山东省潍坊市2018届高中三年级期末考试试题(数学理)

省潍坊市2018届高三数学（理）期末考试
2018．1
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的、学校、号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．
3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第I 卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{}{}
211log 1,A x x B x x A B =-<<=<⋂=，则 A ．()1,1-
B ．(0，1)
C ．(－l ，2)
D ．(0，2)
2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间()0+∞，上单调递减的是 A ．1
y x
=
B ．2
1y x =-+
C ．2x
y = D ．2log y x =
3．若,x y 满足约束条件2040,24x y x y z x y y -+≤⎧⎪
+-≥=-⎨⎪≤⎩
则的最大值为
A ．4-
B ．1-
C ．0
D ．4
4．若角α终边过点()32,1sin 2A πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，则
A. 25
-
B. 5-
C ．
5 D ．
25
5．已知双曲线()22
2210x y a b a b -=>0,>的焦点到渐近线的距离为
3，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为
A ．1
B ．3
C ．2
D ．23
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．423+
B ．442+
C ．623+
D ．642+
7．如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是
A ．14
B ．
1
3 C. 23
D ．34
8．函数3sin 2cos 2y x x =
-的图象向右平移02πϕϕ⎛
⎫<< ⎪⎝⎭
个单位后，得到函数()y g x =的
图象，若()y g x =为偶函数，则ϕ的值为 A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 9．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为2
3
，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是 A ．3
B ．
83
C ．2
D ．
53
10．已知抛物线2
4y x =与直线230x y --=相交A 、B 两点，O 为坐标原点，设OA ，OB 的斜率为1212
11
,k k k k +，则的值为 A ．14
-
B ．12
-
C ．
14
D ．
12
11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录．2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的
A ．己亥年
B ．戊戌年
C ．庚子年
D ．辛丑年 l2．已知函数()()
2
3x
f x x e =-，若关于x 的方程()()2
2
12
0f
x mf x e --
=的不同实数根的个数为n ，则n 的所有可能值为
A ．3
B ．1或3
C ．3或5
D ．1或3或5
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知单位向量121212,,23
e e e e a e e a π
<>==-=，且，若向量，则__________．
14．()()5
2
11x x x +++展开式中4
x
的系数为___________(用数字作答)．
15．已知正四棱柱的顶点在同一个球面O 上，且球O 的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为__________．
16．在如图所示的平面四边形ABCD 中，1,3,AB BC ACD
==
∆为等腰直角三角形，且90ACD ∠=，则BD 长的最大值为
___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)
若数列{}n a 的前几项和n S 满足：()20,n n S a n N λλ*
=->∈．
(I)证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ； (Ⅱ)若(
)24,log n
n n a n b n N a n λ*⎧⎪==∈⎨
⎪⎩为奇数为偶数
，求数{}n b 的前2n 项和2n T . 18．(本小题满分12分)
在4,22,45,PABC PA PC P D ==∠=中，是PA 中点(如图1)．将△PCD 沿CD 折起到图2中1
PCD ∆的位置，得到四棱锥P 1—ABCD ．
(I)将△PCD 沿CD 折起的过程中，CD ⊥平面1P DA 是否成立?并证明你的结论；
(Ⅱ)若1P D 与平面ABCD 所成的角为60°，且△1P DA 为锐角三角形，求平面1P AD 和平面1P BC 所成角的余弦值．
19．(本小题满分12分)
为研究某种图书每册的成本费y (元)与印刷数x (千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
表中8
1
11,8i i i i u u u x ===∑.
(I)根据散点图判断：=d
y a bx y c x
=++
与哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x (千册)的回归方程类型?(只要求给出判断，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)； (III)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元?(假设能够全部售出。

结果精确到1)
(附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n ωυωυωυ⋅⋅⋅，其回归直线υαβω=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为（()()
()
1
2
1
,n
i
i i n
i
i w
w
ω
ωυυ
βαυβω==--=
=--∑∑)
20．(本小题满分12分)
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上动点P 到两焦点12,F F 的距离之和为4，当点P 运动到
椭圆C 的一个顶点时，直线1PF 恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切． (I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设椭圆C 的左右顶点分别为A 、B ，若PA 、PB 交直线6x =于M 、N 两点．问以MN 为直径的圆是否过定点?若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 21．(本小题满分12分)
已知函数()2
2ln 2f x x ax x =-+有两个极值点()1212,x x x x <．
(I)数a 的取值围；
(Ⅱ)设()2
ln c g x x bx x =--，若函数()f x 的两个极值点恰为函数()g x 的两个零点，当
32a ≥
()12
122x x y x x g +⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
的最小值． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．
22．(本小题满分10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩(α为参数)，以原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= (限定0,0ρθπ≥≤<)．
(I)写出曲线1C 的极坐标方程，并求1C 与2C 交点的极坐标； (Ⅱ)射线63π
πθββ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭
与曲线1C 与2C 分别交于点A 、B(A 、B 异于原点)，求OA OB 的取值围．
23．(本小题满分10分)【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()()110f x x x a a =++--<≤． (I)求关于x 的不等式()1f x >的解集； (Ⅱ)记()f x 的最小值为m ，证明：m ≤1．
. . . .
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