4.1.1圆的标准方程(优质课)

知识点一：圆的标准方程
标准方程
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
A
圆心A(a,b),半径r
问题:圆的标准方程有什么特征?
特别地 ,若圆心为 O （ 0，0），则圆的方程为 ： （ 1）有两个变量 x、 y ，且系数都为 1；
（2）有a、b、r三个参数； x2 y 2 r 2
小结
1.圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
（圆心A(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法 ②几何法
4.1.1 圆的标准方程
y
沂南一中
张宝霞
O
A
x
r
学习目标
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。
2、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
3、能准确判断点与圆的位置关系。
生活中的圆
复习引入
复习引入
问题一：什么是圆？初中是怎样给圆下定义 的？
探究新知
应用举例
平面内与定点距离等于定长的点的集合是 圆。 问题二：在平面直角坐标系中，两点确定一 条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线， 如何确定一个圆呢？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M ( 5 , 7 ) ，N ( 5 , 1) 是否在这个圆上。 解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
( x 2) ( y 3) 25
2 2
2 2 ( x 2 ) ( y 3 ) 25 M ( 5 , 7 ) 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 M 的坐标适合圆的方程，所以点
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0 a 3 2 2 2 (1 a ) (1 b) r b 2 (2 a ) 2 (2 b) 2 r 2 r 5
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a) ( y b) r
2 2
2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
2 2 2 2( 2b 5 a ) ( 1 ) r a 10a 25 b 2b 1 r 2 32 4a 2 8b 20 2 2 2 2 14 a b b 6) b 9r r ( 7 a ) 49 ( 3 a 102 a 10 a 2 2 b 10 0 2 64 2r2 4 a 4 b 16 b (2a) (8b) r
x 2
y 3 25
2
跟踪练习
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 解:∵A(1,1),B(2,-2) 3 1
线段AB的中点D的坐标( 2 , 2 ),
k AB 2 1 3 2 1
a 2, b 3, r 5.
2
所求圆的方程为 ( x 2) ( y 3) 25
2
求圆的方程常用待定系数法。用待定 系数法求圆的步骤：
1.设出标准方程； 2.根据条件列出关于a、b、r 的方程组； 3.解出a、b、r ，代入标准方程。
4
解法二：
因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段 AB的中点的坐标为(6,-1)，直线
y
A(1,1)
线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是 1 1 3 y (x ) 即 x 3y 3 0 2 3 2 x 3y 3 0 x 3, 解方程组 得 y 2. x y 1 0
x O C D B(2,-2)
圆心C的坐标是
课堂小结
课后作业
探究新知
问题三：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？ 设点M (x,y)为圆A上任一点，由定义知|MA|= r。 圆上所有点的集合 P = { M | |MA| = r }
y
M(x,y)
O
( x a ) ( y b) r
2 2
A
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
(3,2)
2 2 r | AC | ( 1 3 ) ( 1 2 ) 5 圆的半径长
所以圆的标准方程
( x 3) ( y 2) 25
2 2
跟踪练习
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 2 2 2 解2:设圆C的方程为 ( x a) ( y b) r ,
8 0 x 2 y几何法 标是方程组 x y 1 0 的解
-12 -14 -16 2 x 解得： y 3 即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA
2 5
2
2
3 1 5
2
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
即：
x y 1 0
（3）方程的右边一定是正数。
应用举例 1.说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3.
(2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7. (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3). 2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) ( x-2)2 + (y+5)2 = 49 (3) (x a)2 + y 2 = m2 （m≠0）
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆外 几何法 |OM| > r 代数法
(x0-a)2+(y0b)2>r2
|OM|<r
(x0-a)2+(y0b)2<r2
跟踪练习
已知三点A(3,2)、B(5,-3)、C(-1,3)， 以点P(2,-1）为圆心作一个圆，使A、B、 C三点中的一点在圆外，一点在圆内，一 点在圆上，求这个圆的方程。
-15 -10 -5
2
A
5 10
-2
O E C
D B
1 3 2 57 因此线段AB的垂直平分线 l1 的方 程是： 1
AB的斜率 k AB
l1
Βιβλιοθήκη Baidu-4
-6
-8
l2
y 1
2
x 6
△ABC的外接圆的圆心O的坐
-10
即：
x 2y 8 0
因为B(7,-3)和C(2,-8) ，所以线 段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)， 直线BC的斜率 k BC 3 8 1 72 因此线段BC的垂直平分线 l2 的方 程是： y 5.5 1 x 4.5
M在这个圆上；
把点 N ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点 N 的坐标不适合圆的方程，所以点 N 不 在这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点M（x0，y0） 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系？ M M M O O O 点在圆内 点在圆上 |OM|=r