第14章图的基本概念

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第一章(图论的基本概念)

第二节图的顶点度和图的同构(4)
图序列:简单图的度序列. (d1, d 2 , , d p )(d1 d 2 d p ) 定理4 非负整数序列是图序列当 p 且仅当 d i 是偶数,并且对一切整数k, 1 k p 1, 有
i 1
第二节图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x关联的边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K,则称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点 x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图.在有向图G中, 若 (G) (G) (G) (G) K , 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理)每个图中,结点度数的总和等于边数的二倍,即 deg(x) 2 E .
•
A
N
S
B
欧拉的结论 • 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次回到出发点的路线的充要条件是: • 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接起来; • 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. • 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇之作,因此称欧拉为图论之父.
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节图的顶点度和图的同构(2)
• 定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结点出度之和. • 证明因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边,因此,有向图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等于边数. • 定义度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.

图论第一章课后习题解答

bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有列。定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的定义 1 如果 V H V G ，E H E G ，重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是指满足 V(H) = V(G)的子图 H。假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ；它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。

第十四章-尺寸链分解

A2
A3减环，A1、A2增环
B1、B3为减环，B2、B4、B5为增环
（4）查找原则
查找组成环时，应该注意遵循“最短尺寸链原则”。在机器、部件的装配精度既定的条件下，组成环的数目越少，则组成环所分配到的公差就越大。
3、零件位置误差对封闭环的影响
轴套
a)包容要求 b)独立原则
c）实际零件
尺寸公差δ与平行度公差t2采用包容要求时，平行度误差f2已经控制在尺寸公差δ内，即平行度误差f2对封闭环的影响已经包括在尺寸公差δ内，所以不必单独考虑其影响。
(a) 装配尺寸链（b）零件尺寸链（c）工艺尺寸链
第一节尺寸链的基本概念
二、尺寸链的组成 1、环列入尺寸链中每一个尺寸环一般用英文大写字母表示，可分为封闭环和组成环。 2、封闭环尺寸链中在装配或加工过程中最后自然形成的那个环。常用下标为0的英文大写字母表示。 3、组成环尺寸链中对封闭环有影响的全部环。这些环中任何一环的变动必然引起封闭环的变动。常用下标为1,2,3…的英文大写字母表示。组成环又可分为增环和减环。
（1）分组互换法
将计算得到的各组成环的平均极值公差扩大N倍，如此即可以按照经济加工精度制造，
然后根据零件完工后的实际偏差，按一定的尺寸间隔分为N组，
装配时根据大配大、小配小的原则，按对应组装配，以达到封闭环的精度要求。
第二、三、四节尺寸链的计算
（2）修配法
尺寸链的所有尺寸按经济加工精度要求的公差值加工，导致封闭环的公差值扩大。
（3）空间尺寸链全部组成环位于几个不平行的平面内的尺寸链。
L1
L2
L1
L2
L0 L1 L2 cos
α L0
α L0

2023大学_图学基础教程第二版(谭建荣张树有陆国栋施岳定著)课后答案

2023图学基础教程第二版（谭建荣张树有陆国栋施岳定著）课后答案2023图学基础教程第二版（谭建荣张树有陆国栋施岳定著）课后答案下载前言第1章图与图学基础1.1 图的基本概念1.2 图的语言内涵1.3 图的科学技术内涵1.4 图的美学内涵1.5 图是人类思维外化的重要工具1.6 图的形成与基本图学方法1.7 图学基础课程的内涵思考与练习第2章计算机中的图形与图像2.1 计算机绘图系统及绘图工具2.2 计算机色彩2.3 图形生成的汁算机基本辅助工具2.4 思维过程图形化的计算机基本辅助工具 2.5 演示文稿(幻灯片)中的图形制作工具2.6 图像处理的计算机辅助工具思考与练习第3章平面图形的设计、表达与理解3.1 几何型图形的绘制3.2 几何型图形的尺寸与线段分析3.3 意象型图形的基本元素及其性格3.4 意象型图形设计与图形理解思考与练习第4章思维过程的图形化表达与解读4.1 思维过程图形化的优越性4.2 思维过程图形化的.一般方法与原则4.3 思维过程图形化方法的应用思考与练习第5章数据与函数信息的图形化表达与应用 5.1 “场”的概念及场的图形化5.2 数据及其采集与分析5.3 函数与公式及其图形化5.4 数据与函数图形化的基本方法思考与练习第6章空间有形物体的平面表达6.1 投影的基本概念6.2 空间形体的三面正投影图6.3 空间形体内外结构的常用表达方法6.4 空间实体的轴测投影图6.5 空间实体的透视投影图思考与练习第7章空间形体的图形转换及阅读7.1 表达空间形体的图样阅读7.2 图样中图形阅读的基本要点及基本方法 7.3 根据两个视图补画第三视图7.4 根据所给视图画指定方向的剖视图7.5 根据所给视图画指定方向的外形视图 7.6 根据三视图画立体草图7.? 工程图样的整体识读思考与练习参考文献……图学基础教程第二版（谭建荣张树有陆国栋施岳定著）：内容提要点击此处下载2023图学基础教程第二版（谭建荣张树有陆国栋施岳定著）课后答案图学基础教程第二版（谭建荣张树有陆国栋施岳定著）：图书目录本书紧紧抓住人脑中潜在而巨大的、也是实际上拥有最为广泛应用领域的非言语思维工具——图形转换与图示图解，总结、归纳井详尽地介绍了各专业科学研究领域所涉及的基本图学方法和工具。

图论-图的基本概念

若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈；若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。

第14章-图基本概念

环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
12
握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？解本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx，则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性）如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念

图论基础知识

图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。

我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。

图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。

图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。

考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。

进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。

本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。

个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。

对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。

图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。

集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。

若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。

根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。

如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。

以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。

记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。

图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。

图的基本概念无向图及有向图

d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中，最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中，最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ

i 1
i
证明必要性。由握手定理显然得证。充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数度点。奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为什么？解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数，由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序，度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1

UML基础与Rose建模实用教程(第三版)

第11 章包图
1 1 .5 本章小结
习题十一
习题十一
1. 填空题 2. 选择题 3. 简答题 4. 练习题
第12 章构件图与部署图
1 2 .1 构件图与部署图的基本概念
1 2 .2 使用R o s e 创建构件图与部署图
1 2 .3 本章小结
习题十二
12.1构件图与部署图的基本概念
1. 构件 2. 构件图的基本概念 3. 部署图的基本概念
1．填空题
2. 选择题 3. 简答题 4. 练习题
第9 章状态图
9 .1 状态图的
1
基本概念
2
9 .2 状态图的组成
3
9 .3 组成状态
4 9 .4 使用R o s e
创建状态图
5 9 .5 使用R o s e
创建状态图示例
第9 章状态图
9 .6 本章小结
习题九
9.1状态图的基本概念
1. 状态图的定义 2. 状态图的作用
7.5使用Rose创建序列图示例
1. 确定工作流程 2. 确定对象 3. 确定消息和条件 4. 绘制序列图总图
习 4. 练习题
第8 章协作图
8.2协作图的组成
8.1协作图的基本概念
8.3使用Rose创建协作图
第8 章协作图
8.5本章小结
8.4使用Rose创建协作图示例
习题八
8.1协作图的基本概念
1. 协作图的定义 2. 协作图的作用
8.2协作图的组成
1. 对象 2. 消息 3. 链
8.3使用Rose创建协作图
1. 创建对象 2. 创建消息 3. 创建链
8.4使用Rose创建协作图示例

14第十四章不确定性、风险与信息非对称性(北大第2版)

0
图8
• 2.风险厌恶者的N-M效用函数解释
• （1）边际效用解释 • 对于风险厌恶者来说，N-M效用函数的边际效用是递减的，增加单位货币的边际效用小于减少单位货币的边际效用。 • 如图9所示，赢等量的货币带来的效用增加量小于输等量货币带来的效用减少量。所以，风险厌恶者不愿意参加公平博弈。 U U1 U0 U2 ∆U1<∆U2 ∆U1 ∆U2 U(Y)
• （三）风险厌恶者 • 1.风险厌恶者效用函数的特点 • 风险厌恶者的N-M效用函数的特点是：边际效用是正的，且边际效用递减；即，对于N-M效用函数 • U=U(Y) 2 dU d U • 其中 U 0,U O
dY
dY 2
• 图8表示了风险厌恶者的N-M效用函数。
U
U=U(Y) Y
• （三）冯纽曼—摩根斯坦定理：预期效用最大化 • 1.定理：预期效用最大化假定在不确定的情况下预期效用的最大化是合理的追求目标，这被称为冯纽曼－摩根斯坦定律。 • 2.冯纽曼—摩根斯坦效用函数: 效用与货币收入之间的效用函数，简称N－M效用函数用U=U(Y) 表示 U
U U Y
O
③ 非预期货币最大化由上述可知，人们不是以预期的货币值来进行决策的。也就是说，在不确定条件下，人们追求的目标不是预期货币值最大化。例如：一个人有两种选择，第一种选择是100万稳定收入；第二种选择是有0.5概率可得210万元，有0.5概率可赔5万元。第一种选择的货币值：Y1=1×100=100万元第二种选择的货币值： E2(Y) =210×0.5+（﹣0.5）×0.5=102.5万元以预期值比较， E（Y）大于Y，Δ=2.5 若以预期货币值的最大化为目标，人们应作第二种选择，但一般人们会选择第一种。

图学基础教程习题集答案

图学基础教程习题集答案第一章：图学基本概念1. 图的定义是什么？答案：图是由顶点（或称为节点）和边组成的数学结构，其中边是顶点之间的连接。

2. 什么是有向图？答案：有向图是一种图，其中的边具有方向性，从一个顶点指向另一个顶点。

第二章：图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么？优点：易于实现，可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。

缺点：空间复杂度高，对于稀疏图来说效率较低。

2. 邻接表的优缺点是什么？优点：空间效率高，对于稀疏图特别适用。

缺点：需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。

第三章：图的遍历1. 深度优先搜索（DFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，沿着边尽可能深地搜索，直到无法继续，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径。

2. 广度优先搜索（BFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，逐层遍历所有可达的顶点，直到所有顶点都被访问过。

第四章：最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么？答案：在无向图中，最小生成树是一棵连接所有顶点的树，且边的总权重最小。

2. Kruskal算法的基本步骤是什么？答案：Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边，确保选择的边不会形成环，直到所有顶点都被连接。

第五章：最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么？答案：Dijkstra算法通过维护一个优先队列，不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻接顶点的距离。

2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么？答案：Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图，而Dijkstra算法不能。

第六章：图的着色1. 图的着色问题的定义是什么？答案：图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色，使得相邻的顶点颜色不同。

2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么？答案：贪心算法在图的着色问题中，从顶点集合中选择一个顶点，为其分配一种颜色，然后移动到下一个顶点，并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。

第十四章图的基本概念

n i 1
(5）（4，4，3，3，2，2）
v4 v1
v3 v2 v1
v6
v2 v3
v6
v5
v4
v5
在画图时，由于顶点位置的不同，边的直、曲不同，同一个图可能画出不同的形状。像这种形状不同，但本质上是同一个图的现象称为图同构。定义 1 4 . 5 设两个无向图 G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对于任意的e=（vi，vj）E1当且仅当e’=（ f(vi)，f(vj)）E2，并且e与e’的重数相同，则称 G1和G2是同构的，记作G1≌G2。对于有向图可类似定义。
d (vi ) 2m且 d (vi ) d (vi ) m
i 1 i 1 i 1 n n n
推论任何图（无向的或有向的）中，奇度顶点的个数是偶数。
定义设G=<V,E>是n阶无向图,V={v1，v2，… ，vn},称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数列.对于顶点标定的无向图,它的度数列是唯一的. 同样可定义有向图的度数列、出度列和入度列。图G的度数列为 4，4，2，1，3 图D的度数列为 5，3，3，3 出度列为4，0，2，1 入度列为1，3，1，2
定义14.1（无向图）一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，记作G，即G=<V，E>，其中 ⑴ V={v1，v2，…，vn}是非空集合，称为G 的顶点集,V中元素称为顶点或结点； ⑵ E={e1，e2，…，en}是无序积V&V的一个多重子集，称为的边集,E中的元素称为无向边，简称边。由定义知，图G中的边ek是V的两个元素vi， vj的无序对（vi ,vj），称vi，vj是ek的端点. 当vi=vj时，称ek为环（loop）.

电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念

电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。

注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。

连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。

重数⼤于1的边称为重边。

端点重合为⼀点的边称为环。

1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。

（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。

只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。

其他所有的图都称为⾮平凡图。

边集为空的图称为空图。

2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。

3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。

注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。

2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。

3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。

1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。

称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。

2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。

第14章流变学基础

第十四章流变学基础第一节概述一、流变学的基本概念（一）流变学研究内容流变学—Rheology来源于希腊的Rheos=Sream（流动）词语，是Bingham和Crawford 为了表示液体的流动和固体的变形现象而提出来的概念。

流变学主要是研究物质的变形和流动的一门科学。

对某一物体外加压力时，其内部各部分的形状和体积发生变化，即所谓的变形。

对固体施加外力，固体内部存在一种与外力相对抗的内力使固体保持原状。

此时在单位面积上存在的内力称为内应力（stress）。

对于外部应力而产生的固体的变形，当去除其应力时恢复原状的性质称为弹性（elasticity）。

把这种可逆性变形称为弹性变形（elastic deformation）,而非可逆性变形称为塑形变形（plastic deformation）。

流动是液体和气体的主要性质之一，流动的难易程度与流体本身的粘性（viscosity）有关，因此流动也可视为一种非可逆性变形过程。

实际上，多数物质对外力表现为弹性和粘性双重特性，称为粘弹性物质。

（二）剪切应力与剪切速度观察河道中流水，水流方向一致，但水流速度不同，中心处的水流最快，越靠近河岸的水流越慢。

因此在流速不太快时可以将流动着的液体视为互相平行移动的液层，叫层流，如图14-1。

由于各层的速度不同，便形成速度梯度du/dy，或称剪切速度。

这反映流体流动的特征。

由于流动阻力便产生速度梯度，流动较慢的液层阻滞着流动较快液层的运动。

使各液层间产生相对运动的外力叫剪切力，在单位液层面积（A）上所需施加的这种力称为剪切应力，简称剪切力（shearing force），单位为N·m-2，以S表示。

剪切速度（rate of shear），单位为s-1，以D表示。

剪切应力与剪切速度是表征体系流变性质的两个基本参数。

图14-1 流动时形成的速度梯度二、流变学在药剂学中的应用流变学在药学研究中的重要意义在于可以应用流变学理论对乳剂、混悬剂、半固体制剂等的剂型设计、处方组成以及制备、质量控制等进行评价。

F14图的基本概念

091离散数学(60). W&M.
§14. 1图

握手定理无向图中顶点度数之和等于边数的两倍:
d(v) 2 E .
vV
证每条边均提供 2 度.
v1
v4
图例注意到 d(v3) = 6 5,
d(v) = 3 + 3 + 6 + 2 = 14, |E| = 7,
v2 v3
091离散数学(60). W&M.
§14. 1图

G = V, E 或 D = V, E. V(G) = V. E(G) = E.
n 阶图: |V| = n.
有限图: |V| < , |E| < .
N4
n 阶零图 Nn: E = .
平凡图: N1.
N1
空图: Ø = V, E = ,
091离散数学(60). W&M.
§14. 1图

一个图会有不同的图解.
G = {a, b, c, d}, {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}.
ab
b
1
dc
a 2
dc
图形 1, 2 都是图 G 的图解.
091离散数学(60). W&M.
可图化原因可简单图化原因
(1) 奇个奇点

不可图化
(2) 和是偶数

>n1
(3) 和是偶数

去掉悬挂点
(4) 和是偶数

>n1
(5) 和是偶数

见后
091离散数学(60). W&M.

图论第1章图的基本概念

G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint）若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的（edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知，偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]

第14讲图的有关概念,节点的度数

v4 v1

v3
v2
一个环算2度?

下面的定理是L. Euler在1736年证明的图论中的第一定理,常称为“握手(?)定理”. Theorem 在任何(n, m)图G = (V, E)中, 其所有节点度数之和等于边数m的2倍,即
deg( v) 2m.
vV

Corollary 在任意图G = (V, E)中, 度数为奇数的节点个数必为偶数. Proof

Solution (1)由于序列7, 5, 4, 2, 2, 1中, 奇数个数为奇数, 根据握手定理的推论知, 不可能存在一个图其度数序列为7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)因为序列4, 4, 3, 3, 2, 2中, 奇数个数为偶数, 可以得到一个无向图(见图7-11),其度数序列为4, 4, 3, 3, 2, 2.
v3
v4

(2)G – W 设W V, 导出子图G[V – W]记为 G – W,是在G中去掉所有W中的节点,同时也要去掉与W中节点关联的所有边. 通常将G – {v}记为G - v. (3)G[F] 设F E, 则以F为边集合,以F中边的所有端点为节点集合构成的子图,称为由F 导出的子图(induced subgraph by F),记为 G[F].
D

程序调用的图论模型:
v4
e5 e9 e7 v3 e8
e4
v5 e3
e6
e1 e2
v1

v2
e8: v3可调用v2; e1: v2可调用v1; e4: v5可调用v5 自身.
• 单行道; • 好感?

1.图的定义由前面的2个例子可以得出 Definition 图G(graph)主要由2部分组成: (1)节点集合V, 其中的元素称为节点(vertex 或node). (2)边集合E, 其中的元素称为边(edge). 通常将图G记为G = (V, E). 几点说明:

《应用数学基础》(陈冲)教学课件第八章图论

应用数学基础
第八章图论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理）设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联；由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．

图论图的基本概念

若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
道路：v1v2v3v6
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不相同)，则称该途径为道路(path) 。
子图
若V (H ) ⊆ V (G), E(H ) ⊆ E(G)，且H中边的重数不超过G，则H称为G的子图，记作 H ⊆ G
若以下条件有一项成立，则H称为G的真子图。 (1) V (H ) ⊂ V (G); (2)E(H ) ⊂ E(G);
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph)，又称支撑子图。
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题:
哥尼斯堡市跨越河的两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发，必须从一条边进，从另一条边出一进一出，每个顶点相关联的边必须为偶数。
莱昂哈德·欧拉在1735年圆满地解决了这个问题，证明七桥问题无解，同时，欧拉还给出了任意一种河-桥图能否全部走一次的判定法则，以及怎样快速找到所要求的路线。这些解析，最后发展成为了数学中的图论。
d (v1) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3) = 3, d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
∑ d (vi ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16 v E =8

第14章 图的基本概念

第一章(图论的基本概念)

图论第一章课后习题解答

第十四章-尺寸链分解

2023大学_图学基础教程第二版(谭建荣 张树有 陆国栋 施岳定著)课后答案

图论-图的基本概念

第14章-图基本概念

图论基础知识

图的基本概念 无向图及有向图

UML基础与Rose建模实用教程(第三版)

14第十四章 不确定性、风险与信息非对称性(北大第2版)

图学基础教程习题集答案

第十四章 图的基本概念