人教A版全能练习选修4-4第一讲第二单元1.极坐标系的概念

人教A 版全能练习选修4-4第一讲第二单元1.极坐标系的概念学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点M 的极坐标为(5,)3π-，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标是（ ）A ．(5,)3π- B ．4(5,)3πC ．2(5,)3π- D ．5(5,)3π--2．在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ）A.1B.33．在极坐标系中，点1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭与点53,6B π⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离是（ ）A BC D 4．在极坐标系中，点3,12M π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线()4πθρ=∈R 对称的点的一个极坐标是（） A ．3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．53,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．73,12π⎛⎫⎪⎝⎭5．极坐标为(3,4)的点到极点的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．3sin 4 6．下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是( )A ．=6+5cos ρθB ．=6+5sin ρθC ．=6-5cos ρθD ．=6-5sin ρθ7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(1,1)-，若取原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 的极坐标的是（ ）A ．34π⎫⎪⎭B ．54π⎫-⎪⎭C ．114π⎫⎪⎭D ．4π⎫⎪⎭ 8．在极坐标系中，已知点2,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则线段PQ 的中点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π⎫⎪⎭C ．52,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．512π⎫⎪⎭二、填空题9．已知点43,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则分别满足0ρ>，πθπ-<与0ρ<，02θπ<的点A 的极坐标为________.10．在极轴上，与点4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为5的点M 的极坐标为________. 11．极坐标系中，点A 的极坐标是3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：（1）点A 关于极轴对称的点的极坐标是_________；（2）点A 关于极点对称的点的极坐标是_________；（3）点A 关于直线()2πθρ=∈R 对称的点的极坐标是________.（规定0ρ>，[0,2)θπ∈）三、解答题12．如图所示，建立适当的极坐标系，并写出各点的极坐标.13．在极坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的极坐标分别为2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)B π，52,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）判断ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积.14．在极坐标系中，如果42,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，452,B π⎛⎫ ⎪⎝⎭为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标（0ρ，02θπ<）.参考答案1．A【解析】试题分析：点M 的极坐标为(5,)3π-化为普通坐标为55cos ,5sin 323x y ππ=-=-=-=普通坐标为5,2⎛- ⎝，A 项中普通坐标为55cos ,5sin 323x y ππ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 考点：极坐标点评：将极坐标互为熟悉的普通坐标，通过普通坐标的比较得到极坐标的异同2．B【解析】试题分析：在极坐标系中，作出点()1,0与点()2,π，可得两点之间的距离为123d =+=，故选B.考点：极坐标的表示.3．C【解析】【分析】利用余弦定理进行计算即可.【详解】 由题意得52663AOB πππ∠=-=,由余弦定理得AB ==故选C ．【点睛】 本题考查极坐标、余弦定理的应用,属于基础题．4．C【解析】【分析】利用点对称的性质进行求解即可【详解】设点M 关于直线()4πθρ=∈R 对称的点为N ，则||||ON OM =，5441212xON ππππ∠=+-=，所以点N 的一个极坐标为53,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 答案选C【点睛】 本题考查极坐标中点对称的问题，属于基础题5．A【解析】【分析】利用极坐标性质判断即可【详解】在极坐标系中，点到极点的距离为极径，明显地，极径为3答案选A【点睛】本题考查极坐标的性质，属于基础题6．D【解析】 由题意得，根据图形可知2πθ=-时，ρ取得最大值11 ，当2πθ=时，ρ取得最小值1 ，只有D 满足上述条件，故选D.考点：简单曲线的极坐标方程.7．D【解析】【分析】把点P 的坐标为(1,1)-转化成极坐标324k ππ⎫+⎪⎭即可求解 【详解】||OP =324POx k ππ∠=+，k ∈Z 所以A ，B ，C 选项均可以是点P 的极坐标.D 选项不可以是点P 的极坐标答案选D【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的关系，属于基础题8．D【解析】【分析】作图，利用垂直平分线的定义，利用边的长度和角度进行求解即可【详解】如图所示，||||2OP OQ ==，2362POQ πππ∠=-=，则PQ =，1||||2OM PQ ==54612xOM πππ∠=+=，所以点M 的极坐标为512π⎫⎪⎭. 答案选D【点睛】 本题考查极坐标中角度问题，属于基础题9．23,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭,3,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】当0ρ>，找出符合πθπ-<范围，且与43π终边相同的角，即可求解 当0ρ<，则利用02θπ<范围的，根据点43,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于极点O 对称来进行求解即可【详解】当0ρ>，πθπ-<时，根据43π与23π-是终边相同的角，可得点43,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标为23,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当0ρ<，02θπ<时，根据点43,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于极点O 对称，可得点A 的极坐标为3,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查极坐标中的ρ与角的问题，属于基础题10．(1,0)或(7,0)【解析】【分析】可设M (,0)r ，由于极坐标中有一个量是关于角的，A ，M 两点之间的距离为5，根据余弦定理求解即可【详解】设M (,0)r ，因为4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5=，即2870r r -+=，解得1r =或7r =.故点M 的极坐标为(1,0)或(7,0).答案：(1,0)或(7,0)【点睛】本题考查极坐标中解三角形问题，属于基础题11．113,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 73,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 53,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作图，分别画出点A 关于极轴、极点与直线()2πθρ=∈R 对称的点，然后，直接求解即可【详解】如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要是极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转得到的．由图可得答案为： (1). 113,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2). 73,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭(3). 53,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题属于求极坐标的题目，关键是掌握极坐标中各参数的含义，属于基础题12．(0,0)，(60,0)，120,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，350,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用图像，求出每条边的长度，以及边与边之间的夹角，即可求解【详解】如图，以A 为极点，AB 所在射线为极轴建立如图所示的极坐标系，则点A ，B ，C ，D ，E 的极坐标分别是(0,0)，(60,0)，120,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，350,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查极坐标系下，ρ与角度的运用，属于基础题13．（1）等边三角形；（2）【解析】【分析】（1）由题目可知，||||||2OA OB OC ===①；23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=②；然后利用三角形全等的方法，证明出三边相等，即可得到ABC ∆的形状. （2）直接利用三角形面积公式求解即可【详解】（1）如图所示，由2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)B x ，52,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭得， ||||||2OA OB OC ===，23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， AOB COB AOC ∴∆∆∆≌≌，||||||AB BC CA ∴==，故ABC ∆为等边三角形；（2）由上述可知，||2||sin 2232AC OA π==⨯⨯=24ABC S ∆∴=⨯=【点睛】 本题考查三角形全等以及三角形面积公式的运用，属于基础题14．34π⎛⎫ ⎪⎝⎭或74π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】 利用等边三角形ABC ，得到||||||AB BC AC ==，再利用余弦定理求解即可【详解】设点C 的极坐标为(,)ρθ（(02,0)θπρ<），则有||||||AB BC AC ==，由余弦定理得 2222222cos 16,45222cos 16,4πρρθπρρθ⎧⎛⎫+-⨯-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩即224cos 120,44cos 120,4πρρθπρρθ⎧⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+--= ⎪⎪⎝⎭⎩①② ①+②并化简得212ρ=，由0ρ，解得ρ= 再代入①得cos 04πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，42k ππθπ∴-=+，k ∈Z 34k πθπ∴=+，k ∈Z ，又02θπ<， 令0,1k =分别得37,44ππθ=∴点C的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭或74π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题是一道求点的极坐标的题目，解题的关键是掌握极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题。