初三相似三角形复习提高(含答案)
九年级数学《相似三角形》复习题及答案
《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( )A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEFC.DB AD =FCBFD.EC AE =BFAD(2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( )A.138B.346C.135D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似 (6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8(7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似 二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a 、b 的比例中项c=________,a 、b 、c 的第四比例线段d=________ (3)如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=________,BN ∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________ (6)已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，则CD 2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt △ABC 中，∠C=90°,CD 为斜边上的高。
2023年九年级中考数学专题突破——相似三角形(含答案)
2023年中考数学专题突破——相似三角形一、综合题1．如图，点E 在矩形ABCD 的边AD 上，且∠EBC ＝∠ECB ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）连接BD 交CB 于点F ，求∠BCF 和∠DEF 的面积之比．2．如图，在 ABC 中， D 为 BC 上一点， BAD C ∠=∠ .（1）求证： ABD CBA ∽ .（2）若 63AB BD ==， ，求 CD 的长.3．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 是AB 边上一点，以O 为圆心作∠O ，且经过A ，D 两点，交AB 于点E·（1）求证：BC 是∠O 的切线；（2）AC=2，AB=6，求BE 的长．4．如图，在∠ABC 中，AD 是角平分线，点E ，点F 分别在线段AB ，AD 上，且∠EFD ＝∠BDF ．（1）求证：∠AFE ∠∠ADC ．（2）若45AE AC = ， 2AE EB = ，且∠AFE ＝∠C ，探索BE 和DF 之间的数量关系．5．如图，在 ABC 中，D 是边 BC 上一点，以 BD 为直径的 O 经过点A ，且 CAD ABC ∠=∠ ．（1）请判断直线 AC 是否是 O 的切线，并说明理由；（2）若 2CD = ， 4CA = ，求半径的长．6．如图，在矩形 ABCD 中， 84AB AD ==， ，点E 是 DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作 AF AE ⊥ 交 CB 的延长线于点F ，设 DE a = ．（1）求 BF 的长（用含a 的代数式表示）；（2）连接 EF 交 AB 于点G ，连接 GC ，当 //GC AE 时，求证：四边形 AGCE 是菱形．7．如图，∠ABC 和∠ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD 、CE 的交点.（1）判断线段BD 与CE 的关系，并证明你的结论；（2）若AB ＝8，AD ＝4，把∠ADE 绕点A 旋转，①当∠EAC ＝90°时，求PB 的长；②求旋转过程中线段PB 长的最大值.8．定义：在一个三角形中，若存在两条边x 和y ，使得y ＝x 2，则称此三角形为“平方三角形”，x 称为平方边．（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为 4”是 命题； “有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是 命题；（填“真”或“假”）（2）如图，在∠ABC 中，D 是BC 上一点，若∠CAD ＝∠B ，CD ＝1，求证：∠ABC 为平方三角形；（3）若a ，b ，c 是平方三角形的三条边，平方边a ＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c 的值．9．如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， AD BD = ， AC 为直径， DE BC ⊥ ，垂足为 E .（1）求证： CD 平分 ACE ∠ ；（2）若 8AC = ， 3CE = ，求 CD 的长.10．∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上一点，连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM ．（1）问题发现：如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是 ，∠ACM ＝ ．（2）探究证明：当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．11．如图1，在Rt∠ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点A 1，B 1为边AC ，BC 的中点，连接A 1B 1，将∠A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．（1）如图1，当α=0°时，11BB AA = ，BB 1，AA 1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；（2）将∠A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）当∠A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转过程中，①请直接写出∠ABA 1面积的最大值；②当A 1，B 1，B 三点共线时，请直接写出线段BB 1的长．12．如图，直线 l 与 O 相离，过点 O 作 OA l ⊥ ，垂足为 A ， OA 交 O 于点 B .点 C 在直线 l 上，连接 CB 并延长交 O 于点 D ，在直线 l 上另取一点 P ，使 PCD PDC ∠=∠ .（1）求证： PD 是 O 的切线；（2）已知 1AC = ， 2AB = ， 6PD = .①求 O 的半径 r ；②求 PCD ∆ 的面积.13．如图，在Rt∠ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是斜边AC 的中点，连接DB ，线段AE∠线段BD 交BC 于点E 交DB 于点G ，垂足为点G ．（1）求证：EB 2＝EG•EA ；（2）联结CG ，若∠CGE ＝∠DBC ．求证：BE ＝CE ．14．已知AC ，EC 分别是矩形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在∠ABC 内，且 AB EF BC FC= ＝k ，∠CAE ＋∠CBE ＝90°.（1）求证：∠CAE∠∠CBF ；（2）若BE ＝2，AE ＝4，CE ＝6，求k 的值.15．已知四边形ABCD 中，AB ＝AD ，对角线AC 平分∠DAB ，点F 为AB 上一点，且CF ＝CB ．（1）如图1，求证：CD ＝CF ；（2）如图2，连接DF ，交AC 于点G ，求证：∠DGC∠∠ADC ．（3）如图3，若点H 为线段DG 上一点，连接AH ，若∠ADC ＝2∠HAG ，AD ＝5，DC ＝3，求 FG GH的值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 249y x bx c =-++ 经过点 ()5,0A - 和点 ()1,0B .（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线上 A 、 D 之间的一点，过点 P 作 PE x ⊥ 轴于点 E ， PG y ⊥ 轴，交抛物线于点 G ，过点 G 作 GF x ⊥ 轴于点 F ，当矩形 PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标；（3）如图2，连接 AD 、 BD ，点 M 在线段 AB 上(不与 A 、 B 重合)，作 DMN DBA ∠=∠ ， MN 交线段 AD 于点 N ，是否存在这样点 M ，使得 DMN ∆ 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠CDE ＝90°，∵∠EBC ＝∠ECB ，∴EB ＝EC ，∴Rt∠ABE∠Rt∠DCE （HL ），∴AE ＝ED（2）解：∵BC ＝AD ，AE ＝ED ， ∴BC ＝2DE ，∵DE∠BC ，∴∠DEF∠∠BCF ， ∴214DEF BCF S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 2．【答案】（1）证明：如图所示：BAD C B B ∠=∠∠=∠， ，∴ABD CBA ∽ （2）解： ABD CBA ∽ ，AB BD BC AB ∴= ，即 636BC = ， 解得： 12BC = ，1239DC BC BD ∴=-=-=3．【答案】（1）解： 证明，∵AD 平分∠BAC ， ∴∠OAD=∠CAD ，又∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∴∠CAD=∠ODA ，∴OD∠AC ，∵∠ACB=90°，∴∠ODB=∠ACB=90°，即OD∠BC，∴BC为∠O切线.（2）解：由（1）知OD∠AC，∴∠BOD∠∠BAC，∴BO OD BA AC=，设∠O半径为r，∵AB=6，AC=2，∴BE=6-2r，∴BO=6-r，∴662r r-=，解得：r=32，∴BE=6-2r=6-2×32=3.4．【答案】（1）证明：∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴∠AFE∠∠ADC；（2）解：由（1）得，∠AFE∠∠ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵4,5AEAFE ADC AC=∆∆∽，∴45 AF AEAD AC==，∴4AF FD = ， ∵2,AE AE AF EB == ， ∴2AF AE EB EB== ， ∴EB=2FD ．5．【答案】（1）解：直线 AC 是 O 的切线，理由如下：如图，连接 OA ．∵BD 为 O 的直径，∴90BAD OAB OAD ∠=︒=∠+∠ ． ∵OA OB = ，∴OAB ABC ∠=∠ ．又∵CAD ABC ∠=∠ ，∴90OAD CAD ∠+∠=︒ ．∴AC OA ⊥ ．又∵点A 在 O 上， ∴直线 AC 是 O 的切线．（2）解：∵CAD ABC ∠=∠ ， C C ∠=∠ ， ∴CAD CBA ∽ ， ∴CA CD CB AC= ，即 2AC CD CB =⋅ ， ∴2CD = ， 4CA = ，∴162CB = ， ∴8CB = ，从而 6BD = ，即 26r = ， ∴3r = ．6．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴90BAD ABC D ∠=∠=∠=︒ ，∵AF AE ⊥ ，∴90FAB BAE BAE EAD ∠+∠=∠+∠=︒ ，∴FAB EAD ∠=∠ ，∵90ABF D ∠=∠=︒ ， ∴ADE ABF ∽ ， ∴AD DE AB BF= ， ∵84AB AD ==， ， DE a = ， ∴2DE ABBF a AD ⋅==（2）证明：由题意可得如图所示：连接AC ，在矩形 ABCD 中， //AB CD ， 4890AD BC AB CD ABC ====∠=︒，， ， ∴90ABC FBG ∠=∠=︒ ， ∵//GC AE ，∴四边形 AGCE 是平行四边形， ∴AG CE = ，∴BG DE a == ，∵2BF a = ， ∴122GB a BF a == ， ∵12BCAB = ， ∴12BC BGAB BF == ，∵90ABC FBG ∠=∠=︒ ， ∴ABC FBG ∽ ，∴FGB ACB ∠=∠ ，∵90GFB FGB ∠+∠=︒ ，∴90GFB ACB ∠+∠=︒ ，∴AC GE ⊥ ，∴四边形 AGCE 是菱形．7．【答案】（1）证明：BD ＝CE ，BD∠CE ，∵∠ABC 和∠ADE 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ，在∠ADB 和∠AEC 中， {AB ＝AC∠DAB ＝∠CAE AD ＝AE，∴∠ADB∠∠AEC ，∴BD ＝CE.∠ACE ＝∠ABD设CP 与AB 交于点O∵∠AOC ＝∠BOP∴∠BPC ＝∠OAC ＝90°∴BD∠CE ；（2）解：①A ：如图2中，当点E 在AB 上时，BE ＝AB ﹣AE ＝4.∵∠EAC ＝90°，∴EC ，同（1）可证∠ADB∠∠AEC.∴∠DBA ＝∠ECA.∵∠PEB ＝∠AEC ，∴∠PEB∠∠AEC. ∴PB EB AC EC＝ ， ∴PB8∴PB 5＝ ，b ：如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB+AE ＝12.∵∠EAC ＝90°，∴EC ，同（1）可证∠ADB∠∠AEC.∴∠DBA ＝∠ECA.∵∠PEB ＝∠AEC ，∴∠PEB∠∠AEC. ∴PB EB AC EC＝ ， ∴PB8 ，∴PB ，∴PB 的长为 5 或 5. ②A 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在∠A 下方与∠A 相切时，PB 的值最小.理由：此时∠BCE 最小，因此PB 最小，（∠PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，∠BCE 最小，因此PB 最小）∵AE∠EC ，∴EC ＝ ＝ ，由（1）可知，∠ABD∠∠ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，BD ＝CE ＝4 ，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝﹣4.b、如图5中，以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在∠A上方与∠A相切时，PB的值最大.理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（∠PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE∠EC，∴EC＝＝，同（1）可证∠ADB∠∠AEC∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝EC＝，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD+PD＝4，∴PB最大值是4.8．【答案】（1）真；假（2）解：如图3中，∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，∴∠CAD∠∠CBA，∴AC CD BC AC=，∴AC 2＝CD•CB ，∵CD ＝1，∴AC 2＝BC ，∴∠ABC 是平方三角形（3）解：因为a ，b ，c 是平方三角形的三条边，平方边a ＝2，三角形中存在一个角为60°，只有∠B 或∠C ＝60°，∠A 不可能为60°，当∠B ＝60°，BC ＝2，如图1中，①当c ＝a 2时，∵a ＝2，∴c ＝22＝4．如图2中，当b ＝a 2＝4时，作CH∠AB 于H ．在Rt∠BCH 中，∵∠B ＝60°，∠CHB ＝90°，BC ＝2，∴BH ＝ 12 BC ＝1，CH ＝ BH ＝ ，在Rt∠ACH 中，AH ＝ ，∴c ＝AB ＝BH+AH ＝1+ ，当∠ACB ＝60°时，b ＝4，c ＝2 ．综上所述，c 的长为4或1+ 或2． 9．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是 O 内接四边形，∴180BAD BCD ∠+∠=︒ ，∵180BCD DCE ∠+∠=︒ ，∴DCE BAD ∠=∠ ，∵AD BD = ，∴BAD ACD ∠=∠ ，∴DCE ACD ∠=∠ ，∴CD 平分 ACE ∠（2）解：∵AC 为直径，∴90ADC ∠=︒ ，∵DE BC ⊥ ，∴90DEC ∠=︒ ，∴DEC ADC ∠=∠ ，∵DCE ACD ∠=∠ ，∴DCE ACD ∆∆∽ ， ∴CE CD CD CA = ，即 38CD CD = ，∴CD =10．【答案】（1）CM PE ；45°（2）解：成立．理由：如图（2）中，连接AE ．∵AB ＝AC ，BE ＝EC ，∴AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝12∠BAC ＝45°， ∵DE∠AB ，∴∠ADE ＝180°﹣∠BAC ＝90°，∴AD ＝DE ，∴AE AD ，∵AM AP ， ∴AC AM AE AP=， ∵∠PAM ＝∠CAE ＝45°，∴∠CAM ＝∠EAP ，∴∠CAM∠∠EAP ，∴CM AM PE AP==∠ACM ＝∠AED ＝45°， ∴CMPE ．11．【答案】（1）2；60°（2）解：（1）中结论仍然成立，证明：延长AA 1，BB 1相交于点D ，如图2，由旋转知，∠ACA 1=∠BCB 1，A 1C=1，B 1C=2，∵AC=2，BC=4， ∴12AC A C =，12BC B C=， ∴11AC BC AC B C =， ∴∠ACA 1∠∠BCB 1， ∴112BB BC AA AC==，∠CAA 1=∠CBB 1， ∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠CBB 1+∠BAC-∠CAA 1 =∠ABC+∠BAC=30°+90°=120°，∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD ）=60°；（3）解：①∠ABA 1面积的最大值=12②线段BB 112．【答案】（1）证明：如图，连接 OD .ABC OBD ODB ∴∠=∠=∠ .OA l ⊥ ，90PCD ABC ∴∠+∠=︒ .90PCD ODB ∴∠+∠=︒ .PCD PDC ∠=∠ ，90PDC ODB ∴∠+∠=︒ ，即 90ODP ∠=︒ . PD ∴ 是 O 的切线.（2）解：①PCD PDC ∠=∠ ，6PC PD ∴== .615PA PC AC ∴=-=-= .在 Rt OAP ∆ 和 Rt ODP ∆ 中，由 2222PA AO PD OD +=+ 可得 22225(2)6r r ++=+ ，解得 74r = . ②如图，延长 AO 交 O 于点 F ，连接 DF . ABC DBF ∠=∠ ， 90BAC BDF ∠=∠=︒ ， ABC DBF ∴∆~∆ .AB BC DB BF ∴= 即 272DB = .DB ∴= . 过点 D 作 DE PC ⊥ 于点 E ，CAB CED ∴∆~∆ .AB CB ED CD ∴= ，即 2ED =，解得 245ED = . 11247262255PCD S PC ED ∆∴=⋅=⨯⨯= 13．【答案】（1）证明：∵AE BD ⊥∴90BGE ︒∠=∵90ABC ︒∠=∴BGE ABE ∠=∠∵BEG AEB ∠=∠∴ABE BGE ∆∆∽ ∴BE GE AE BE= ∴2EB EG EA =⋅（2）证明：在 Rt ABC ∆ 中，点D 是斜边 AC 的中点 ∴12BD AC CD == ∴DBC DCB ∠=∠∵CGE DBC ∠=∠∴CGE DCB ∠=∠∵GEC GEC ∠=∠∴GEC CEA ∆∆∽ ∴GE EC EC EA= ∴2EC GE EA =⋅由（1）得 2EB EG EA =⋅∴22EC EB =∴.BE CE =14．【答案】（1）证明： 四边形ABCD 和EFCG 均为矩形∴ 90ABC EFC ∠=∠=︒AC EF kBC FC== ∴ ABC EFC ∽ ∴AC EC BC FC = ， ACB ECF ∠=∠ ACE BCF ∴∠=∠∴ CAE CBF ∽（2）解：CAE CBF ∽AC EF kBC FC== CBF CAE ∴∠=∠90CAE CBE ∠+∠=︒∴ 90EBF ∠=︒∴ 设 BC a = ，则 AB ka = ，设 FC b = ，则 EF kb =AC ∴==EC ∴==∴ AE AC BF BC==∵4AE = ， ∴BF = ，∵90EBF ∠=︒ ， ∴2222221641EF BE BF k b k =+=+=+ ， ∵222CE EF CF =+ ，即 ()2226kb b =+ ， ∴22361b k =+ 即 2223616411k k k =+++ ，解得 k = 或 k = （不合题意，舍去）.即 k 的值是4. 15．【答案】（1）证明：∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠BAC ，在∠ADC 和∠ABC 中：AC AC DAC BAC AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠ADC∠∠ABC （SAS ），∴CD ＝CB ，∵CF ＝CB ，∴CD ＝CF（2）解：∵∠ADC∠∠ABC ， ∴∠ADC ＝∠B ，∵CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B ，∴∠ADC ＝∠CFB ，∴∠ADC ＋∠AFC ＝180°，∵四边形AFCD 的内角和等于360°， ∴∠DCF ＋∠DAF ＝180°，∵CD ＝CF ，∴∠CDG ＝∠CFD ，∵∠DCF ＋∠CDF ＋∠CFD ＝180°， ∴∠DAF ＝∠CDF ＋∠CFD ＝2∠CDG ， ∵∠DAB ＝2∠DAC ，∴∠CDG ＝∠DAC ，∵∠DCG ＝∠ACD ，∴∠DGC∠∠ADC（3）解：∵∠DGC∠∠ADC ， ∴∠DGC ＝∠ADC ， CG DG CD AD= ， ∵∠ADC ＝2∠HAG ，AD ＝5，DC ＝3，∴∠HAG ＝ 12 ∠DGC ， 35CG DG = ， ∴∠HAG ＝∠AHG ，35CG DG = ， ∴HG ＝AG ，∵∠GDC ＝∠DAC ＝∠FAG ，∠DGC ＝∠AGF ，∴∠DGC∠∠AGF ， ∴35GF CG AG DG == ， ∴35FG GH = ． 16．【答案】（1）∵抛物线 249y x bx c =-++ 经过点 ()5,0A - 和点 ()1,0B . ∴抛物线的表达式为： ()()2441620519999y x x x x =-+-=--+ ， ∴对称轴为：x= 512-+ =-2， 把x=-2代入 ()()4519y x x =-+- 得：y=4， ∴顶点 ()2,4D - .（2）设点 241620,999P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则 241620999PE m m =--+ ， ()2242PG m m =--=-- ， 矩形 PEFG 的周长 ()2416202242999PE PG m m m ⎛⎫=+=--+-- ⎪⎝⎭ 28172259418m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ， ∵809-< ， ∴当 174m =-时，矩形 PEFG 周长最大，此时，点 P 的横坐标为 174- . （3）∵点D 为抛物线顶点，A 、B 为抛物线与x 轴的交点， ∴AD=BD ，∴∠DAB=∠DBA ，∵DMN DBA ∠=∠ ， 180BMD BDM DBA ∠+∠=-∠ ， 180NMA DMB DMN ∠+∠=-∠ ， ∴NMA MDB ∠=∠ ，∴BDM AMN ∆~∆ ， ∴AN AM BM BD= ， ∵D （-2，4），A （-5，0），B （1，0）∴6AB = ， 5AD BD === ， ①当 MN DM = 时，∵∠NAM=∠MBD ，∠NMA=∠MBD ， ∴BDM AMN ∆≅∆ ，∴5AM BD == ，∴AN MB = =AB-AM=1；②当 NM DN = 时，则 NDM NMD ∠=∠ ， ∵∠DMN=∠DBA ，∴∠NDM=∠DBA ，∵∠DAB 是公共角，∴AMD ADB ∆~∆ ， ∴AD AM AB AD= ， ∴2AD AB AM =⨯ ，即： 256AM =⨯ ， ∴256AM = ，∵AN AM BM BD = ，即 25625566AN =- ， ∴5536AN = ； ③当 DN DM = 时，∵DNM DAB ∠>∠ ，而 DAB DMN ∠=∠ ， ∴DNM DMN ∠>∠ ，∴DN DM ≠ ；综上所述： 1AN = 或 5536 .。
九年级数学相似三角形提高题(含答案)
类似三角形题之相礼和热创作一、选择填空题1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,假如∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ） °°°°2、如图，在矩形ABCDAE BD ⊥，垂足为点O 3.如图，在ABC △中，P 是AC上一点，连结BP ，要使ABP ACB △∽△，则必须有ABP ∠=或APB ∠=或ABAP =．4、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 类似. 5．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE与对角线AC 相交于点M ，则MCAM 的值是________．6．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是Ａ．43Ｂ．23Ｃ．21Ｄ．327、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.图4 图6 图78、如下图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（暗影部分）与ABC △类似的是（ ）9．如图，四边形ABCD 是矩形，DH ⊥AC ，假如AH=9cm ，CH=4cm ，那么ABCD S 四边形=（ ）A ．752cm B ．762cm C ．772cm D ．782cm图9 图10图11 10、如图，DE 是ABC△的中位线，M 是DE 的中点，A B C D O图1ＡＰＢP QCAHDCBAＡN DBCE MCM的延伸线交AB 于点N ，则:DMN CEM S S △△等于（ ）Ａ．1:2Ｂ．1:3Ｃ．1:4Ｄ．1:511．如图，△ABC 中，PQ ∥BC ，若3=∆APQ S ，6=∆PQ B S ，则=∆cQ B S （ ） A ．10 B ．16 C ．9 D ．1812、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 213、已知ABC DEF △∽△，类似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．5414、如图，线段AB 、CD 相交于E ，AD EF BC ∥∥，若12AE EB =∶∶，1ADES=，则AEFS等于 （ ）Ａ．4 Ｂ．23Ｃ．2Ｄ．4315、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中暗影部分的面积是 △ABC 的面积的 （ ） Ａ．91Ｂ．92Ｃ．31Ｄ．94图12图1416、在同一时候，身高 1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）A 、4.8米B 、6.4米C 、9.6米D 、10米641=OA ，则71A A 的长为________．A 13A 12A 11A 10A 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1BACDE（（第15题图）B C二．解答题1.如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC上，假如AB ＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长.2、如图，在中,过点B 作BE ⊥CD,垂足为E,连结AE,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD ；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF 的长.3、把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延伸线交BE 于点F ． 问AF 与BE 能否垂直？并阐明理由．4、如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 为线上点,且满足AB 2=DB ·CE.（1）求证:△BAC=40°，求∠DAE 的度数.5.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE （不含B 点）上恣意一点，将BM 绕点B EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并阐明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长. 参考答案1、B2、23、ABAC4、552或555、58或1186、D7、55128、A9、DACEFD第2题图B变式1图 P N MC BA10、C 11、D 12、B 13、C 14、B 15、C 16、C 17、91解答题1、352、AE=338BF=3233、略4、垂直.DCA类似于ECB5、110°。
初三相似三角形复习提高(含答案)
③定理:如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
4.相似三角形的判定:
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
③三边对应成比例,两三角形相似
同理:△AＣD∽△ＡDF
可得：AD２=AF·AC
∴AE·AＢ=AＦ·AC
例七：在△ＡDＣ和△BAＣ中
∵∠CAD＝∠B，∠C=∠C
∴△ＡDC∽△ＢAＣ
又∵AD=6，AD=8,BD=７
解得：DC＝9
例八：在矩形ABCD中,AＤ=BC,
∠ADC=∠BCE=9０°
又∵E是ＣD的中点，∴DE＝CE
∴Rt△ADE≌Rt△BＣE
∴ＡE＝BＥ
∵FG∥AB
∴ＡG＝ＢF
在Ｒｔ△ABＣ中，ＢF⊥AＣ于Ｆ
∴Rt△BＦC≌Ｒt△AFB
∴BF2=AF·FC
∴AG２=AＦ·ＦC
例九:延长BA、CＤ交于点P
∵CH⊥ＡB，ＣＤ平分∠BCD
∴CＢ=CP，且ＢH=PH
∵BＨ=3AH
∴PA:ＡB＝1：２
∴PA:PB=１:３
∵AD∥BC
∴△PAD∽△PBＣ
例5.已知:如图,梯形ABCD中，AD∥BC,AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于Ｅ，交CD于F
求证：OE=OＦ
例6．已知：如图，△ＡBＣ中,AD⊥BＣ于Ｄ,DE⊥AB于Ｅ，ＤF⊥AC于F
分析：观察AE、ＡF、AC、AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代
初三相似三角形提高拓展专题练习附答案
14．〔1〕把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线
交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE
〔2〕把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线交 BE
于点 F，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.
2
________________．
12. 将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．AB
A
பைடு நூலகம்
B
＝AC＝3，
设以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长度是．
D
F
E BC＝4，假
C
13．如图，
正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影局部的 面积是 cm2． 三、解答题
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，
A
菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边
M
N
B AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则以下表达正确的选
O
D
项是
C
〔〕
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形
A．8
B．9.5
C．10
D．11.5
A
D
G
二、填空题 B
E
C
8．如图，路灯距离地面 8 米F ，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部〔点 O 〕20 米的 A 处，则小明
初三数学中考复习三角形相似的条件专项复习训练题含答案
2019 初三数学中考复习三角形相像的条件专项复习训练题1.如图，在 ? ABCD 中，点 E 在 BA 的延伸线上， EC 交 AD 于点 F，则图中相似三角形有 ()A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对2.如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD⊥AB 于点 D，则图中相像三角形共有()A．4 对B．3 对C．2 对D．1 对3. 以下各组图形中有可能不相像的是()A．有一个锐角相等的两直角三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．有一个角相等的两等腰三角形D．两个等腰直角三角形4.如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延伸线等于点E，在不增添协助线的状况下，与△AEF 相像的三角形有 ()A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个5. 如图，△ ABC 中， DE∥BC， DE＝1，AD＝2，DB＝3，则 BC 的长是 ()13A. 2B.257C.2D.26. 在△ ABC 和△ DEF 中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠D＝40°，∠E＝80°，则△ ABC∽△ DEF，这两个三角形相像的依据是_______________________________.7．如图，在△ ABC 中，∠ C＝90°，D 是 AC 上一点， DE⊥AB 于点 E.若 AC ＝8，BC＝6，DE＝3，则 AD 的长为 ___.8.如图，△ ABC 中， D 为 BC 上一点，∠ BAD ＝∠ C，AB ＝6，BD＝4，则 CD 的长为 ____.9.如图，在 ? ABCD 中， F E， BP∥ DF，且与 AD 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延伸线订交于点订交于点 P，请从图中找出一组相像的三角形______________.10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，CD⊥AB 于点 D， CD＝2，BD＝1，则AD的长是.11．如图， Rt△ABC 中，∠ ABC ＝90°，DE 垂直均分 AC，垂足为 O，AD∥B C，且 AB ＝3，BC＝ 4，则 AD 的长为 _____.12.如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠ C＝54°，∠ A＝47°，∠ F＝54°，∠ E＝79°.求证：△ ABC ∽△ DEF.13. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC，BD＝CD，CE⊥AB 于 E.求证：△ ABD ∽△CBE.14.如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF⊥AE 于 F，试说明：△ABF ∽△ EAD.15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB ＝∠ ACB.AB AC(1)求证：AE＝AD；(2)若 AB ⊥AC ，AE∶EC＝1∶2，F 是 BC 的中点，求证：四边形 ABFD 是菱形．参照答案：1. C2. B3. C4. C5. C6.两角对应相等的两个三角形相像7. 58. 59.答案不独一，如：△ DCF∽△ EBF10. 42511.812.证明：在△ ABC 中，∠ B＝180°－∠ A－∠ C＝79°，在△ ABC 和△ DEF 中，∠B＝∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.∠C＝∠ F13.证明：在△ ABC 中， AB ＝AC，BD＝CD，∴ AD ⊥BC，∵ CE⊥AB ，∴∠ADB ＝∠ CEB＝90°，又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABD ∽△ CBE.14.证明：∵矩形 ABCD 中， AB ∥CD，∴∠ BAF ＝∠ AED ，∵ BF⊥AE，∴∠AFB ＝90°，∴∠ AFB ＝∠ D＝90°，∴△ ABF ∽△ EAD.15.证明： (1) ∵AB ＝AD ，∴∠ ADB ＝∠ ABE ，∵∠ ADB ＝∠ ACB ，∴∠ ABEAB AC＝∠ ACB ，又∵∠ BAE ＝∠ CAB ，∴△ ABE ∽△ ACB ，∴AE＝AB，又∵ AB ＝AB ACAD ，∴AE＝AD；(2)设 AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴ EC＝ 2x，由(1)得 AB 2＝AE·AC，∴ AB ＝ 3 x，又∵ BA ⊥AC，∴ BC＝2 3x，∴∠ ACB ＝30°，又∵ F 是 BC 的中点，∴ BF ＝ 3x，∴ BF＝AB ＝AD ，又∵∠ ADB ＝∠ ACB ＝∠ ABD ，∴∠ ADB ＝∠ CBD＝ 30°，∴ AD ∥BF，∴四边形A BFD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABFD 是菱形．。
4.3 相似三角形 浙教版数学九年级上册素养提升卷(含解析)
4.3 相似三角形基础过关全练知识点1 相似三角形1.已知△ABC∽△DEF,相似比为2,则下列说法正确的是( )A.∠A是∠D的2倍 B.∠D是∠A的2倍C.AB是DE的2倍 D.DE是AB的2倍2.若△ABC∽△A'B'C',且ABA′B′=23,则△A'B'C'与△ABC的相似比为 ;若△ABC≌△A'B'C',则△A'B'C'与△ABC的相似比为 .知识点2 相似三角形的性质3.(2022甘肃兰州中考)已知△ABC∽△DEF,ABDE =12,若BC=2,则EF=()( )A.4B.6C.8D.164.如图,在正方形网格中,△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上,△ABC∽△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2023浙江舟山定海期中)如图所示,∠ACB=∠ADC=90°,AB=5,AC=4,若△ABC∽△ACD,则AD= .6.【教材变式·P129课内练习T1】如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30 cm,AD=18 cm,BC=20 cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.(1)求∠ADE和∠AED的度数;(2)求DE的长.能力提升全练7.(2023浙江宁波江北期中,6,★☆☆)如图,△DEF∽△ABC,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的相似比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶18.【尺规作图】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,射线AP交边BC于点D,若△DAC∽△ABC,则∠B= °.()9.(2023浙江宁波鄞州月考,14,★★☆)D、E分别是△ABC中AB、AC 边上的点,且AD=4,BD=2,AC=8,若△ABC与△AED相似,则AE的长为 .10.【新独家原创】如图,二次函数y=ax2-6ax+4(a≠0)的图象与x轴交于P,Q两点,与y轴交于点C,连结PC、CQ,若△PCO∽△CQO,则点Q的坐标为 .11.【射影定理】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,且△ACD ∽△ABC∽△CBD.求证:(1)CD2=AD·BD;(2)AC2BC2=ADBD.12.如图,在△ABC 中,AB =4 cm ,AC =3 cm ,BC =6 cm ,D 是AC 上一点,AD =2 cm ,点P 从C 出发沿C →B →A 方向,以1 cm /s 的速度运动至点A 处,设运动时间为t s .(1)当P 在线段BC 上运动时,BP = ;当P 在线段AB 上运动时,BP = ;(请用含t 的代数式表示)(2)线段DP 将△ABC 分成两部分,当其中一部分与△ABC 相似时,求t 的值.素养探究全练13.【推理能力】(2022浙江绍兴中考)将一张以AB 为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ,其中∠A =90°,AB =9,BC =7,CD =6,AD =2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )A.252B.454C.10D.354答案全解全析基础过关全练1.C ∵△ABC∽△DEF,相似比为2,∴∠A=∠D,AB是DE的2倍,故选C.2.答案 32;1解析 △A'B'C'与△ABC的相似比=A′B′AB =32;两个相似三角形的相似比为1时,这两个三角形全等.3.A ∵△ABC∽△DEF,∴ABDE =BCEF,∵ABDE =12,BC=2,∴2EF=12,∴EF=4,故选A.4.B ∵△ABC∽△EDF,∴∠BAC=∠DEF=135°,∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°,故选B.5.答案 165解析 ∵△ABC∽△ACD,∴ABAC =ACAD,∵AB=5,AC=4,∴AD=AC2AB =165.6.解析 (1)∵∠BAC=75°,∠ABC=40°,∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-40°=65°,∵△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠ABC=40°,∠AED=∠C=65°. (2)∵△ABC∽△ADE,∴ABAD =BCDE,即3018=20DE,解得DE=12 cm.能力提升全练7.A ∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,∴DE∶AB=1∶2,∴△DEF与△ABC的相似比是1∶2.故选A.8.答案 30解析 由作图可知,AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B,∴∠CAB=2∠B,∵∠CAB+∠B=90°,∴3∠B=90°,∴∠B=30°.9.答案 3或163解析 当△AED∽△ABC时,AEAD+BD =ADAC,∵AD=4,BD=2,AC=8,∴AE4+2=48,∴AE=3.当△AED∽△ACB时,AEAC =ADAD+BD,∴AE8=44+2,∴AE=163.故AE的长为3或163.10.答案 (8,0)解析 对于y=ax2-6ax+4,令x=0,则y=4,∴C (0,4),∴OC =4.设点Q 的坐标为(c ,0),∵-b 2a =――6a 2a =3,∴由对称性可知点P 的坐标为(6-c ,0),∴OQ =c ,OP =|6-c |=c -6,∵△PCO ∽△CQO ,∴OP OC =OC OQ ,即c ―64=4c ,解得c 1=-2(舍去),c 2=8,∴点Q 的坐标为(8,0).11.证明 (1)∵△ACD ∽△CBD ,∴AD CD =CD BD ,∴CD 2=AD ·BD.(2)∵△ACD ∽△ABC ,∴AD AC =AC AB,即AC 2=AD ·AB ,同理可得,BC 2=BD ·BA ,∴AC 2BC 2=AD·AB BD·BA =AD BD.12.解析 (1)(6-t )cm ;(t -6)cm .(2)当P 在BC 上运动时,如图1,当△CPD ∽△CAB 时,CP CA =CD CB ,∴t 3=3―26,∴t =12;当△CDP'∽△CAB 时,CD CA =CP′CB ,∴3―23=t 6,∴t =2.当P 在AB 上运动时,如图2,当△ADP ∽△ACB 时,AP AB =AD AC ,∴10―t 4=23,∴t =223;当△ADP'∽△ABC时,AP′AC =AD AB ,∴10―t 3=24,∴t =172.综上所述,t 的值为12或2或223或172.素养探究全练13.A 连接BD (图略),则BD 2=AD 2+AB 2=22+92=85,∵DC 2+BC 2=62+72=85=BD 2,∴∠C =90°.如图1所示,则∠ECB =90°,由已知可得,△DFE ∽△ECB ,则DF EC =FE CB =DE EB ,设DF =x ,CE =y ,则x y =97=6+y2+x ,解得x =274,y =214,∴DE =CD +CE =6+214=454,EB =DF +AD =274+2=354,故选项B 、D 不符合题意.如图2所示,则∠FCD =90°,由已知可得,△DCF ∽△FEB ,则DC FE =CF EB =DF FB ,设FC =m ,FD =n ,则69=mn +2=nm +7,解得m =8,n =10,∴FD =10,BF =FC +BC =8+7=15,故选项C 不符合题意.如图3所示,图3此时两个直角三角形的斜边长为6和7.故选A .。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2相似三角形》同步培优提升训练题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2相似三角形》同步培优提升训练题（附答案）一．选择题1．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（）A．①B．②C．③D．④2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD 的长为（）A．2B．C．3D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BDC．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB4．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．255．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm26．如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D 作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（）A．B．4C．D．7．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）二．填空题8．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．9．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于．10．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP 的长为．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D 在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．12．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为．三．解答题13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．15．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．（1）求CD的长；（2）求证：△CDE∽△BDC．16．如图：在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．求证：BD•CD＝BE•CF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在AD上（不与点A，D重合），EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，设AE的长为x，DF的长为y，求y与x之间的函数表达式，并求函数y 的最大值．18．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．19．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．20．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE•PF．21．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF＝BC•DF．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（，）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：①、当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴①不符合题意；②、当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴②不符合题意；③、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A∴△APC∽△ACB，∴③不符合题意；④、∵当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠P AC＝∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④符合题意；故选：D．2．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∵BC＝3，BD＝2，∴＝，∴BA＝，∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；故选：D．4．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．5．解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．6．解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，∵AD＝AB＝5，AD⊥AB，∴∠B＝∠ADB＝45°，∵∠ADB＝∠CDF，CF⊥AD，∴∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴∠DCF＝∠CDF＝45°，∴CF＝DF，∵AD⊥DE，AF⊥FC，∴DE∥FC，∴△ADE∽△AFC，∴，∵AD＝5，DE＝2，DF＝CF，∴，∴，解得，CF＝，∴△ADC的面积是：＝＝，故选：D．7．解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（22020，﹣×22020），故选：C．二．填空题8．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△DCB∽△CAB，∴，∴＝，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝，故答案为：．9．解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝15，∴AD＝10，∵AC＝18，∴＝或＝，解得：AE＝12或．故答案为：12或．10．解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．11．解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DF A＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．12．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OB n＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，∵2021÷12＝168……5，∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos30°＝﹣×22020×＝﹣3×22019，故答案为：﹣3×22019．三．解答题13．（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED＝∠ADC＝90°，∴△AED∽△ADC．（2）解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝5，∵在Rt△ADB中∴AD＝＝12，由（1）得△AED∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠AEB，∴△ABE∽△DEF．（2）在Rt△AEB中，BE＝＝10，∵AD＝12，AE＝8，∴DE＝4，∵△ABE∽△DEF，∴＝∴＝，∴EF＝．15．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，∴AC＝＝12；∴AE＝AC﹣CE＝9，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴，∴CD＝＝＝2，（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝＝3，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴DE＝，∴BD＝4，∵，，∴，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC．16．证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴＝，即BD•CD＝BE•CF．17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵EF⊥BC，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，又∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∴，∴y＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，y有最大值为1．18．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°．∴∠AEB+∠ABE＝90°．∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°．∴∠ABE＝∠DEF．在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：∵△ABE∽△DEF，∴．∵△ABE∽△EBF，∴．∴．∴DE＝AE．∴点E为AD的中点．19．（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，∴∠BEC＝67.5°＝∠DEG，∴∠DGE＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，即BG⊥DF，∵∠BDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠F，∴BD＝BF，∴DF＝2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，∴＝，∴BG×EG＝DG×DG＝4，∴DG2＝4，∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4．20．证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），∴∠PCE＝∠PFC．又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF．∴（相似三角形的对应边成比例）．∴PC2＝PE•PF．∵PC＝BP∴BP2＝PE•PF．21．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC+∠B＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ACD＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，∴∠FDC＝∠F AD，且∠F＝∠F，∴△FDC∽△F AD，∴＝，∴＝，∴AC•CF＝BC•DF．22．解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，∵AC＝20cm，∴CP＝（20﹣4t）cm，∵点P在AC上运动，∴4t≤20，∴t≤5，∵点Q在BC运动，∴2t≤15，∴t≤7.5，∴0≤t≤5，（1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm，在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）；（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2，∵PQ＝4，∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解得，t＝2或t＝6（舍去），即当t为2时，PQ的长度等于4；（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，∴①△CPQ∽△CAB，∴，∴，∴t＝3，②△CPQ∽△CBA，∴，∴，∴t＝，即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．23．解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），∴点P坐标为（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC＝4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，∴S＝（4﹣x）×＝﹣（x﹣2）2+，∴S的最大值为，此时x＝2（3）由图形知，S1＝S2＝S△ABC﹣S△PCN＝；当0＜x＜2时，S1＜S2；当x＝2时，S1＝S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP＝CP，∵PQ⊥BC，∴NQ＝CQ＝x．∴3x＝4，∴x＝．②若CP＝CN，则，CN＝4﹣x，PQ＝x，CP＝x，4﹣x＝x∴x＝．③若CN＝NP，则CN＝4﹣x．∵PQ＝x，NQ＝4﹣2x，在Rt△PNQ中，PN2＝NQ2+PQ2∴（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+（x）2，∴x＝．综上所述，x＝，或x＝，或x＝．。
浙教版九年级数学上册第四章相似三角形能力提升训练一及答案
第四章相似三角形单元培优训练（一）一. 选择题1.如图，A，B 两地被池塘分开，小明经过以下方法测出了 A. B 间的距离：先在 AB外选一点 C，而后测出 AC，BC的中点 M，N，并丈量出 MN的长为12m，由此他就知道了 A. B 间的距离.有关他此次研究活动的描述错误的选项是（）A. AB=24mB.MN//ABC.CMN∽CABD.CM :MA1: 2第1题第2题第3题2.如图，在△ ABC中， D. E 分别是 AB. BC上的点，且 DE∥AC，若 S BDE：S=1：4，则S：S=（）△△CDE△ BDE△ ACDA.1 ：16B. 1：18C.1：20D.1：243.在研究相似问题时，甲 . 乙同学的看法以下：甲：将边长为的三角形按图 1 的方式向外扩大，获得新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似.乙：将 3 和 5 的矩形按 2 的方式向外 ，获得新的矩形，它 的 距均1， 新矩形与原矩形不相似.于两人的 点，以下 法正确的选项是（ ）A. 两人都B. 两人都不C. 甲 ，乙不D. 甲不 ，乙4. 如 ， 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面 分 S 1 , S 2 ， S 1 S 2 的 （）A.16B.17C. 18D.195．如 ，已知直 l ： y3x ， 点（，）作y 的垂3A 01交直 l于点 B ， 点 B 作直 l 的垂 交 y 于点 A ；1点 A 1 作 y 的垂 交直 l 于点 B 1， 点 B 1 作直 l 的垂 交 y 于点A 2；⋯；按此作法 下去， 点 A 4 的坐（）A. （0，64）B. （0，128）C.（0，256）D.（0，512）第4题第5题第6题第8题6. 如 ，菱形 ABCD 中，点 M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB . 若NF= NM = 2 ，ME = 3 ， AN =（）A.3B.4C.5D.67．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为 30cm和 60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与三角形相似，要求以此中一根为一边，将另一根截成两段（同意有余料）作为别的两边 . 那么另两边的长度（单位： cm）分别为（）A.10，25B.10，36 或 12，36C.12，36D.10，25 或 12，368.如图， Rt△ABC中，∠ ACB=90°，∠ ABC=60°， BC=2cm，D为 BC的中点，若动点 E 以1cm/ s 的速度从 A 点出发，沿着A→B→A的方向运动，设 E点的运动时间为 t 秒（0≤t ＜6），连接 DE，当△ BDE是直角三角形时， t 的值为（）A.2或 3.5或 4.5 D.2或 3.5 或 4.59.已知：在△ ABC中， BC=10，BC边上的高 h=5，点 E 在边 AB 上，过点 E 作 EF∥BC，交 AC边于点 F.点 D为 BC上一点，连接 DE. DF.设点 E 到 BC的距离为 x，则△ DEF的面积 S关于 x 的函数图象大体为（）10.如图，∠ BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点 D. E 为 BC边上的两点，且∠ DAE=45°，连接 EF. BF，则以下结论：①△ AED≌△ AEF；②△ ABE∽△ ACD；222③BE+DC＞DE；④ BE+DC=DE，此中正确的有（）个 .A.1B.2C.3D.4二. 填空题11.如图，在?ABCD中，E在AB上，CE. BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=第11题第12题第 13题12.如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20米的 A处，则小明的影子 AM长为米.13.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，并且落在离网 4 米的地点上，则球拍击球的高度h为14.将一副三角尺以以下图叠放在一起，则的值是15.劳技课上小敏取出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他极点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为_____________第 14题第 16题第17题16. 如图，△ABC中，E. F分别是AB. AC上的两点，且，若△ AEF的面积为2，则四边形 EBCF的面积为17.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为2的正方形，极点 A. C分别在 x，y 轴的正半轴上.点 Q在对角线OB上，且 QO=OC，连接 CQ并延长 CQ交边 AB于点P.则点 P 的坐标为18.如图，正方形 ABCD中，过点 D 作 DP交 AC于点 M，交AB 于点 N，交 CB的延长线于点 P，若 MN=1，PN=4，则DM的长为第 18题第 19题1 ，，则第20题AD的长是19. 如图，在△ ABC中， DE∥BC，DE=4BCDB220.如图，在△ ABC中，AB=2，AC=4，将△ ABC绕点 C按逆时针方向旋转获得△ A′B′C，使 CB′∥ AB，分别延长 AB，CA′订交于点 D，则线段 BD的长为三. 解答题21.如图，□ABCD中，E是 CD的延长线上一点， BE与 AD交于点F，DE 1 CD.2（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为 2，求□ABCD的面积 .22.矩形 OABC的极点 A. C分别在x轴和y轴上，点 B 的坐标为4，6 ，双曲线y k( x0) 的图象经过BC的中点D，且于AB交x于点E.（1）求反比率函数分析式和E点坐标；（ 2）若F是OC上一点，且以∠ OAF和∠ CFD为对应角的△ FDC和△ AFO相似，求 F 点的坐标 .23. 如图，抛物线y ax2bx c a 0 与x轴交于点A1,0 ，B 3,0 两点，与 y 轴交于点C 0, 3 .（1）求该抛物线的分析式及极点 M的坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P 作射线 PQ∥AC交抛物线于点 Q，跟着 P 点的运动，在抛物线上能否存在这样的点Q，使以 A. P. Q. C为极点的四边形为平行四边形？若存在央求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原由.yxA O BCM参照答案一．选择题题号 12345678910答案D C A B C B D D D C三. 解答题21.解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ A＝∠ C，AB∥CD，∴∠ ABF＝∠ CEB，∴△ ABF∽△ CEB.⑵∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A D∥BC，AB∥CD，＝∴△ DEF∽△ CEB，△ DEF∽△ ABF，∵DE1CD,2∴SDEFDE S CEB EC∵S DEF2,∴S CEB 18,S221 ,SDEF DE 1 ,9SABF AB4ABF8,∴ S四边形BCDF S BCE S DEF16 ,∴ S四边形ABCD S四边形BCDF S ABF1682422. 解：（1）四边形ABCD是矩形，D是BC中点，B4,6∴D 2,6设反比率函数分析式为k∵k∴ k1212y6yx2x123∴ E4,3当 x 4 时，y4（2）设F 0, y∵∠ OAF=∠DFC△AOF∽△ FDC∴ OF CD即y2OA CF4 6 y∴ y2 6 y80 解得： y1 2y2 4∴F 0,2 或F 0,4SABC1 3 642SBCM:SABC3: 6 1: 2（3）存在①当 Q 点在 x 轴下方时，作 QE ⊥ x 轴于 E∵AC ∥PQ 且 AC =PQ∴OC =EQ =33 x 22x 3解得： x 1 0 （舍）x 2 2∴ Q 2, 3②当 Q 点在 x 轴上方时，作 QF ⊥ x 轴于 F∵ A C ∥PQ 且 AC =PQ ∴Rt △OAC ≌Rt △FPQ ∴OC =FQ =33 x 22x 3 解得： x 1 1 7x 2 17∴ Q 17,3或Q 1 7,3综上，满足条件的 Q 点为 2, 3 或 17,3或1 7,3。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形1．如图所示，在矩形MBCN中，点A是边MN的中点，MB=6cm，BC=16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t(s)(0<t< 10)，解答下列问题：（1）求证：△AMB≌△ANC；（2）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（3）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．（1）请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：（2）线段AO的长为．3．如图，在∽ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∽DAE=∽F.（1）求证：∽ABE∽∽ECF；（2）若AB=3，AD=7，BE=2，求FC的长.4．如图，已知：AD为∽ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE 和CF，E、F为垂足，过点E作EG∽AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P。
（1）求证：DE=DF（2）若BH:HC=11:5；①求：DF:DA的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形。
5．如图，在ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=3,AC=6,AE=4,AB=8.（1）如果BC=7，求线段DE的长；（2）设ΔDEC的面积为a，求ΔBDC的面积（用a的代数式表示）.6．如图，∽ABC内接于∽O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交∽O于点E，连接BE、CE．（1）求证：∽ABE∽∽CDE；（2）填空：①当∽ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE ＝6，EF＝4，DE的长为．7．如图，在直角坐标系中，直线y=−2x+4分别交x轴，y轴于点E，F，交直线y=x于点P，过线段OP上点A作x轴，y轴的平行线分别交y轴于点C，直线EF 于点B.（1）求点P的坐标.（2）当AC=AB时，求点P到线段AB的距离.8．如图，Rt∽ABC中，∽ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∽BPQ与∽ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ∽CP，求t的值．9．已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∽BAD.（1）如图1，求证：BC=CD;（2）如图1，若AD+AB= √2AC，四边形ABCD的面积为8，求AC的值；（3）如图2，连接BD，把∽ABD沿着BD翻折得到∽FBD，延长CF、AD交于点G, 若CG//BD, AD=2，求CG的长．10．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∽ABC 中，点O 在线段BC 上，∽BAO ＝20°，∽OAC ＝80°，AO ＝ 6√3 ，BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B 作BD∽AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造∽ABD 就可以解决问题（如图2），请回答：∽ADB ＝ °，AB ＝ ． （2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC∽AD ，AO ＝6 √3 ，∽ABC ＝∽ACB ＝75°，BO ：OD ＝1：3，求DC 的长．11．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∽BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：OC∽AD ；（2）如图2，若DE ＝DF ，求AE AF的值； （3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE DF的值． 12．如图，在Rt∽ACB 中，∽C ＝90°，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t(s)(0<t <2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在PQ 垂直平分线上？（2）当t为何值时，∽APQ为直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt∽ACB的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．13．如图，在直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与∽ADP相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；（3）设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．14．如图，AC、BD为∽O的直径，且AC∽BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交∽O于M、N．（1）比较大小：cos∽OPQ sin∽OQP；（2）请你判断MP−NP与OP·cos∽OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∽APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝√3−1，在Q点的移动过程中，1+√m+nMPMK−cMK恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．15．如图，AB是∽O的直径，点C在∽O上，CD与∽O相切，AD∽BC，连结OD，AC．（1）求证：∽B=∽DCA；，OD= 3√6，求∽O的半径长．（2）若tanB= √5216．如图，∽O的弦AC与BD互相垂直于点E，OA交ED于点F．（1）如图（1），求证：∽BAC＝∽OAD；（2）如图（2），当AC＝CD时，求证：AB＝BF；（3）如图（3），在（2）的条件下，点P，Q在CD上，点P为CQ中点，∽POQ＝∽OFD，DF＝EC，DQ＝6，求AB的长．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵四边形MBCN是矩形，∴∠M=∠N=90°，MB=NC又∵点A是边MN的中点，∴AM=AN∴△AMB≌△ANC（2）解：分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G，如图：∴DF//AG，DFAG=BDAB∵△AMB≌△ANC∴AB=AC，∵MB=6 ，BC=16∴BG=8 ， ∴AG=6∴∴AB=AC=10∵AD=BE=t ，∴BD=10−t ，∴DF6=10−t10解得DF＝35(10−t)∵S△BDE＝12BE⋅DF＝7.5∴35(10−t)⋅t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（3）解：存在．理由如下：①当BE=DE时，△BDE∽△BCA，BE AB=BDBC即t10=10−t16，解得t=5013，②当BD=DE时，△BDE∽△BAC，BE BC=BDAB即t16=10−t10，解得 t =8013． 答：存在时间t 为 5013或 8013 秒时，使得 △BDE 与 △ABC 相似． 2．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD ，由格点图可得BD∽AC ，∴△AOC ∽△BOD ，（2）3√223．【答案】（1）证明：如图.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∽CD ，AD∽BC.∴∽B=∽ECF ，∽DAE=∽AEB.又∵∽DAE=∽F ，∴∽AEB=∽F.∴∽ABE∽∽ECF.（2）解：∵∽ABE∽∽ECF ，∴AB EC =BE CF∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=8.∴EC=BC − BE=8 − 2="6."∴56=2CF. ∴CF =125. 4．【答案】（1）证明：∵AD 是∽ABC 的中线，∴BD ＝CD ， ∵∽FDC 和∽EDB 是对顶角，∴∽FDC ＝∽EDB ，又∵BE∽AE ，CF∽AE ，∴∽DFC ＝∽DEB ＝90°， ∴∽BDE∽∽CDF （AAS ），∴DE=DF（2）解：设 BH =11x,HC =5x 则 BD =CD =12BC =8x DH =3x,HC =5x①∵EH∽AB∴∽EDH∽∽ADB ∴DE DA =DH DB =38∵DE =DF ∴DF DA =38②∵DF DA =38∴DF FA =35∵DH HC =35∴FH∽AC ∴PH∽AC ∵EG∽AB ∴四边形HGAP 为平行四边形 5．【答案】（1）解：∵AD =3,AC =6,AE =4,AB =8 , ∴AD AC =AE AB =12, ∵∽A=∽A,∴∽ADE∽ACB,∴DE BC =12, ∵BC =7∴DE= 72（2）解：∵AE EC =46−4=2 ∴S △ADE S △EDC=AE EC =2 , ∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a∵∽ADE∽ACB∴S △ADE S △ACB =(12)2 , ∴2a S △BDC +a+2a=14 ， ∴S △BDE =5a .6．【答案】（1）证明：∵AB=AC ，CD=CA ， ∴∽ABC=∽ACB ，AB=CD ，∵四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∽ECD=∽BAE ，∽CED=∽ABC ，∵∽ABC=∽ACB=∽AEB ，∴∽CED=∽AEB ，∴∽ABE∽∽CDE （AAS ）；（2）60°；97．【答案】（1）解：解 {y =−2x +4y =x 得， {x =43y =43，∴ 点P 的坐标为 (43,43) ； （2）解： ∵ 直线 y =−2x +4 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ， ∴E(2,0) ， F(0, 4)，∴OE =2 ， OF =4 ， 延长BA 交x 轴于D ，设 A(a,a) ，∴AC =AB =a ，∵ 点A 在直线OP 上，∴AC =AD =a ，∴BD =2a ，∵BD//OF ，∴△EDB ∽ △EFO ，∴DE OE =BD OF， ∴2−a 2=2a 4 ， ∴a =1 ，∴ 点P 到线段AB 的距离 =43−1=13 . 8．【答案】（1）解：根据勾股定理得：BA= √62+82 分两种情况讨论：①当∽BPQ∽∽BAC 时， BP BA =BQ BC ， ∵BP=5t ，QC=4t ，AB=10，BC=8，∴5t 10=8−4t 8，解得，t=1， ②当∽BPQ∽∽BCA 时， BP BC =BQ BA， ∴5t 8=8−4t 10，解得，t= 3241 ； ∴t=1或 3241时，∽BPQ∽∽BCA （2）解：过P 作PM∽BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，如图所示：则PB=5t ，PM=3t ，MC=8﹣4t ，∵∽NAC+∽NCA=90°，∽PCM+∽NCA=90°，∴∽NAC=∽PCM ，∵∽ACQ=∽PMC ，∴∽ACQ∽∽CMP ，∴AC CM =CQ MP， ∴68−4t =4t 3t ，解得t= 78．9．【答案】（1）证明：如图1，∵AC 平分∽BAD ，∴∽BAC ＝∽DAC ，∴BD =CD∴BC ＝CD ．（2）解：如图所示，延长AB 至点E ，使BE ＝AD ，连接EC ，∵四边形BACD 为圆的内接四边形，∴∽ABC+∽ADC ＝180°，∴∽EBC ＝∽ADC ，∵BC ＝CD ，∴∽ACD∽∽ECB （SAS ），∴EC ＝AC ，∵AD+AB ＝ √2 AC ，∴AE ＝ √2 AC ＝ √2 EC ，∴AC 2+EC 2＝AE 2，∴∽ECA ＝90°，∴S ⊿ACE = 12AC 2 =8， ∴AC=4．（3）解：∵∽ADB ＝∽FDB ，CF∽BD ，∴∽DFG ＝∽BDF ，∽G ＝∽BDA ，∴∽DFG ＝∽G ，∴AD ＝DF ＝DG ，∵AD ＝2，∴DF ＝DG ＝2，∴D 为AG 的中点，∵∽DCG ＝∽BDC ，∽BDC ＝∽BAC ＝∽CAG ，∴∽DCG ＝∽CAG ，又∵∽G ＝∽CGA ，∴∽DCG∽∽ACG ，∴DG CG =CG AG ,即 2CG =CG 4, ∴CG ＝2 √2 ．10．【答案】（1）80；8 √3（2）解：过点B 作BE∽AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∽AD ，BE∽AD ，∴∽DAC ＝∽BEA ＝90°，∵∽AOD ＝∽EOB ，∴∽AOD∽∽EOB ，∴BO OD =EO AO =BE DA∵BO ：OD ＝1：3，∴EO AO =BE DA =13∵AO ＝6 √3 ，∴EO ＝ 13AO ＝2 √3 ， ∴AE ＝AO+EO ＝6 √3 +2 √3 ＝8 √3 ，∵∽ABC ＝∽ACB ＝75°，∴∽BAC ＝30°，AB ＝AC ，∴AB ＝2BE ，在Rt∽AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（8 √3 ）2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∴AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∽CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝8 √13 ．11．【答案】（1）证明：∵AO ＝OD ，∴∽OAD ＝∽ADO ，∵OC 平分∽BOD ，∴∽DOC ＝∽COB ，又∵∽DOC+∽COB∽＝∽OAD+∽ADO ，∴∽ADO ＝∽DOC ，∴CO∽AD ；（2）解： ∵OA=OB=OC ，∴∽ADB=90°，∴∽AOD 和∽ABD 是等腰直角三角形，∴AD= √2AO ，∴AD AO =√2，∵DE=DF ，∴∽DFE=∽AED ，∵∽DFE=∽AFO ，∴∽AFO=∽AED ，∵∽AOF=∽ADE=90°，∴∽ADE∽∽AOF ，∴AE AF =AD AO = √2；（3）解：如图2，∵OD ＝OB ，∽BOC ＝∽DOC ，∴∽BOC∽∽DOC （SAS ），∴BC ＝CD ，设BC ＝CD ＝x ，CG ＝m ，则OG ＝2﹣m ，∵OB 2﹣OG 2＝BC 2﹣CG 2，∴4﹣（2﹣m ）2＝x 2﹣m 2，解得：m =14x 2 ，∴OG ＝2 −14x 2 ，∵OD ＝OB ，∽DOG ＝∽BOG ，∴G 为BD 的中点，又∵O 为AB 的中点，∴AD ＝2OG ＝4 −12x 2 ，∴四边形ABCD 的周长为2BC+AD+AB ＝2x+4 −12x 2+ 4 =−12x 2+ 2x+8=−12(x −2)2+ 10，∵−12< 0，∴x ＝2时，四边形ABCD 的周长有最大值为10．∴BC ＝2，∴∽BCO 为等边三角形，∴∽BOC ＝60°，∵OC∽AD ，∴∽DAC ＝∽COB ＝60°， ∴∽ADF ＝∽DOC ＝60°，∽DAE ＝30°，∴∽AFD ＝90°，∴DE DA =√33 ，DF =12DA ，∴DE DF =2√33 ．12．【答案】（1）解： ∵ 在 Rt △ACB 中，∽C=90°，AC =4cm ，BC =3cm ，∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5(cm)，由题意得：BP =tcm ，AQ =2tcm ，∴AP =AB −BP =(5−t)cm ，当点A 在PQ 垂直平分线上时，则AP =AQ ，即 5−t =2t ，解得t =53， ∴当t =53时，点A 在PQ 垂直平分线上． （2）解：①当∠AQP =90°时，∠A =∠A ，∠AQP =∠C =90°，∴△AQP ∼△ACB ，∴AQ AC =AP AB ，即2t 4=5−t 5，解得t =107； ②当∠APQ =90°时，∠A =∠A ，∠APQ =∠C =90°，∴△APQ ∼△ACB ，∴AP AC =AQ AB ，即5−t 4=2t 5，解得t =2513， ∴综上所述，当t 为107或2513时，△APQ 为直角三角形． （3）解：如图，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∼△ABC ，∴PH BC =AP AB，即PH 3=5−t 5， 解得PH =3−35t ， ∴y =12AQ ⋅PH =12×2t ⋅(3−35t)，即y =−35t 2+3t(0<t <2)， 若PQ 把△ABC 面积平分，则S ΔAPQ =12S ΔABC ， ∴−35t 2+3t =12×12×3×4， 解得 t =5±√52，∵0<t <2，∴t=5−√52， ∴存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的面积平分，此时t 的值为5−√52． 13．【答案】（1）解：解方程 x 2−12x +32=0 可得x=4或x=8， ∵OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程 x 2−12x +32=0 的两个实数根，且OB>OA ， ∴OA=4，OB=8， ∴A(0，4)，B(−8，0)， 设直线AB 解析式为y=kx+b ， ∴{−8k +b =0b =4，,解得 {k =12b =4，,∴直线AB 解析式为 y =12x +4； （2）解：∵四边形AOCD 为正方形， ∴AD=CD=OC=OA=4， ∴C(−4，0)， 在y =12x +4 中，令x=−4，可得y=2， ∴PC=PD=2， 设Q(x ，0)，则CQ=|x+4|， ∵以P 、C 、Q 为顶点的三角形与∽ADP 相似， ∴有∽PCQ∽∽PDA 和∽PCQ∽∽ADP 两种情况， ①当∽PCQ∽∽PDA 时，则有 PC PD =CQ AD ，即 22=|x+4|4，解得x=0或x=−8，此时Q 点坐标为(−8，0)或(0，0)； ②当∽PCQ∽∽ADP 时，则有 PC AD =CQ PD ， 即 24=|x+4|2，解得x=−3或x=−5，此时Q 点坐标为(−3，0)或(−5，0)； 综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为(−8，0)或(0，0)或(−3，0)或(−5，0)；（3）解：由题意可设M(0，y)， ∵A(0，4)，C(−4，0)， ∴AC =4√2， 当AC 为菱形的一边时，则有AC=AM ，即|y−4|= 4√2 ，解得y=4± 4√2 ，此时M 点坐标为 (0，4+4√2) 或 (0，4−4√2)； 当AC 为菱形的对角线时，则有MA=MC ，由题意可知此时M 点即为O 点，此时M 点坐标为(0，0)； 综上可知存在满足条件的M 点，其坐标为 (0，4+4√2) 或 (0，4−4√2) 或(0，0).14．【答案】（1）=（2）解：过点O 作OG ⊥MN ，交MN 于点G∴GM =GN∴MP −NP =(GM +GP)−(GN −GP)=2GP∵OG ⊥MN∴OP ⋅cos∠OPQ =OP ×GP OP=GP ∴MP −NP =2OP ⋅cos∠OPQ ；（3）解：点O 作OG ⊥MN ，交MN 于点G ，连接BN 、MD ，AP∵MQ ＝m·MP ，NQ=n·NP∴m +n=MQ MP +NQ NP=MP −PQ MP +NP −PQ NP=2+PQ(1NP −1MP) =2+PQ ×MP −NP NP ×MP根据（2）的结论，得MP −NP =2GP∴m +n =2+2PQ×GP NP×MP∵∠GPO =∠OPQ ，∠PGO =∠POQ =90°∴△PGO ∽△POQ∴GP OP =OP PQ ，即GP ×PQ =OP 2∵∠BNM =∠BDM ，∠BPN =∠MPD∴△BNP ∽△MDP∴NP DP =BP MP∵OB =OD =OA∴NP ×MP =BP ×DP =(OB −OP)(OD +OP)=OB 2−OP 2∵∽APO=60°∴tan∠APO=OAOP=√3∴OA=√3OP∴OB=√3OP∴NP×MP=OB2−OP2=2OP2∴m+n=2+2×PQ×GPNP×MP=2+2×OP22OP2=3；②实数c的最大值为2√2．15．【答案】（1）证明：连结OC．∵CD与∽O相切，OC为半径，∴∽2+∽3=90°，∵AB是∽O的直径，∴∽ACB=90°，∴∽1+∽B=90°，又∵OA=OC，∴∽1=∽2，∴∽3=∽B，即∽B=∽DCA．（2）解：∵AD∽BC，AB是∽O的直径，∴∽DAC=∽ACB=90°，∵∽1+∽B=90°，∽2+∽3=90°，∽1=∽2，∴∽B=∽3，∴∽ABC∽∽DCA，∴ACDC=BC AB，∵∽B的正切值为√52，设AC= √5k，BC=2k，则AB=3k，∴√5k DC=23，∴DC=3√5k2，在∽ODC 中，OD= 3√6 ，OC= 12 AB= 32k ， ∴(3√5k 2)2+(32k)2=(3√6)2 ， ∴解得：k=2，∴∽O 的半径长为3．16．【答案】（1）证明：如图1，延长AO 交∽O 于M ，连接DM ，则AM 是∽O 直径，∴∽ADM ＝90°，∴∽AMD+∽MAD ＝90°∵AC∽BD ，∴∽AEB ＝90°，∴∽BAC+∽ABD ＝90°，∵∽ABD ＝∽AMD ，∽AMD+∽MAD ＝90°，∴∽BAC ＝∽MAD ，即∽BAC ＝∽OAD ；（2）证明：如图2，由（1）可得，∽BAC ＝∽OAD ，∴∽BAC+∽CAO ＝∽OAD+∽CAO ，∴∽BAF ＝∽CAD ，∵∽ABD ＝∽ACD ，∴∽ABF∽∽ACD ，∴AB AC =BF CD， ∵AC ＝CD ，∴AB ＝BF ；（3）解：连接OC 、OD ，在线CA 上取Q 1，使得CQ 1＝DQ ＝6，连接QQ 1，OQ 1，线段QQ 1和线段O 交于点P 1，再过圆心O 作OO 1∽AC 于点O 1，如图：由（2）知：∽ABF∽∽ACD ，∴∽EFA ＝∽CDA ，∵∽CDA ＝∽EAD∴∽EAD ＝∽EFA ，又∵∽AEF ＝∽DEA ＝90°，∴∽EFA∽∽EAD ，∴EF AE =AE DE， ∵AC ＝CD ，EC ＝DF ，∴AE ＝AC ﹣EC ＝CD ﹣EC ＝CD ﹣DF ，∵DE ＝EF+DF ，∴EF CD−DF =CD−DF EF+DF， ∴（CD ﹣DF ）2＝EF （EF+DF ）①，∵∽CED ＝90°，∴CD 2＝EC 2+DE 2＝DF 2+（EF+DF ）2，∴（CD ﹣DF ）（CD+DF ）＝（EF+DF ）2②， 将②式除以①式得CD+DF CD−DF =EF+DF EF， ∵CD−DF+2DF CD−DF =1+2DF CD−DF ，EF+DF EF =1+DF EF ， ∴2DF CD−DF =DF EF ，∴2EF＝CD﹣DF，∴EF=CD−DF2，∴DE=EF+DF=CD−DF2+DF=CD+DF2，∴CD2=CE2+DE2=DF2+(CD+DF2)2∴5DF2+2CD⋅DF﹣3CD2=0，∴（5DF﹣3CD）•（DF+CD）＝0，∵DF+CD＞0，∴5DF﹣3CD＝0，∴DF=35CD，∴EF=CD−DF2=CD−35CD2=15CD，∴AE=AC−CE=CD−DF=CD−35CD=25CD，在Rt∽AEF中AF=√AE2+EF2=√(25CD)2+(15CD)2=√55CD，∵OO1∽AC，∴∽OO1A＝∽FEA＝90°，O1是AC的中点，∴EF∽OO1，O1A=12AC=12CD，∴AFOA=AEO1A，即√5OA CD=25CD12CD=45，∴OA=√54CD，∴OC=OD=OA=√54CD，∵∽POQ＝∽OFD，∽OFD＝∽EFA，∴∽POQ＝∽EFA，∵∽EAF+∽EFA＝90°，∽EAF＝∽CAO，∴∽CAO+∽POQ＝90°，∵AC＝CD，∴∽CAO＝∽OCA＝∽CDO＝∽OCD，∴∽OCD+∽POQ＝90°，∴∽COP+∽DOQ+∽CDO＝90°，∵OC＝OD，∽OCA＝∽CDO，CQ1＝DQ＝6，∴∽OCQ 1∽∽ODQ （SAS ），∴OQ 1＝OQ ，∽DOQ ＝∽COQ 1，∴∽COP+∽COQ 1+∽CDO ＝90°，∴∽POQ 1+∽OCD ＝90°，而∽OCD+∽POQ ＝90°，∴∽POQ ＝∽POQ 1，∴P 1Q 1＝P 1Q ，∵P 为CQ 中点，∴P 1P 是∽CQ 1Q 的中位线，∴P 1P∽CQ 1，∴∽POC ＝∽OCQ 1，∴∽POC ＝∽CAO ＝∽OCA ＝∽CDO ＝∽OCD ， ∴∽OPC∽∽DOC ，∴CP OC =OC CD， ∵CD ＝CQ+DQ ＝2CP+6，∴CP =CD−62， 又OC =√54CD ， ∴CD−62√54CD =√54CD CD ， 解得CD ＝16， ∴AE =25CD =325，DE =DF +EF =35CD +15CD =645 ∵∽BAC ＝∽BDC ，∽AEB ＝∽DEC ， ∴∽ABE∽∽DCE ，∴AB CD =AE DE ，即AB 16=325645， ∴AB ＝8．。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
九年级数学上相似三角形期末复习题及答案
相似三角形提优训练题一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE 于G，BG=，则△EFC的周长为（）2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）3．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）．C D．4．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）．C D．6．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）二．填空题（共10小题）12．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________cm．13．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．17．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．25．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．28．如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）29．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE 于点M．求证：①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC（）九年级数学《相似三角形》提优训练题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）BG=4=22．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）．C D．=，，=，=CD=CE=DE=．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）．C D．BC=AN=NM=MC=a）a a=6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=DB12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．BG=4=2===，=，，13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE 于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．CECE=14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 1.5米．=，=15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．，即=x=﹣+x+＜﹣最大，最大值是﹣（+×+=cm 故答案是：，17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．S=，∴；=；为对应边，且，∴=为对应边，且=，∴=，∴=．故答案为：或或18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．，继而证得AG=BF AC AC=AB=CBBCD=，DBE=，，ABAB AC19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）×=×=××=××=××=××=）（=，．故答案为：20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．=A AB=；A AB=；=故答案为：三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．A=中，=E===A=AB）A=25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．BE：=，BEAEH==BE28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）相似可得=，BF 相似可得=，然后整理得到（形对应边成比例可得=====BF得，==AP．×= MN=．29．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB 交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）∠。
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巩固练习参考答案
一、填空题：
1. 19：132. 243. 3；1：4
4. 65. 12
6.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如： 等。
7. 14.48.
二、选择题：
1. C2. D3. B4. D5. C
三、解答题：
1.解：∵AD∥EG∥BC
∴在△ABC中，有
在△ABD中，有
∵AE：AB=2：3
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
5.相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
求证：AG2=AF·FC
例9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
巩固练习
一、填空题：
1.已知 ，则 __________
∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90°
又∵∠CEA=∠AEF
∴△CEA∽△AEF
（2）∵△AEF∽△CEA
∴∠AFE=∠EAC
∵四边形ABEG是正方形
∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE
∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°
∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG
∴∠AFB+∠ACB=45°
例五：∵AD∥EF∥BC
∴OE=OF
从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：
这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。
例六：在△ABD和△ADE中，
∵∠ADB=∠AED=90°
∠BAD=∠DAE
∴△ABD∽△ADE
∴AD2=AE·AB
∴CE=EF
（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC
∴△CAE∽△DAC
∴
∴
在Rt△ACB中
∴
又∵CE=EF，EG∥BC
∴FG=GB
∴EG是△FBC的中位线
∴
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
【典型例题】
例1.（1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A、B两城市的距离是7.5厘米，那么A、B两城市的实际距离是__________千米。
（2）小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。
∴∠PDC=∠APB
∴△PDC∽△APB
设PC=x，则AB=BC=1+x
∴AB=1+x=3。
∴△ABC的边长为3。
例四：因为△AEF、△CEA有公共角∠AEF
故要证明△AEF∽△CEA
只需证明两个三角形中，夹∠AEF、∠CEA的两边对应成比例即可。
证明：（1）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形
2.若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm
3.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。
4.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4.相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
（1）求证：CE=EF
（2）求EG的长
答案：
例一：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。
（1）应填600（2）应填14.4。
例二：
故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截
例三：∵△ABC是等边三角形
∴∠C=∠B=60°
又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°
∠APB=∠1+∠C=∠1+60°
A. B. C. D.
3.已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：
① ②
③ ④
其中正确的比例式的个数是__________
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
4.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________
例5.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F
求证：OE=OF
例6.已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
分析：观察AE、AF、AC、AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代
同理：△ACD∽△ADF
可得：AD2=AF·AC
∴AE·AB=AF·AC
例七：在△ADC和△BAC中
∵∠CAD=∠B，∠C=∠C
∴△ADC∽△BAC
又∵AD=6，AD=8，BD=7
解得：DC=9
例八：在矩形ABCD中，AD=BC，
∠ADC=∠BCE=90°
又∵E是CD的中点，∴DE=CE
∴Rt△ADE≌Rt△BCE
5.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________
6.已知三个数1，2， ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________
二、选择题：
1.如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________
A. 9：16B. ：2
C. 3：4D. 3：7
2.在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2
2.如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，
求证：△ABC∽△CBD。
3.如图，BE为△ABC的外接圆O的直径，CD为△ABC的高，
求证：AC·BC=BE·CD
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB ，
∴AE=BE
∵FG∥AB
∴AG=BF
在Rt△ABC中，BF⊥AC于F
∴Rt△BFC≌Rt△AFB
∴BF2=AF·FC
∴AG2=AF·FC
例九：延长BA、CD交于点P
∵CH⊥AB，CD平分∠BCD
∴CB=CP，且BH=PH
∵BH=3AH
∴PA：AB=1：2
∴PA：PB=1：3
∵AD∥BC
∴△PAD∽△PBC
例7.如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。
分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。
例8.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，
∴DE=k，BE
∴
∴ ，
∴
∴△ABC∽△CBD
3.连结EC，
∵
∴∠E=∠A
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BCE=90°
又∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴△ADC∽△ECB
∴
即AC·BC=BE·CD
4.（1）∵AD平分∠CAB
∴∠CAE=∠FAE
又∵AE⊥CF
∴∠CEA=∠FEA=90°
又∵AE=AE
∴△ACE≌△AFE（ASA）
华贤书院教学过程补充表
知识要点：
1.比例线段的有关概念：
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2.比例性质：
3.平行线分线段成比例定理：
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
A. 16B. 14C. 16或14D. 16或9
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________
A.△AED∽△ACBB.△A
三、解答题：
1.如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。