第四章 多自由度系统振动(a)解析

k 2
(1 2 ) 1 ) k33
M1 (t) M 2 (t)
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
坐标间的耦合项
2020年10月30日
12
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1 m1
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
建立方程：
m1x1
m2 x2
mm12xx12kk12x(1x1
k2 (x1 x2 )
x2 ) P1(t) k3x3 P2 (t
)
力量纲
矩阵形式：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
2020年10月30日
5
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程 • 刚度矩阵和质量矩阵 • 位移方程和柔度矩阵 • 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 • 耦合与坐标变换
2020年10月30日
6
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的
2020年10月30日
13
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
P2(t)
k2
k3
m2
m1 0
0
m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k 3
1
2
M 1 (t ) M 2 (t)
• 作用力方程
几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
第四章
多自由度系统振动
1
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。 m
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。 优点：模型简单；
缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间
k2 k2 k3
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
例2：
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为： M X K X P(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
量
量
车、人、车轮的质量分别考 虑，并考虑各自的弹性和阻尼。
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮之间的相互耦合，模 型较为精确.
m人
k1
c1
m车
k2
c2
mm轮
k3
c3
k2
c2
m轮
k3
c3
2020年10月30日
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
4
<<振动力学>>
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年10月30日
的相互影响。
2
<<振动力学>>
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
k2 建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼。
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；
缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。
2020年10月30日 <<振动力学>>
c2
3
多自由度系统振动
建模方法3：
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
坐标间的耦合项
2020年10月30日
9
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 I1, I2
轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
n 个自由度系统:
M X K X P(t) X [x1, x2 ,..., xn ]T Rn
广义坐标列向量
m11...m1 j ...m1n
M
m21.
k 2 (1 2 ) I11 k 33
2020年10月30日 <<振动力学>>
M 2 (t)
I 22
11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 33
M 1 (t )
I11
M 2 (t)
I 22
建立方程： 矩阵形式：
II2112
k11 k 2 ( 2
m2
建立坐标： x1、x2 的原点分别取在 m1、m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 x1、x2
受力分析：
加速度 x1、x2
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
2020年10月30日 <<振动力学>>
m1x1
m2 x2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
.
.m2
j
.
..m2
n
.....................
mn1...mnj ...mnn
nn
质量矩阵第 j 列
2020年10月30日 <<振动力学>>
k11...k1 j ...k1n
K
k21...k2 j ...k2n
M 2 (t)
I1
I2
试建立系统的运动微分方程
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标： 受力分析：
设某一瞬时： 角位移 1, 2
k 11
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k 2 (2 1)
角加速度 1 ,2