函数的奇偶性教学设计讲义

函数的奇偶性教学设计
一、教材分析
1.教材的地位与作用
内容选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节；
函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性是函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用；
奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育都起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2.学情分析
学生已经学习了函数的单调性，对于研究函数性质的方法已经有了一定的了解。

尽管他们尚不知函数的奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对函数图象的特殊对称性已有一定的感性认识；
在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备了一定数学研究方法的感性认识；
高一学生具备了一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性还有待于提高；
高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

二、目标分析
1.知识与技能目标：
理解函数奇偶性的概念；
能利用定义判断函数的奇偶性。

2.过程与方法目标：
培养学生类比，观察,归纳概括的能力；
渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。

3.情感态度与价值观目标：
对数学研究的科学方法有进一步的感受；
体验数学研究的严谨性，感受数学的对称美。

三、重点与难点
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。

难点：函数奇偶性概念的探究与理解。

四、教法、学法
教法：
借助多媒体和几何画板软件；
以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式；
遵循研究函数性质的三步曲。

学法：
根据自主性和差异性原则；
以促进学生发展为出发点；
着眼于知识的形成和发展；
着眼于学生的学习体验。

五、教学过程
（一）情境导航、引入新课
复习提问：前面我们学习了函数的相关概念及函数的单调性，从函数图象上看，函数的单调性表现为逐渐上升或逐渐下降的趋势，除了这种特征外，我们还学习过函数图象的什么特征？
学生回答：初中学习过函数图象的对称性。

引入新课：现实生活中存在大量的对称现象，如美丽的蝴蝶，盛开的花朵，某些对称的建筑，等等。

那么我们现在正在学习的某些函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？今天，我们就从函数图象的对称性出发，研究函数的又一个重要性质——函数的奇偶性。

（二）构建概念、突破难点
考察下列两个函数：
x2
(1) (2)
思考1:这两个函数的图象有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？（学生分组讨论）
结论：函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当自变量x任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等，即 f(-x)=f(x)。

我们把这一类函数称为偶函数。

思考3:怎样定义偶函数？（学生讨论给出）
定义：函数f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有
f(-x)= f(x)，
那么称函数y=f(x)是偶函数。

概念辨析：下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－1) = f (1)，则函数 f (x)是偶函数．
（2）若f (－1) ≠ f (1)，则函数 f (x)不是偶函数．
（三）合作探究、类比发现
2
()
f x x
=()||
f x x
=
类比讨论偶函数的过程，共同完成探究函数 x x f =)(、
x
x f 1)(=
，回答下列问题：
f(x)=x
()f x x
=
1.请你仔细观察这两个函数图象，它们有什么共同特征？
2.请你观察函数值对应，描述它们是如何体现这些特征的呢？
3.你能尝试利用数学语言描述函数图象的这个特征吗？
4.你能给奇函数下一个定义吗？ 学生讨论完成以上问题。

（四）强化定义，深化内涵 对奇函数、偶函数定义的说明：
1.偶（奇）函数的实质就是自变量x 变为它的相反数-x 时，函数值不变（也变为相反数）。

根据函数的奇偶性，函数可划分为四类：偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。

非奇非偶函数，如：
既是奇函数又是偶函数的函数，如：
2．奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立； 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立。

3．奇、偶函数图象及性质：
性质：偶函数的定义域关于原点对称。

思考4:函数]2,1[,)(2-∈=x x x f 是偶函数吗？（不是）
偶函数的图象特征：
x 2
由定义可知，如果一个函数是偶函数,则它的图象关于y 轴对称。

反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数。

性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

你能类比说出奇函数的图象特征及其性质吗？（小组合作，类比探究）
结论：奇函数定义域关于原点对称； 奇函数图象关于原点对称；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。

如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

判定函数奇偶性基本方法: ① 定义法:
先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系。

②图象法:
看图象是否关于原点或y 轴对称。

（五）讲练结合，巩固新知
例1 判断下列函数的奇偶性（你能口答吗？）。

1.R x x y ∈+-=,32； 2.||)(x x x f -=；
3.52+-=x y ；
4. 2)(x x f =,x ∈{-2,-1,0,1,3}；
5.y=0,x ∈[-2,2]；
6.x
x
x x f -+-=11)
1()(； 7.2211)(x x x f --=。

例2、证明函数⎩⎨⎧>-<+).
0();
0(2
2x x x x x x 是奇函数。

（小组合作探究）：已知y=f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，
1)(2++=x x x f ，求函数的表达式。

练习：利用定义判断下列函数的奇偶性。

（六）课时小结，知识建构
x
x x f 1)()1(-
=1)()2(2+-=x x f x
x x f +=2)()4(0
)()3(=x f
判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
一看——二找——三判断。

注意：若可以作出函数的图象，则直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称；函数的奇偶性可以简化函数图象的作图步骤。

（七）布置作业，回归拓展
层次一：教材第39页，习题1-3A组，第6题；
层次二：教材第39页，习题1-3B组，第3题；
层次三：补充题
设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1,求x<0时，f(x)的解析式。

六、板书设计
§1.3.2函数的奇偶性
一、奇偶函数的定义二、函数奇偶性的判断
三、例题讲解四、课堂小结
七、课后反思。