第六讲：非线性分析

第六讲
王慎平
非线性分析
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非线性有限元分析
结构的非线性问题就是指结构的刚度随其变形而改变。所有的物理结构 都是非线性的，而线性分析只是一种方便的近似，这对一些简单设计来 说通常是精确的，但显然对许多结构模拟是不够的，诸如加工过程的模 拟，锻造过程，冲压，压溃分析和橡胶问题等的分析。 由于刚度依赖位移，所以不能再用初始柔度（将刚度阵集成并求逆即可 得到柔度阵）乘以所加载荷的方法来计算任何载荷作用下的位移。在非 线性分析中，结构的刚度阵在分析过程中必须进行多次的集成和求逆， 这就使得非线性分析求解比线性分析要昂贵得多。
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非线性的来源与一般解法
1. 材料非线性
非线性弹性 弹塑性 超弹性 粘弹性与粘塑性
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2. 几何非线性
大偏转或变形； 大扭曲； 结构不稳定性 (屈曲) 预紧力效应
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3. 边界非线性
两个物体的接触边界随加载和变形而 改变引起的接触非线性（其中包含有 摩擦接触和无摩擦接触）；
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求解非线性问题主要有两种方法
隐式方法 能够求解静态和动态方程； 需要求解一组矩阵方程以便获得增量步结束时的状态； 需要进行多次迭代； ABAQUS/standard应用该方法求解非线性问题； 显式方法 只能求解动态平衡方程； 可以用来求解准静态问题； 下一步的分析只依赖于上一步分析结束时的结果； 不需要进行迭代求解； ABAQUS/Explicit应用显式方法求解；
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求解平衡方程
典型的非线性问题具有所有三种形式的非线性。 • 在方程中必须包括非线性项。 • 一般的，每个自由度的非线性方程是耦合的。 静态平衡的基本表达式为：由单元应力引起的加在节点上的内力， I，与外力， P ，必须平衡，即：
P (u ) − I (u ) = 0
(Eq. 3.1)
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• 牛顿-拉普森求解技术 • 第一次迭代 (i=1) 假定前面收敛增量步的解u0， P0 ，为已知的。 在当前增量步中，将一个小的增 量∆P，载荷施加到结构上。 ABAQUS基于u0处的切线刚度K0 确定位移修正c1 ； ABAQUS更新模型的状态为u1 ，形成K1 并计算 I1 。 总载荷PTOTAL与内力 I1的差称为残差， R1= PTOTAL- I1. 如果 R1 在模型的每个自由度上都非常小 (在容差范围之内)，结构就是 平衡的。 l默认的容差R1必须小于在整个时间段上作用于结构上的平均力的 0.5%。 lABAQUS自动计算这个在空间和时间上的平均力。 如果迭代不能得到收敛的解，ABAQUS执行另外的迭代，以找到收敛的 解。 北京怡格明思工程技术有限公司 Innovating through simulation
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• 第二次迭代 (i=2) 基于更新的刚度K1 ，计算新的 位移纠正 c2，并且
I1 : K1c2 = PTOTAL − I1.
把新的残差R2与容差进行比较， 察看在u2 处是否得到收敛解， 。
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该过程将一直重复，直到力的残差在允许的容差之内。每次迭代i需要： 1. 形成切线刚度Ki。 2. 求解系统方程组，得到位移修正ci+1 。 • 修正位移的估计值： ui+1 = ui + ci+1。 3. 基于ui+1 计算内力向量Ii+1。 4. 进行平衡收敛判断： • 是否Ri+1 在容差之内?
# iter
• 是否 ci +1 <<
∑c ?
j j =1
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一般的，每个分析 步(∗STEP)需要几 个增量步。
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非线性输入文件
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