2014年考研数学三真题及答案

2014年考研数学三真题

一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四

个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)设且≠0，则当充分大时有

(A) (B)

(C) (D)

【答案】A。

【解析】

【方法1】直接法：

由且≠0，则当充分大时有

【方法2】排除法：

若取显然,且(B)和(D)都不正确；

取显然，且(C)不正确

综上所述，本题正确答案是(A)

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质

(2)下列曲线中有渐近线的是

(A) (B)

(C) (D)

【答案】C。

【解析】【方法1】

由于

所以曲线有斜渐近线，故应选(C)

解法2

考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限

则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C)

综上所述，本题正确答案是(C)

【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线

(3)设当时，若是比高阶

的无穷小，则下列选项中错误的是

(A) (B)

(C) (D)

【答案】D。

【解析】

【方法1】

当时，知，的泰勒公式为

又

则

【方法2】

显然，

由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。

故

综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数，,则在区间

[0,1]上

(A)当时，

(B)当时，

(C)当时，

(D)当时，

【答案】D。

【解析】

【方法1】

由于则直线过点

和(),当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和

的弦的下方，即

【方法2】

令,则

,,

当时，。则曲线，又

，

从而，当时，,即

【方法3】

令,

则,

=

当时,单调增，，从而，当时，,即

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明

(5)行列式

(A) (B)

(C) (D)

【答案】B。

【解析】灵活使用拉普拉斯公式

==

综上所述，本题正确答案是(B)

【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算

(6)设均为三维向量，则对任意常数,向量组

线性无关是向量组线性无关的

(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

【答案】A。

【解析】

记，则

若线性无关，则是3阶可逆矩阵，

故,即线性无关。

反之，设线性无关，，则对于则对任意常数,向量组线性无关，但线性相关，

所以线性无关是向量组线性无关的必要非充分条件。

综上所述，本题正确答案是(A)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关

(7)设随机事件与相互独立，且,则

(A)0.1 (B)0.2

(C)0.3 (D)0.4

【答案】B。

【解析】，独立，则独立，也独立,而,可用独立性来计算。

可得

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率性质和五大公式

(8)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量

服从的分布为

(A) (B)

(C) (D)

【答案】C。

【解析】

，所以

，

与相互独立，故与也独立。

所以 ,而

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念

二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）

(9)设某商品的需求函数为(为商品的价格)，则该商品的

边际收益为。

【答案】

【解析】由题设知收益函数为,则边际收益为

【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用(10)设是由曲线与直线及围成的有界区

域，则的面积为。

【答案】

【解析】

【方法1】

曲线与直线及围成的有界区域如下图，则

的面积为

【方法2】

用二重积分计算面积，即

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用(11)设,则。

【答案】。

【解析】

可知，则

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算

(12)二次积分= 。

【答案】。

【解析】

二次积分的积分区域为

交换积分次序得

【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系

(13)设二次型的负惯性指数

为1，则的取值范围是。

【答案】

【解析】

由配方法

负惯性指数为1，故，解得

【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形

(14)设总体的概率密度为

其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若

,则。

【答案】

【解析】

,

解得

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念

三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤。

(15)求极限