项和
Sn.
20.（12 分）已知圆 C：(x-1)2+y2=9 内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 L 交圆 C 于 A，B 两点。 （1）当直线 L 经过圆心 C 时，求直线 L 的方程； （2）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 L 的方程.
（1）求角 B; （2）若 b＝3，c＝2a，求 a,c 的值.
22．（12 分）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB. （1）已知 AB=BC,AE=EC,求证：AC⊥FB； （2）已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC.
2019-2020学年吉林辽源市田家炳高级中学等”友好学校“第69届高一下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年吉林辽源市田家炳高级中学等友好学校第69届高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设a，b，c∈R且a＞b，则下列关系式正确的是（）A．a2＞b2B．a﹣c＞b﹣c C．ac2＞bc2D．＜2．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．3．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（）A．πB．2πC．πD．6π4．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°5．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，则三角形的另一边长为（）A．52B．2C．16D．46．已知a＞0，b＞0且，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．147．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊂β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊂β，n⊂α，且m∥α，n∥β，则α∥β8．若直线mx﹣y﹣2＝0与直线（m+2）x﹣y+1＝0相互垂直，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．29．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．2 000 cm3D．4 000 cm310．圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8＝0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8＝0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离11．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，a1+a2+a3＝21，q＞0，则a3+a4+a5为（）A．21B．4C．84D．812．数列{a n}中，若a1＝2，a n+1＝2a n+3，则a10＝（）A．29B．2563C．2569D．2557二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题卡上．）13．（理科）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，b n﹣a n＝2n+1，且2S n＝n2﹣n，则数列{b n}的通项公式b n＝．15．直线x﹣y+5＝0被圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长等于．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为C1C的中点，则异面直线D1A与EO所成角的余弦值为．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题卡上）17．已知直线l经过点P（2，1），且斜率为2，（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．18．在等差数列{a n}中，（1）已知a2+a5+a12+a15＝36，求S16的值；（2）已知a6＝20，求S11的值．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，点M、N、K分别是棱A1D1、AB和BC的中点．（1）求证：MN∥平面BDD1B1；（2）求证：平面C1NK⊥平面BDD1B1．22．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，下列各题，只有一项符合题意要求，请将所选答案涂在答题卡上）1．设a，b，c∈R且a＞b，则下列关系式正确的是（）A．a2＞b2B．a﹣c＞b﹣c C．ac2＞bc2D．＜【分析】根据a，b，c∈R且a＞b，取a＝c＝0，b＝﹣1，则可排除错误选项．解：根据a，b，c∈R且a＞b，取a＝c＝0，b＝﹣1，则可排除ACD．故选：B．2．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．解：直线x﹣y+1＝0的斜率为k＝，设倾斜角为α，可得tanα＝，由0≤α＜π，且α≠，可得α＝，故选：D．3．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（）A．πB．2πC．πD．6π【分析】根据圆锥的高和底面半径，求得圆锥的母线长为3，根据圆锥侧面积公式计算即可．解：根据题意，设圆锥的高为h，半径为r，母线长为l，则l＝＝＝3，所以S侧＝πrl＝π•2•3＝6π．故选：D．4．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sin A的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．【解答】解析：由正弦定理得：，∴A＝45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A＝45°故选：C．5．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，则三角形的另一边长为（）A．52B．2C．16D．4【分析】解方程5x2﹣7x﹣6＝0可得cosθ＝﹣，利用余弦定理求出第三边的长即可．解：解方程5x2﹣7x﹣6＝0可得此方程的根为2或﹣，故夹角的余弦cosθ＝﹣，∴由余弦定理可得三角形的另一边长为：＝2．故选：B．6．已知a＞0，b＞0且，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．14【分析】根据化简可以得到a+2b＝（a+2b）×（），再运用基本不等式可求得最小值．解：∵∴a+2b＝（a+2b）×（）＝1+6+≥7+2＝7+2当且仅当时等号成立，∴a+2b的最小值为7+2故选：A．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊂β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊂β，n⊂α，且m∥α，n∥β，则α∥β【分析】对于A，由线面垂直的性质和面面垂直的性质得m⊥n；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，α与β相交或平行；对于D，α与β相交或平行．解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于A，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由线面垂直的性质和面面垂直的性质得m⊥n，故A正确；对于B，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n⊂β，且m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；对于D，若m⊂β，n⊂α，且m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．8．若直线mx﹣y﹣2＝0与直线（m+2）x﹣y+1＝0相互垂直，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用两直线垂直，两直线中x，y的系数积之和等于0，能求出实数m的值．解：∵两条直线mx﹣y﹣2＝0和（m+2）x﹣y+1＝0互相垂直，∴m（m+2）+（﹣1）（﹣1）＝0，解得m＝﹣1．故选：A．9．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．2 000 cm3D．4 000 cm3【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为20cm的正方体，OE⊥CD 且E是CD的中点，所以棱锥的高OE＝20cm．所以四棱锥的体积为．选B．故选：B．10．圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8＝0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8＝0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，大于半径之和，可得两个圆关系．解：由于圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，表示以C1（﹣1，﹣4）为圆心，半径等于5的圆．圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8＝0，即（x﹣2）2+（y+2）2＝16，表示以C2（2，﹣2）为圆心，半径等于4的圆．由于两圆的圆心距等于＝，大于半径之差，小于半径和，故两个圆相交．故选：A．11．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，a1+a2+a3＝21，q＞0，则a3+a4+a5为（）A．21B．4C．84D．8【分析】由题意和等比数列的通项公式可解得q，而a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）•q2，计算可得．解：由题意可得a1+a2+a3＝a1（1+q+q2）＝3（1+q+q2）＝21，化简可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2或q＝﹣3，又∵q＞0，∴q＝2∴a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）•q2＝21×4＝84故选：C．12．数列{a n}中，若a1＝2，a n+1＝2a n+3，则a10＝（）A．29B．2563C．2569D．2557【分析】利用数列的递推关系式，推出{a n+3}是等比数列，求出通项公式，即可求解a10．解：数列{a n}中，若a1＝2，a n+1＝2a n+3，可得a n+1+3＝2（a n+3），{a n+3}是等比数列，公比为2，首项为5，所以a n+3＝5×2n﹣1，a10＝5×29﹣3＝2557．故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题卡上．）13．（理科）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是﹣3．【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x﹣y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z＝x﹣y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z＝x﹣y整理得到y＝x﹣z，要求z＝x﹣y的最小值即是求直线y＝x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y＝0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，b n﹣a n＝2n+1，且2S n＝n2﹣n，则数列{b n}的通项公式b n＝2n+n．【分析】当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，推导出a n＝n﹣1，再由b n ﹣a n＝2n+1，能求出b n．解：∵数列{a n}的前n项和为S n，b n﹣a n＝2n+1，且2S n＝n2﹣n，∴S n＝，当n＝1时，a1＝S1＝＝0，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣[]＝n﹣1，n＝1时，也成立，∴a n＝n﹣1，∵b n﹣a n＝2n+1，∴b n＝2n+n．故答案为：2n+n．15．直线x﹣y+5＝0被圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长等于2．【分析】先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长解：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0可变为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，故圆心坐标为（1，2），半径为3圆心到直线x﹣y+5＝0的距离是＝2故弦长的一半是＝1所以弦长为2故答案为：2．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为C1C的中点，则异面直线D1A与EO所成角的余弦值为．【分析】取BC中点F，连结OF、EF，可得∠OEF就是异面直线D1A与EO所成角，设正方体的棱长等于2，可得Rt△OEF中，OF＝1，EF＝，从而算出OE＝，cos ∠OEF＝，即得异面直线D1A与EO所成角的余弦值．解：取BC中点F，连结OF、EF由正方体的性质，可得EF∥AD1，∠OEF就是异面直线D1A与EO所成角设正方体的棱长等于2，可得Rt△OEF中，OF＝1，EF＝∴OE＝＝，cos∠OEF＝＝即异面直线D1A与EO所成角的余弦值为故答案为：三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题卡上）17．已知直线l经过点P（2，1），且斜率为2，（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2）化为一般式即可．（2）由直线m与直线l平行，所以直线m斜率为2，又因为直线m在y轴上的截距为3，即可得到直线方程．解：（1）直线l的方程为：y﹣1＝2（x﹣2）即y＝2x﹣3，（2）因为直线m与直线l平行，所以直线m斜率为2．又因为直线m在y轴上的截距为3所以直线m方程为：y＝2x+3．18．在等差数列{a n}中，（1）已知a2+a5+a12+a15＝36，求S16的值；（2）已知a6＝20，求S11的值．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出a1+a16＝18，再由S16＝（a1+a16），能求出结果．（2）由等差数列前n项和公式得S11＝＝11a6，由此能求出结果．解：（1）∵等差数列{a n}中，a2+a5+a12+a15＝36，∴a2+a5+a12+a15＝2（a1+a16）＝36，∴a1+a16＝18，∴S16＝（a1+a16）＝144．（2）∵等差数列{a n}中，a6＝20，∴S11＝＝11a6＝220．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cos A ＝，A＝；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为π得到角C，由三角形面积公式即得结论．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，所以．又，故或．若，则，于是；若，则，于是．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，再由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AC，然后利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面PBD；（2）由PD⊥平面ABCD，得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，可得∠PBD＝45°，再由已知求得BD＝2．由AB＝AD＝2，求出菱形ABCD的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD；（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD＝45°，∵PD＝2，∴BD＝PD＝2，又AB＝AD＝2，∴菱形ABCD的面积为，故四棱锥P﹣ABCD的体积．21．在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，点M、N、K分别是棱A1D1、AB和BC的中点．（1）求证：MN∥平面BDD1B1；（2）求证：平面C1NK⊥平面BDD1B1．【分析】（1）取A1B1的中点H，连接MH，NH，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，可得MH∥平面BDD1B1，NH∥平面BDD1B1，从而得到平面MNH∥平面BDD1B1，再由面面平行的性质定理即可得证；（2）连接AC，由正方形的性质和线面垂直的性质和判定，推得NK⊥平面BDD1B1，再由面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】证明：（1）取A1B1的中点H，连接MH，NH，由MH为△A1B1D1的中位线，可得MH∥B1D1，MH⊄平面BDD1B1，B1D1⊂平面BDD1B1，可得MH∥平面BDD1B1，又NH∥B1B，NH⊄平面BDD1B1，B1B⊂平面BDD1B1，可得NH∥平面BDD1B1，而MH，NH为相交直线，所以平面MNH∥平面BDD1B1，又MN⊂平面MNH，则MN∥平面BDD1B1；（2）连接AC，由正方形ABCD，可得AC⊥BD，又AC∥NK，可得NK⊥BD，由B1B⊥平面ABCD，而NK⊂平面ABCD，可得B1B⊥NK，而B1B，BD为相交直线，可得NK⊥平面BDD1B1．而NK⊂平面C1NK，所以平面C1NK⊥平面BDD1B1．22．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．。
2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数2−i在复平面内对应的点位于()1−iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为()A. 168B. 175C. 172D. 1763.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(m,−1)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则m的值为()A. 1B. 3C. 1或3D. 44.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，A=30°，b=2，则角C的度数为()A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 90°5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB. 若m//n，n⊂β，则m//βC. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥βD. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β6.某商场一年中各月份的收入、支出(单位：万元)情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是()A. 1至2月份的收入的变化率与10至11月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是5：1C. 第三季度平均收入为50万元D. 利润最高的月份是2月份7.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sinB×sinC=sin2A，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若成绩在[60,80)的人数是16，则低于60分的人数是()A. 6B. 12C. 15D. 1810.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1,2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A. 16B. 524C. 13D. 72411.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. √105B. 2√65C. √155D. √6312.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，p=a+b+c2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦−秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC满足sin A：sin B：sinC=2：3：√7，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为()A. 8√7B. 4√7C. 6√3D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为30°，|a⃗|=2，|b⃗ |=√3，则|a⃗+2b⃗ |=______．14.若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2=_____．15.若复数z满足|z−3−4i|=1，则|z|的最小值为______．16.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的高为2√3，BC=√3，∠BAC=120°，则该三棱柱外接球的表面积为______；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设m∈R，复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i是纯虚数．(1)求m的值；(2)若−2+mi是方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ba =√3cosBsinA．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=2√3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．19.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．(I)求证：BM//平面ADEF；(II)求证：平面BDE⊥平面BEC．20.一机构随机调查了某小区100人的月收入情况，将所得数据按[1000,2000)，[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)，[5000,6000)，[6000,7000](单位：元)分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图求数据在[2000,3000)内的频率并估计样本数据的中位数；(2)根据题目分组情况，按分层抽样的方法在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收入在[5000,6000)的概率．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC =60°，AB =12AD ，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)求证：AB ⊥PC;(Ⅱ)若PA =AB =12AD =2，求三棱锥P −AEC 的体积．22. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵2−i1−i =(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=32+i2，∴复数2−i1−i 在复平面内对应的点的坐标为(32,12)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】B【解析】解：高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，把这7人的身高从小到大排列为：168，170，172，172，175，176，180，7×60%=4.2，∴第5个数据为这7人的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为175．故选：B．把这7人的身高从小到大排列，由7×60%=4.2，得到第5个数据为这7人的第60百分位数．本题考查7人的第60百分数的求法，考查一组数据的第p百分位的求法，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(m,−1)，且a−⊥(a−−b−)，∴a⃗−b⃗ =(2−m,2)，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2(2−m)+2=0，解得m=3．故选：B．推导出a⃗−b⃗ =(2−m,2)，再由a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2(2−m)+2=0，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4.【答案】B【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB，即1sin30∘=2sinB，所以sinB=1.故B=90°．故C=180°−90°−30°=60°．故选：B．由已知结合正弦定理即可求解B，然后结合三角形的内角和可求．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．5.【答案】C【解析】解：已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β的关系是垂直、相交或平行，则A错误；对于B，若m//n，n⊂β，则m、β的关系是平行或m在平面β内，则B错误；对于C，若m⊥α，m//n，n//β，则m//β或m在β平面内，因为m⊥α，所以α、β的关系是垂直，则C正确；对于D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α、β的关系是垂直、相交或平行，则D 错误．故选：C．利用空间直线和平面的位置关系，即线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，线面平行和线线平行的判断和性质对每一选项进行判断即可．本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：A选项，1至2月份的收入增长30万元，10至11月份的收入增长20万元，变化率不同，说法错误．B选项，支出最高值为60，支出最低值为10，比例是6：1，说法错误．C选项，7，8，9月的收入分别为40，50，60，故第三季度平均收入为50万元，说法正确．D 选项，10月份的利润为30万元，大于2月份的利润20万元，说法错误．故选：C ．利用统计图表读出各月份的收入，支出，再进行判断．本题考查统计图图表的理解，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求．【解答】解：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．8.【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b =c ，最后判断出三角形的形状．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．【解答】解：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．则：cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由于：0<A<π，故：A=π3．由于：sinBsinC=sin2A，利用正弦定理得：bc=a2，所以：b2+c2−2bc=0，故：b=c，所以：△ABC为等边三角形．故选C．9.【答案】B【解析】解：有直方图得成绩在[60,80)的频率为1−(0.005+0.010+0.015)×20=0.4，又成绩在[60,80)的人数是16，∴总人数160.4=40，则低于60分的人数是40×0.015×20=12，故选：B．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有C43×A33=24种取法，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有C43×2=8种情况，则这个三位数是“凹数”的概率是824=13；故选：C．根据题意，分析“凹数”的定义，可得要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．11.【答案】A【解析】解：连结A1C1交B1D1于点O，连结BO，因为在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AB=BC=2，所以C1O⊥B1D1，又BB1⊥平面A1B1C1D1，且C1O⊂平面A1B1C1D1，所以C1O⊥BB1，又BB1∩B1D1，且BB1，B1D1⊂平面BDD1B1，所以C1O⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成的角，因为C1O=12A1C1=√2，BC1=√4+1=√5，所以sin∠C1BO=C1OBC1=√2√5=√105．故选：A．连结A1C1交B1D1于点O，连结BO，利用线面垂直的判定定理证明C1O⊥平面BDD1B1，结合线面角的定义得到∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成的角，然后在△C1BO中利用边角关系求解即可．本题考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：√7，∴a：b：c=2：3：√7，∵△ABC周长为10+2√7，即a+b+c=10+2√7，∴a=4，b=6，c=2√7，∴p=4+6+2√72=5+√7，∴△ABC的面积S=√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3．故选：C．由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】2√7【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 的夹角为30°，|a⃗|=2，|b⃗ |=√3，所以(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=22+4×2×√3×cos30°+4×(√3)2=28，所以|a⃗+2b⃗ |=2√7．故答案为：2√7．根据平面向量的数量积计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，是基础题．14.【答案】265【解析】【试题解析】【分析】本题可运用平均数的公式：x=x1+x2+⋯+x nn解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可．本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．【解答】解：∵数据2，3，7，8，a的平均数为5，∴2+3+7+8+a=25，解得a=5，∴方差s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(7−5)2+(8−5)2+(5−5)2]=265．故答案为265．15.【答案】4【解析】解：满足|z−3−4i|=1的复数z在复平面内对应的点在以C(3,4)为圆心，以1为半径的圆上，如图，则|z|的最小值为√32+42−1=4．故答案为：4．根据条件可知，满足|z−3−4i|=1的复数z在复平面内对应的点在以C(3,4)为圆心，以1为半径的圆上，然后求出|z|的最小值．本题考查复数模的求法，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16.【答案】16π【解析】解：设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，BC=√3，∠BAC=120°，∴由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，∴r=1，∴在Rt△OMC中，OC=R，OM=12×2√3=√3，MC=r=1，∴R2=12+(√3)2=4，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2=16π，故答案为：16π．设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC 的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，在△ABC中，由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，所以r=1，在Rt△OMC中，OC=R，OM=12AA1=1，MC=r =1，所以R 2=4，从而求出直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积． 本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．17.【答案】解：(1)∵复数(m 2−5m +6)+(m 2−3m)i 是纯虚数，所以∴{m 2−5m +6=0m 2−3m ≠0， 解得：{m =2或m =3m ≠0且m ≠3， ∴m =2；(2)∵−2+mi 是方程x 2+px +q =0的一个根，∴(−2+2i)2+p(−2+2i)+q =0，即(−2p +q)+(2p −8)i =0，∴{−2p +q =02p −8=0，解得：p =4，q =8．【解析】(1)根据纯虚数的定义求出m 的值即可；(2)将−2+mi 代入方程x 2+px +q =0，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．本题考查了纯虚数的定义，考查复数的运算性质，是一道基础题．18.【答案】解：(1)由题意及正弦定理得sinB sinA =√3cosB sinA即sinB =√3cosB则tanB =√3∵0<B <π，∴B =π3(2)S △ABC =12acsinB =√34ac =2√3 ∴ac =8由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB∴12=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac ，∴(a +c)2=36，a +c =6∴△ABC 的周长为6+2√3【解析】本题考查了正余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题(1)由题意及正弦定理得sinBsinA =√3cosBsinA即sinB=√3cosB，tanB=√3即可得B．(2)S△ABC=12acsinB=√34ac=2√3，可得ac=8，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，可得a+c即可得△ABC的周长．19.【答案】证明：(I)取DE中点N，连接MN，AN，在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，∴MN//CD，且MN=12CD，由已知中AB//CD，AB=AD=2，CD=4，∴MN//AB，且MN=AB，∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM//AN，又∵AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，∴BM//平面ADEF．(II)∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，且ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵BC在平面ABCD内，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2√2，在△BCD中，BD=BC=2√2，CD=4，∴BC⊥BD，又∵ED与BD在平面BDE内相交于D点，∴BC⊥平面BDE，又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC．【解析】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键．(I)取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理易得，四边形ABMN为平行四边形，即BM//AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM//平面ADEF；(II)由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．20.【答案】解：(1)设数据在[2000,3000)内的频率为m，由频率分布直方图得：m=1−1000×(0.0001+0.00025+0.00025+0.00015+0.00005)=0.2，由题意知中位数在[3000,4000)，设中位数为x，则0.0001×1000+0.0002×1000+0.00025×(x−3000)=0.5，解得x=3800．(2)收入在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]这三组的人数分别为10，15，5，所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1．记收入在[1000,2000)的2人分别为a1，a2，收入在[5000,6000)的3人分别为b1，b2，b3，收入在[6000,7000]的1人为c，通过列举法可得从这6人中抽取2人的取法有：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，(b1,c)，(b2,c)，(b3,c)，共15种，其中至少有一人收入在[5000,6000)的取法有：(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，(b1,c)，(b2,c)，(b3,c)，共12种，所以至少有一人收在[5000,6000)概率为P=1215=45．【解析】(1)由频率分布直方图求出m，推导出中位数在[3000,4000)，列出方程，能求出中位数．(2)收入在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]这三组的人数分别为10，15，5，按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1.记收入在[1000,2000)的2人分别为a1，a2，收入在[5000,6000)的3人分别为b1，b2，b3，收入在[6000,7000]的1人为c，利用列举法能求出至少有一人收在[5000,6000)概率．本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】证明：(Ⅰ)因为PA⊥面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为∠ABC=∠ADC=60°，AB=12AD=12BC，在△ABC中，由余弦定理有：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos60°=BC2−AB2所以AB2+AC2=BC2，即：AB⊥AC，又因为PA∩AC=A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC．解：(Ⅱ)由已知有：PA=AB=12AD=2，所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD，且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为12PA=1，所以三棱锥P−AEC的体积：V P−AEC=V D−AEC=V E−ADC=13S△ADC·12PA=13×12×2×4×sin60°×1=2√33．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．(Ⅰ)推导出AB⊥PA，AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥PC．(Ⅱ)根据PA⊥面ABCD，由V P−AEC=V D−AEC=V E−ADC，能求出三棱锥P−AEC的体积．22.【答案】解：(1)设事件A 1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A 2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B 1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B 2表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 则A 1A 2表示“甲赢得比赛”，P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=35×23=25，B 1B 2表示“乙赢得比赛“，P(B 1B 2)=P(B 1)P(B 2)=34×25=310，∵25>310，∴派甲参赛赢得比赛的概率更大．(2)设C 表示“甲赢得比赛”，D 表示“乙赢得比赛”，由(1)知P(C −)=1−P(A 1A 2)=1−25=35， P(D −)=1−P(B 1B 2)=1−310=710，∴C ∪D 表示“两人中至少有一个赢得比赛”，∴P(C ∪D)=1−P(C −D −)=1−P(C −)P(D −)=1−35×710=2950．【解析】(1)设事件A 1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A 2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B 1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B 2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则A 1A 2表示“甲赢得比赛”，B 1B 2表示“乙赢得比赛“，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得到派甲参赛赢得比赛的概率更大．(2)设C 表示“甲赢得比赛”，D 表示“乙赢得比赛”，C ∪D 表示“两人中至少有一个赢得比赛”，P(C ∪D)=1−P(C −D −)=1−P(C −)P(D −)，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
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【解析】试题分析：由数列 为等比数列，且 成等差数列，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，解得： ，根据等比数列前n项和公式 ．
【考点】1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．
5．两圆 与 公共弦所在的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将两圆方程相减即得公共弦所在的直线方程.
解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2 =2R，
R= ，S=4πR2=12π
故选B
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
7．设x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的最小值是（）
A．－15B．－9C．1D．9
【答案】A
【解析】作出可行域，z表示直线 的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.
【详解】
圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为3 ，
圆心到直线x+y﹣14＝0的距离为 3 ，
故圆上的点到直线的最小值是 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．
4．等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则 （ ）
A．7B．8C．15D．16
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【详解】
如图，取AD的中点G，
连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角
设棱长为2，则EG= ，GF=1，EF=
cos∠GEF= ，
故选C．
当且仅当 ＝ ，即b＝2－ ，a＝ －1时，等号成立．
∴ ＋ 的最小值为3＋2 .
故选：D
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.
二、填空题
13．不论 为何实数，直线 恒过定点______.（请写出该定点坐标）
【答案】 ；
【解析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标.
2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校高一下学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1．在等比数列 中， ， 则 （）
A．3B．27C． D．243
【答案】A
【解析】根据等比数列性质直接求解.
【详解】
，
故选：A
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则角 为（）
10．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．12πB．11πC．10πD．9π
【答案】A
【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个球加一个圆柱，所以
【考点】几何体表面积
11．在等差数列 中， ，则数列 的前 项和为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以
【详解】
因为两圆 与 ，
所以两圆方程相减得
故选：D
【点睛】
本题考查两圆公共弦方程，考查基本求解能力，属基础题.
6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ，则球的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．
【详解】
直线
变形可得
当满足 时,不论 为何实数,直线恒过定点
解方程组可得
所以不论 为何实数,直线恒过定点的坐标为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题.
14．已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 ，直线 与直线 平行，则 等于________.
【答案】
【解析】根据直线垂直与平行列方程，解得 ，即得结果.
，因此前 项和为 ，选C.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .
12．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则 ＋ 的最小值为（）
【详解】
因为直线 与直线 平行，所以
因此
故答案为：
【点睛】
本题考查直线垂直与平行，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．在长方体 中， ，则二面角 的大小为________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合几何关系首先作出二面角的平面角，然后利用二面角的正切值即可确定二面角的大小为30°.
详解：如图所示，过点C作CE⊥BD,垂足为E,连结EC1，
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
9．在等差数列 中， ，则数列 的前11项和 （）
A．24B．18C．66D．132
【答案】D
【解析】先化简条件得 ，再根据等差数列求和公式以及等差数列性质求结果.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列求和公式以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据余弦定理即可求得结果.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．圆 上的点到直线 距离的最小值为（）
A．36B．18C． D．
【答案】C
【解析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．
∵CC1⊥平面ABCD,可得CE是C1E在平面ABCD内的射影，
A．1B．5
C．4 D．3＋2
【答案】D
【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上,可得a＋b＝1，再将 变成积为定值的形式后利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴ ＋ ＝ (a＋b)＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 ，
【详解】
作出不等式组表示的可行域，如图所示，
目标函数 ，z表示直线 的纵截距，
，
数形结合知函数 在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，
所以z的最小值为－12－3＝－15.
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.
8．如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则直线 与 所成角的பைடு நூலகம்弦值是（ ）