2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校高一下期末数学(理)(解析版)
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【答案】C
【解析】试题分析：由数列 为等比数列，且 成等差数列，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，解得： ，根据等比数列前n项和公式 ．
【考点】1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．
5．两圆 与 公共弦所在的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将两圆方程相减即得公共弦所在的直线方程.
解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2 =2R，
R= ，S=4πR2=12π
故选B
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
7．设x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的最小值是（）
A．－15B．－9C．1D．9
【答案】A
【解析】作出可行域，z表示直线 的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.
【详解】
圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为3 ，
圆心到直线x+y﹣14＝0的距离为 3 ，
故圆上的点到直线的最小值是 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．
4．等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则 （ ）
A．7B．8C．15D．16
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【详解】
如图，取AD的中点G，
连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角
设棱长为2，则EG= ，GF=1，EF=
cos∠GEF= ，
故选C．
当且仅当 ＝ ，即b＝2－ ，a＝ －1时，等号成立．
∴ ＋ 的最小值为3＋2 .
故选：D
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.
二、填空题
13．不论 为何实数，直线 恒过定点______.（请写出该定点坐标）
【答案】 ；
【解析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标.
2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校高一下学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1．在等比数列 中， ， 则 （）
A．3B．27C． D．243
【答案】A
【解析】根据等比数列性质直接求解.
【详解】
，
故选：A
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则角 为（）
10．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．12πB．11πC．10πD．9π
【答案】A
【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个球加一个圆柱，所以
【考点】几何体表面积
11．在等差数列 中， ，则数列 的前 项和为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以
【详解】
因为两圆 与 ，
所以两圆方程相减得
故选：D
【点睛】
本题考查两圆公共弦方程，考查基本求解能力，属基础题.
6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ，则球的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．
【详解】
直线
变形可得
当满足 时,不论 为何实数,直线恒过定点
解方程组可得
所以不论 为何实数,直线恒过定点的坐标为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题.
14．已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 ，直线 与直线 平行，则 等于________.
【答案】
【解析】根据直线垂直与平行列方程，解得 ，即得结果.
，因此前 项和为 ，选C.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .
12．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则 ＋ 的最小值为（）
【详解】
因为直线 与直线 平行，所以
因此
故答案为：
【点睛】
本题考查直线垂直与平行，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．在长方体 中， ，则二面角 的大小为________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合几何关系首先作出二面角的平面角，然后利用二面角的正切值即可确定二面角的大小为30°.
详解：如图所示，过点C作CE⊥BD,垂足为E,连结EC1，
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
9．在等差数列 中， ，则数列 的前11项和 （）
A．24B．18C．66D．132
【答案】D
【解析】先化简条件得 ，再根据等差数列求和公式以及等差数列性质求结果.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列求和公式以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据余弦定理即可求得结果.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．圆 上的点到直线 距离的最小值为（）
A．36B．18C． D．
【答案】C
【解析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．
∵CC1⊥平面ABCD,可得CE是C1E在平面ABCD内的射影，
A．1B．5
C．4 D．3＋2
【答案】D
【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上,可得a＋b＝1，再将 变成积为定值的形式后利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴ ＋ ＝ (a＋b)＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 ，
【详解】
作出不等式组表示的可行域，如图所示，
目标函数 ，z表示直线 的纵截距，
，
数形结合知函数 在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，
所以z的最小值为－12－3＝－15.
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.
8．如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则直线 与 所成角的பைடு நூலகம்弦值是（ ）
【解析】试题分析：由数列 为等比数列，且 成等差数列，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，解得： ，根据等比数列前n项和公式 ．
【考点】1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．
5．两圆 与 公共弦所在的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将两圆方程相减即得公共弦所在的直线方程.
解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2 =2R，
R= ，S=4πR2=12π
故选B
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
7．设x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的最小值是（）
A．－15B．－9C．1D．9
【答案】A
【解析】作出可行域，z表示直线 的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.
【详解】
圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为3 ，
圆心到直线x+y﹣14＝0的距离为 3 ，
故圆上的点到直线的最小值是 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．
4．等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则 （ ）
A．7B．8C．15D．16
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【详解】
如图，取AD的中点G，
连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角
设棱长为2，则EG= ，GF=1，EF=
cos∠GEF= ，
故选C．
当且仅当 ＝ ，即b＝2－ ，a＝ －1时，等号成立．
∴ ＋ 的最小值为3＋2 .
故选：D
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.
二、填空题
13．不论 为何实数，直线 恒过定点______.（请写出该定点坐标）
【答案】 ；
【解析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标.
2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校高一下学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1．在等比数列 中， ， 则 （）
A．3B．27C． D．243
【答案】A
【解析】根据等比数列性质直接求解.
【详解】
，
故选：A
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则角 为（）
10．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．12πB．11πC．10πD．9π
【答案】A
【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个球加一个圆柱，所以
【考点】几何体表面积
11．在等差数列 中， ，则数列 的前 项和为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以
【详解】
因为两圆 与 ，
所以两圆方程相减得
故选：D
【点睛】
本题考查两圆公共弦方程，考查基本求解能力，属基础题.
6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ，则球的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．
【详解】
直线
变形可得
当满足 时,不论 为何实数,直线恒过定点
解方程组可得
所以不论 为何实数,直线恒过定点的坐标为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题.
14．已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 ，直线 与直线 平行，则 等于________.
【答案】
【解析】根据直线垂直与平行列方程，解得 ，即得结果.
，因此前 项和为 ，选C.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .
12．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则 ＋ 的最小值为（）
【详解】
因为直线 与直线 平行，所以
因此
故答案为：
【点睛】
本题考查直线垂直与平行，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．在长方体 中， ，则二面角 的大小为________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合几何关系首先作出二面角的平面角，然后利用二面角的正切值即可确定二面角的大小为30°.
详解：如图所示，过点C作CE⊥BD,垂足为E,连结EC1，
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
9．在等差数列 中， ，则数列 的前11项和 （）
A．24B．18C．66D．132
【答案】D
【解析】先化简条件得 ，再根据等差数列求和公式以及等差数列性质求结果.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列求和公式以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据余弦定理即可求得结果.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．圆 上的点到直线 距离的最小值为（）
A．36B．18C． D．
【答案】C
【解析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．
∵CC1⊥平面ABCD,可得CE是C1E在平面ABCD内的射影，
A．1B．5
C．4 D．3＋2
【答案】D
【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上,可得a＋b＝1，再将 变成积为定值的形式后利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴ ＋ ＝ (a＋b)＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 ，
【详解】
作出不等式组表示的可行域，如图所示，
目标函数 ，z表示直线 的纵截距，
，
数形结合知函数 在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，
所以z的最小值为－12－3＝－15.
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.
8．如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则直线 与 所成角的பைடு நூலகம்弦值是（ ）