保险精算学-利息理论基础课件
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保险精算利息理论基础PPT课件
t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以短期 业务一般单利计息。
t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
量期d (m) / m 的实际利率。 1 d (1 d (m) )m m
21
名义利率与名义贴现率
时间点
0
1/m
… (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现 d (m) (1 d (m) )m1 d (m) (1 d (m) )m2 …
m
m
m
m
d (m) (1 d (m) )
m
m
d (m) 1 m
解
（1） (1 i(2) )2 1 i 1 8% 2
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85%
(1 d (4) )4 1 i 1 8% 4
d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
（2） 1 i (1 d (12) )12 (1 8%)12 1.0836
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
… (m-1)/m
m/m=1
利息
i(m) 1
m
i(m) (1 i(m) ) mm
…
i(m) (1 i(m) )m2 mm
i(m) (1 i(m) )m1 mm
余额
1
1 i(m)
t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
量期d (m) / m 的实际利率。 1 d (1 d (m) )m m
21
名义利率与名义贴现率
时间点
0
1/m
… (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现 d (m) (1 d (m) )m1 d (m) (1 d (m) )m2 …
m
m
m
m
d (m) (1 d (m) )
m
m
d (m) 1 m
解
（1） (1 i(2) )2 1 i 1 8% 2
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85%
(1 d (4) )4 1 i 1 8% 4
d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
（2） 1 i (1 d (12) )12 (1 8%)12 1.0836
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
… (m-1)/m
m/m=1
利息
i(m) 1
m
i(m) (1 i(m) ) mm
…
i(m) (1 i(m) )m2 mm
i(m) (1 i(m) )m1 mm
余额
1
1 i(m)
保险精算第1章利息理论基础共52页文档
15
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
利息理论基础最新课件
保险精算
精算部门的日常工作包括哪些内容？ 比较高级的精算职位要履行哪些职责？ 对精算从业人员的技术和职业道德要求有
哪些？
利息理论基础最新课件
一、某公司招聘广告中对精算助理的 要求
岗位职责： 1、 根据市场、销售部门提出的开发新险种的需求，设计
符合市场及公司发展需要的产品； 2、 责任准备金的评估及计提； 3、 公司未来的现金流分析及利润预测； 4、 分析公司发生的各项管理费用的合理性； 5、 核算公司代理人体系的成本，进行成本效益分析； 6、 公司的利源分析，资产负债匹配分析； 7、 根据保监会的规定编制各种精算月报、季报、年报； 8、 各种发生率的经验分析，保险条款的订立与修正。
利息理论基础最新课件
课程结构
基础
利息理论基础
生命表基础
核心
保费计算
责任准备金计算
多重损失模型
保单的现金价值与红利
利息理论基础最新课件
拓展 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
利息理论基础最新课件
学好本课程需要做的准备
心态准备：积极、好学、持之以恒 工具准备：
引言： 了解精算、精算学与精算师
利息理论基础最新课件
什么是精算？是精确计算？
精算—依据经济学的基本原理，运用现代的各种 科学有效方法，对各种经济活动中未来的风险进 行分析、评估和管理，是实现现代保险、金融、 投资稳健经营的一种数学计算技术。
保险精算——保险公司稳健经营的灵魂与核心。
利息理论基础最新课件
i in 1 ( n 1)i
单贴现与实质单贴现
指数积累
复利与实质复利
a (t ) (1 i ) t inቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i
复贴现与实质复贴现
寿险精算学利息理论基础
精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
保险精算学课件
5
5500
5520
( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ）
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m ) i 一期的利率为j，记 为 这一年的名义利 率，i m j 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
i 0 . 08
ln 2 0 . 08 i ln 1 . 08
0 . 72 i
(1) i i
( 12 )
12 % n 12 % n 2% n
0 . 72 0 . 12
6 12 36
A (1) I
2
d
2
A(2)
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a ( t ) 1 it in i 1 ( n 1) i
复利
a ( t ) (1 i ) in i
t
单贴现
a d
1
复贴现
a d
1
( t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
(m )
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
1
i
d
1 i
v
v 1 d 1 i） （
1
1
名义利率
名义利率
i
(m )
(m ) i 1 m
5500
5520
( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ）
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m ) i 一期的利率为j，记 为 这一年的名义利 率，i m j 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
i 0 . 08
ln 2 0 . 08 i ln 1 . 08
0 . 72 i
(1) i i
( 12 )
12 % n 12 % n 2% n
0 . 72 0 . 12
6 12 36
A (1) I
2
d
2
A(2)
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a ( t ) 1 it in i 1 ( n 1) i
复利
a ( t ) (1 i ) in i
t
单贴现
a d
1
复贴现
a d
1
( t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
(m )
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
1
i
d
1 i
v
v 1 d 1 i） （
1
1
名义利率
名义利率
i
(m )
(m ) i 1 m
保险精算利息理论课件讲解.
1
1
1
0
t
0
t
0
t
图2-1
图2-2
图2-3
a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。
有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为 常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。
3
利息率
利息率
1年内1单位本金的利息就是实际年利息率
A(1) A(0) i1 a(1) 1 A(0)
s(m) n
1 n
d (m)
25
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年 金在n 年末的终值为，
s(m) 1 n
n
i(m)
26
永续年金
定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收 付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无 穷大时的值。
每年一元期末付永续年金现值
A(n) A(0)(1 i)n
a(t) (1 i)t
6
现值和贴现率
7
现值和贴现率
在复利下， t 1
(1 i)t
8现值和贴现率来自 在单利下，9现值和贴现率
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时 间以年度衡量时，成为实际贴现率。 d表示一年的贴现率:
d A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i
第二章 利息理论
1
累积函数
累积函数是单位本金的累计额，以 a(t) 表示。
a(t) A(t) A(0)
其中， a(0) 1 ，A(t) A(0) a(t) 。
2
累积函数
a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，
保险精算学讲义(doc 90页)
保险精算学讲义(doc 90页)第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
二、基本年金1、分类（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、基本年金公式推导3、变利率年金问题（1）时期变利率（第个时期利率为）（2）付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）三、一般年金1、分类（1）支付频率不同于计息频率（2）变额年金2、支付频率不同于计息频率年金（1）支付频率小于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（2）支付频率大于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（3）连续年金特别，在常数利息效力场合3、变额年金（1）等差年金初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：现时值：积累值：特别地，递增年金：P=Q=1现时值：积累值：递减年金：P=n，Q=-1现时值：积累值：（2）等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）现时值：积累值：第四节：收益率一、收益率的概念1、贴现资金流与现金流动表2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。
保险精算电子课件
教学主要内容：
一、延期年金
所谓延期年金，就是以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。相当于支付期向后推移若干期间，而计算现值的时刻不变。
一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。
二、在首期付款前某时刻的年金现值
以 表示时刻0时的年金现值。根据年金折现法及年金加减法计算出的同一时刻的的年金积累值
； 。
四、付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为 ，其中第 次付款时所有付款的当前值为
；
。
教法提示：
讲授法
课程教案
授课题目：2.4永续年金
求和得：
例2.1.2某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
解：设每月需存入 元，有
，
（元）
例2.1.3甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，试计算每次的支取额度。
解：设 为每次支取额度，有
（4）利息金额与积累函数的关系
其中 为一个时间区间上所得利息的量； 为在一特定时刻的积累量。
二、实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。
表示从投资日算起第 个度量期的实际利率，即
为整数。
等价公式： 。
例1.1.1某人到银行存入1000元，第1年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？
教学主要内容：
前面讲述的年金都是假定期限为 ， 为有限数，付款次数为有限次。付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。
一、延期年金
所谓延期年金，就是以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。相当于支付期向后推移若干期间，而计算现值的时刻不变。
一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。
二、在首期付款前某时刻的年金现值
以 表示时刻0时的年金现值。根据年金折现法及年金加减法计算出的同一时刻的的年金积累值
； 。
四、付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为 ，其中第 次付款时所有付款的当前值为
；
。
教法提示：
讲授法
课程教案
授课题目：2.4永续年金
求和得：
例2.1.2某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
解：设每月需存入 元，有
，
（元）
例2.1.3甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，试计算每次的支取额度。
解：设 为每次支取额度，有
（4）利息金额与积累函数的关系
其中 为一个时间区间上所得利息的量； 为在一特定时刻的积累量。
二、实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。
表示从投资日算起第 个度量期的实际利率，即
为整数。
等价公式： 。
例1.1.1某人到银行存入1000元，第1年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？
教学主要内容：
前面讲述的年金都是假定期限为 ， 为有限数，付款次数为有限次。付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。
保险精算学基本理论讲解(doc 93页)
第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。
所以长期业务一般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。
所以短期业务一般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
保险精算课件 第1章利息理论共96页文档
2.1.4 名义利率和名义贴现率Βιβλιοθήκη 1.名义利率：所谓名义利率
i(m)
，是指每
1 m
个度量期支
付利息一次，而每 1 个度量期的实际利率为 i ( m ) 。
m
m
设与名义利率等价的实际利率为 i ，则有：
1i (1i(m) )m m
i (1i(m) )m 1 m
时间点：0 1 m
2
m 1
m
m
m 1 m
例3. 王亮1994年1月1日从银行借款10000元， 假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算 （1）1994年5月20日他需还银行多少钱？ （2）2019年1月1日他需还银行多少钱？ （3）多少年后他需还15000元？
2.1.3 现值和贴现率 1.现值
●我们把为了在 t 期末得到某个积累值， 而在开始时投资的本金金额称为该积累 值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是 在t期末支付1单位的现值，在t期末支付k 单位的现值为k·a-1(t)。
（2）求相当于每月结算一次的年利率为12% 的半年结算一次的贴现率。
例2：求1万元按每年计息4次的年名义利率 6%投资三年的积累值。
例3：每年计息2次的年名义利率为10%，在6 年后支付5万元，求其现值。
2.1.5 利息力
利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的
指标。记为 t ，则
t lt i0[m A (t t) tA (t)]A (t)A A '((tt))a a '((tt))
● 积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
● 在复利方式下，当年利率不变时
2.1利息基本理论(保险精算课程讲义)
第2章 利息理论
利息基本理论 年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累 积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率 衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利 率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为 年，每次的实际结算利息率为 ，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度） 利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表 示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。 （参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m
m
d d 1 1 m
m
m
1 i m 1 1 i m m 1 d / m
利息基本理论 年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累 积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率 衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利 率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为 年，每次的实际结算利息率为 ，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度） 利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表 示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。 （参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m
m
d d 1 1 m
m
m
1 i m 1 1 i m m 1 d / m
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人身保险精算
本课程研究以单个被保险人为承保对 象，以被保险人的生、死为保险事故的单 个被保险人型人身保险的精算方法。
课程结构
基础 利息理论基础 生命表基础
核心 保费计算 责任准备金计算
拓展 特殊年金与寿险 资产份额
第 1 章 利息理论基础
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率
1. a(0) = 1； 2. a(t) 通常为递增函数； 3. 当利息连续产生时，a(t) 是 t 的连续函数； 4. 若 a(0) = C, 则 A(t) = C a(t).
a(t)的四种情况： 1. 线性金额函数； 2. 非线性函数； 3. 水平的积累额函数； 4. 阶梯上升的积累额函数。
例
按照利息转换频率划分
1. 一年转换一次：实质利率 （实质贴现率） 2. 一年转换 m 次：名义利率 （名义贴现率） 3. 连续计息（一年转换无穷次）：利息效力
三、 利息理论基础
本 金：每项业务开始时投资的金额。
积 累 值：过了一定时间再回收的总金额。
利 息：积累值减去本金。
积累函数：在时刻 0 时投资 1 单位本金在时刻 t 的积累值，用 a(t) 表示;
金额函数: 在时刻 0 时投资 C 单位本金在时刻t 时的积累值，用 A(t) 表示。
积累函数
a(t)
金额函数
A(t )
本金
终值
1---------------------------a(t) C---------------------------A(t)
0
t
= C a(t)
积累函数a(t)的性质:
复利 累积函数: a(t) = (1+ i )t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i )t = A(0) a(t)
例
本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复 利，求资本总额以及利息总额。
时间（年） 各年实际利率 时间（年） 各年实际利率
0-2
2%
5-6
3%
2-5
4%
3.现值 （Present Value）
利息率: 单位本金在单位时间内所孳生的利息。
2. 单利与复利(对多个利息周期而言)
单利的计算： 只有本金计息，利息不计息的计息方式。
复利的计算： 本周期的利息由上周期的本利和产生，也就 是利息也将产生利息。
设在0到t时刻，利率i可以变动，如第一个时间段 i=i1,第二个时间段 i=i2….. 如下图所示：
设 a(t) = at2+b,且 A(0)=100, A(3)=370, 求
A(5) = 100 时的 A(10).
实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与
此度量期开始时投入的本金金额之比。实际利率通常用字母i
表示。
A(1) A(0) I
i
A(0)
A(0)
对于多个度量期的情形, 可以分别定义各个度量期的实际 利率。用 in表示从投资日算起第n个度量期的实际利率，则
1/a(t)
1
a(t)
-t
0
t
现值
本金
累积值
1单位本金经过t年后成为 a(t;) 那么 1单位累计值在t年前的值便为 。
1 1 ti
1 1 2i
-t … -2
单利下的现i 1 2i 1 ti
金额
-1
0
1
2 …t
时间
1
1 i t
1
1 i2
复利下的现值和累计值
1 1 i
本金 1
利率 i1
i2
i3
时间t 0 1
2
3 ……..
it t-1 t
(1) 单利计算 (利息不计息) 累积函数: a(t)=1+i1+i2+……+it
(2) 复利计算 (利息也计息) 累积函数: a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+i3)……(1+it)
等利率情况下
单利 累积函数: a(t) = 1+i t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i t) = A(0) a(t)
金额。
终值=本金+利息 A=S+I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
按照计息时刻划分：
1. 期末计息：利率 2. 期初计息：贴现率
按照积累方式划分
1. 线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 2. 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
二、利息的度量
利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在累 积额基础上的减少。它相当于利率在每一利息 计算期的起点时刻被记入。
某人以年利率5%向银行借100元，则银行 将付给借款人100元。1年后，该借款人将 还给银行贷款本金100元，外加5元的利息， 共计105元。
如果此人不是以年实际利率5%而是以年实际 贴现率5%向银行借100元，为期1年，则银行 将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人
第一节
利息的度量
一、利息的定义
定义1
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
定义2：
本金: 每项业务开始时投资的金额。 终值: 业务开始一定时间后回收到的总金额称为
该时刻的终值(或累计值)。 利息: 累计值与本金的差额就是这一时期的利息
单利与复利的现值（单个度量周期）
已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有 1+i 积累值，1+i 称为累积因子。
反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期 初投资的本金金额须是(1+i)-1 ，把 (1+i)-1 称 为贴现因子，记为： ，故有
单利与复利的现值（多个度量周期）
t年现值: 我们把现在1单位元在t年前的值或者未来 t年1单位元在现在的值称为t年的现值。
a1(t) -----------------------------1
0
t
I (n) A(n) A(n 1)
贴现额
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。
它相当于资金投资在期初的预付利息。 贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：
1
1 i 1 i2 1 it 金额
-t … -2
-1
0
1
2 …t
时间
积累函数 a(t)
金额函数 A(t )
贴现函数 a 1 (t )
第n期利息
I (n)
本金
终值
1------------------------------ a(t)
K------------------------------ A(t)
本课程研究以单个被保险人为承保对 象，以被保险人的生、死为保险事故的单 个被保险人型人身保险的精算方法。
课程结构
基础 利息理论基础 生命表基础
核心 保费计算 责任准备金计算
拓展 特殊年金与寿险 资产份额
第 1 章 利息理论基础
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率
1. a(0) = 1； 2. a(t) 通常为递增函数； 3. 当利息连续产生时，a(t) 是 t 的连续函数； 4. 若 a(0) = C, 则 A(t) = C a(t).
a(t)的四种情况： 1. 线性金额函数； 2. 非线性函数； 3. 水平的积累额函数； 4. 阶梯上升的积累额函数。
例
按照利息转换频率划分
1. 一年转换一次：实质利率 （实质贴现率） 2. 一年转换 m 次：名义利率 （名义贴现率） 3. 连续计息（一年转换无穷次）：利息效力
三、 利息理论基础
本 金：每项业务开始时投资的金额。
积 累 值：过了一定时间再回收的总金额。
利 息：积累值减去本金。
积累函数：在时刻 0 时投资 1 单位本金在时刻 t 的积累值，用 a(t) 表示;
金额函数: 在时刻 0 时投资 C 单位本金在时刻t 时的积累值，用 A(t) 表示。
积累函数
a(t)
金额函数
A(t )
本金
终值
1---------------------------a(t) C---------------------------A(t)
0
t
= C a(t)
积累函数a(t)的性质:
复利 累积函数: a(t) = (1+ i )t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i )t = A(0) a(t)
例
本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复 利，求资本总额以及利息总额。
时间（年） 各年实际利率 时间（年） 各年实际利率
0-2
2%
5-6
3%
2-5
4%
3.现值 （Present Value）
利息率: 单位本金在单位时间内所孳生的利息。
2. 单利与复利(对多个利息周期而言)
单利的计算： 只有本金计息，利息不计息的计息方式。
复利的计算： 本周期的利息由上周期的本利和产生，也就 是利息也将产生利息。
设在0到t时刻，利率i可以变动，如第一个时间段 i=i1,第二个时间段 i=i2….. 如下图所示：
设 a(t) = at2+b,且 A(0)=100, A(3)=370, 求
A(5) = 100 时的 A(10).
实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与
此度量期开始时投入的本金金额之比。实际利率通常用字母i
表示。
A(1) A(0) I
i
A(0)
A(0)
对于多个度量期的情形, 可以分别定义各个度量期的实际 利率。用 in表示从投资日算起第n个度量期的实际利率，则
1/a(t)
1
a(t)
-t
0
t
现值
本金
累积值
1单位本金经过t年后成为 a(t;) 那么 1单位累计值在t年前的值便为 。
1 1 ti
1 1 2i
-t … -2
单利下的现i 1 2i 1 ti
金额
-1
0
1
2 …t
时间
1
1 i t
1
1 i2
复利下的现值和累计值
1 1 i
本金 1
利率 i1
i2
i3
时间t 0 1
2
3 ……..
it t-1 t
(1) 单利计算 (利息不计息) 累积函数: a(t)=1+i1+i2+……+it
(2) 复利计算 (利息也计息) 累积函数: a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+i3)……(1+it)
等利率情况下
单利 累积函数: a(t) = 1+i t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i t) = A(0) a(t)
金额。
终值=本金+利息 A=S+I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
按照计息时刻划分：
1. 期末计息：利率 2. 期初计息：贴现率
按照积累方式划分
1. 线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 2. 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
二、利息的度量
利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在累 积额基础上的减少。它相当于利率在每一利息 计算期的起点时刻被记入。
某人以年利率5%向银行借100元，则银行 将付给借款人100元。1年后，该借款人将 还给银行贷款本金100元，外加5元的利息， 共计105元。
如果此人不是以年实际利率5%而是以年实际 贴现率5%向银行借100元，为期1年，则银行 将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人
第一节
利息的度量
一、利息的定义
定义1
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
定义2：
本金: 每项业务开始时投资的金额。 终值: 业务开始一定时间后回收到的总金额称为
该时刻的终值(或累计值)。 利息: 累计值与本金的差额就是这一时期的利息
单利与复利的现值（单个度量周期）
已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有 1+i 积累值，1+i 称为累积因子。
反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期 初投资的本金金额须是(1+i)-1 ，把 (1+i)-1 称 为贴现因子，记为： ，故有
单利与复利的现值（多个度量周期）
t年现值: 我们把现在1单位元在t年前的值或者未来 t年1单位元在现在的值称为t年的现值。
a1(t) -----------------------------1
0
t
I (n) A(n) A(n 1)
贴现额
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。
它相当于资金投资在期初的预付利息。 贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：
1
1 i 1 i2 1 it 金额
-t … -2
-1
0
1
2 …t
时间
积累函数 a(t)
金额函数 A(t )
贴现函数 a 1 (t )
第n期利息
I (n)
本金
终值
1------------------------------ a(t)
K------------------------------ A(t)