数值计算及其不确定性问题(简化)
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计算器作辅助计算1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差*r e ≤-31104⨯。
2。
01(),(),,()n l x l x l x 是以01,,,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则(1)()nn kk k xl x =-=∑(1).n x -3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，13-.4。
利用Simpson 公式求⎰212dx x =7.35. 设求积公式10()d (),(1)nk k k f x x A f x n ≈≥∑⎰=是Gauss 型求积公式,则3nk k k A x ==∑1.46. 数值微分公式(2)(2)()i i i f x h f x h f x h+≈--'的截断误差为2().O h7。
设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 的谱半径()A ρ=1,A 的条件数1cond ()A =4。
8。
用牛顿下山法求解方程303x x -=根的迭代公式是 2133(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是1()().n n f x f x +<9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ<B10. 应用幂法迭代公式(+1)()k k A x =x 当k 充分大时有p q ≈()(1)()，k+2k+k x x x ++0 则A 的按模最大的特征值 1,2λ=11。
设数据12,x x 的绝对误差分别为0。
005和0.002，则12x x -的绝对误差约为（ D )A. 0。
005 B 。
0。
002 C. 0。
003 D 。
0.00712. 对于多项式2012()n n n P x a a x a x a x =++++在某点0x 处函数值的秦九韶算法基于如下公式：0121()(((())))n n n P x a x a x a x x a a x -=+++++算法计算的始点为n a ，而这一算法的优点在于（ C ）A. 精度高 B 。
数值计算及其不确定性问题(简化)总结
本课程的基本目的，是使学生通过学习和实验，初步建 立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念，为 进一步深入的学习打下坚实的基础。
数值分析
数值分析
数值计算与误差分析
第一节 数值算法
第二节 数值计算的误差分析 第三节 常用数学软件工具
xi=Di/D
(i=1,…,n)
这里,Di是指D中第i列元素用右端（b1,… bn）代替构成的行 列式。
数值分析
数值分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
6 1 0.1667 0.0000334 6
就是舍入误差。
数值分析
数值分析
二、截断误差分析
例1：(截断误差)
x
1 2 1 3 1 n 已知e 1 x x x x 2! 3! n! 求e 1的近似值，并估计误差。
,
解：利用展开式的前三项，取n=2，
由Taylor公式：f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n 1 n! ( n 1)!
0.001253 10 , 0.000068 10
6
6
数值分析
数值分析
数值计算中的误差分析与修正
数值计算中的误差分析与修正在数值计算过程中，误差是无法避免的。
误差可能来源于测量、逼近、截断等方面，而误差的累积会影响计算结果的准确性。
因此，对数值计算中的误差进行分析与修正显得十分重要。
本文将从误差来源和分类、误差分析的方法以及误差修正的策略等方面进行探讨。
一、误差来源与分类1. 测量误差：测量误差是由于测量过程中的不确定性而引起的。
例如，使用仪器时存在的仪器精度、随机误差等。
测量误差可以进一步分为系统误差和随机误差。
2. 截断误差：截断误差是指在计算中将无穷多的项或无穷小量截断成有限项或有限小量引起的误差。
例如，使用泰勒级数逼近一个函数，截断后的余项即为截断误差。
3. 近似误差：近似误差是由于计算或逼近方法的近似性而引起的。
近似误差可以分为代数近似误差和函数近似误差两类。
4. 舍入误差：在计算机中，数值通常以有限的二进制数表示。
当进行舍入操作时，由于精度的限制，会引入舍入误差。
二、误差分析方法1. 绝对误差与相对误差：绝对误差是指计算结果与真实值之间的差别，表示为|实际值-近似值|。
相对误差是绝对误差与真实值的比值，通常以百分比形式表示。
2. 误差限：误差限用于判断计算结果的精度是否符合要求。
通过估计误差限，我们可以评估结果的可靠性。
3. 误差传递：在多步计算中，误差会随着计算步骤的增加而积累。
误差传递分析可以帮助我们了解误差如何随着计算步骤的发展而增长。
4. 稳定性分析：稳定性分析是指研究初始数据的微小变化对结果的影响程度。
通过稳定性分析，我们可以评估计算方法的稳定性和可靠性。
三、误差修正策略1. 合理选取计算方法：不同的计算方法对误差的敏感性不同。
因此，在进行数值计算时，应选择合适的计算方法，以减少误差的引入。
2. 适当增加计算精度：增加计算精度可以减少舍入误差的影响。
在计算机程序中，可以使用更高的数据类型或者增加计算位数来提高计算精度。
3. 优化算法：优化算法可以通过改进计算流程或减小计算步骤来提高计算的精度和稳定性。
不确定关系2个公式用法
不确定关系2个公式用法
不确定关系在物理学中通常指的是海森堡不确定性原理，它指出我们无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。
海森堡的不确定性原理可以用以下公式表示：
Δx × Δp ≥ ℏ/2
其中，Δx 是位置的不确定性，Δp 是动量的不确定性，ℏ是约化普朗克常数。
这个公式告诉我们，位置和动量的测量精度之间存在一种基本限制。
另外，不确定性原理也可以用德布罗意波长表示：
λ = h/p
其中，λ 是德布罗意波长，h 是普朗克常数，p 是动量。
由于德布罗意波的
存在，粒子在空间中的位置也会有一个不确定性，这个不确定性与德布罗意波长成正比。
在实际应用中，不确定性原理常常用于描述微观粒子的行为，因为对于非常小的粒子，我们无法精确地知道它们的确切位置和动量。
数值计算方法期末总结
数值计算方法期末总结导言数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。
在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。
本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。
通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。
一、数值逼近数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。
数值逼近可以分为插值和外推。
插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。
而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。
在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。
数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
二、插值与外推插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。
插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。
外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。
常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。
它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。
三、数值微积分数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。
数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。
在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。
数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。
而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。
四、线性方程组解法线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。
线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。
数学中的数值计算与科学计算
数学中的数值计算与科学计算在数学领域中，数值计算和科学计算是两个重要的概念。
它们分别指的是利用计算机和数学方法进行数值近似和科学问题求解的过程。
本文将对数值计算和科学计算的概念、应用以及相关算法进行探讨。
一、数值计算数值计算是指通过数值方法对数学问题进行近似求解的过程。
它主要应用于具有复杂性或无封闭解的数学问题，例如方程求解、数值积分和数值微分等。
数值计算的关键在于将实际问题转化为数值计算问题，并通过近似方法得到数值解。
在数值计算中，常用的近似方法包括插值法、数值积分、数值微分和数值迭代等。
插值法是指通过已知数据点之间的差值来估计其他未知数据点的值，它常用于数据的预测和光滑。
数值积分和数值微分是对定积分和导数的数值近似计算，能够在复杂函数和无法解析求积分的情况下提供近似解。
数值迭代是通过不断逼近的方式来求解非线性方程或方程组的数值解。
二、科学计算科学计算是指利用计算机和数学建模方法对科学问题进行求解和模拟的过程。
它主要应用于物理、化学、生物、工程等领域，通过数学模型和计算机算法来模拟和分析复杂的科学现象和实验数据。
在科学计算中，常用的方法包括数值模拟、实验数据处理和统计分析等。
数值模拟是指通过数学模型和计算机算法来模拟具有复杂特性的科学现象，例如流体力学、结构力学和天体力学等。
实验数据处理是通过数学和统计方法对实验数据进行处理和分析，以获得有用的结果和结论。
统计分析则是通过统计学方法对大量数据进行统计和分析，以推断数据背后的规律和关系。
三、数值计算与科学计算的应用数值计算和科学计算在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，数值计算和科学计算可以用于模拟粒子的运动、计算量子力学问题以及解决电磁学和热力学等方面的数值求解。
在工程学中，数值计算和科学计算可以用于模拟材料的性能、设计电路和优化机械结构等。
在生物学和医学中，数值计算和科学计算可以用于模拟生物反应、预测药物作用和分析医疗图像等。
为了实现数值计算和科学计算的应用，各种数值和算法技术被广泛使用。
数值计算中的常微分方程初值问题
数值计算中的常微分方程初值问题常微分方程是描述许多自然规律和现象的数学方法之一，常常在科学研究和工程应用中被广泛应用。
求解常微分方程的数值算法称为数值方法，这些方法用于求解微分方程的初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）。
本文将讨论常微分方程初值问题以及数值方法的应用。
1. 常微分方程初值问题常微分方程初值问题是一类形如$y^{\prime}=f(t,y),y(t_0)=y_0$的微分方程。
其中，$f(t,y)$是已知的函数，$y^{\prime}$表示$y$对$t$的导数，$y_0$和$t_0$是已知的初始条件。
将微分方程的解表示为$y=y(t)$，则其在$t=t_0$处的值为$y(t_0)=y_0$。
对于一个给定的常微分方程初值问题，我们需要求出其解$y=y(t)$。
常微分方程的解是一类内禀函数，通常没有解析表达式。
因此，求解微分方程的目标是得到一个数值近似解，以使得这个近似解能够满足应用上的需要。
但是，求解微分方程时需要注意最小化误差，以充分利用计算机资源和减小不确定性。
2. 数值方法数值方法是一种使用数值计算技术快速求解微分方程的方法。
常见的数值方法包括显式欧拉法，向后欧拉法，中点法，龙格–库塔法等。
2.1 显式欧拉法显式欧拉法是最简单的求解微分方程的数值方法之一，它通过计算初始值函数的斜率来求解下一个点的值，使得下一个点的值可读性更高。
具体来说，显式欧拉法使用前项差分公式：$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$其中$t_n=n \cdot h$是离散时间步（$h$是时间步长）。
显式欧拉法的误差随时间步长变小。
但显式欧拉法的缺点是它难以处理比较复杂的微分方程，因为这可能需要使用较小的时间步长。
此外，显式欧拉法可能产生的数值不稳定性也是一个挑战。
2.2 龙格-库塔法龙格-库塔方法是一种经典的提高微分方程数值解精度的数值方法。
龙格-库塔法是一类迭代方法，它使用多次计算初始值函数的斜率，以生成更准确的导数值。
数值计算方法的应用与算法
数值计算方法的应用与算法数值计算方法是计算机科学和应用数学的重要分支之一，其主要研究如何利用计算机进行数学计算和分析。
该方法在现代科学和技术领域中得到了广泛的应用，例如计算物理、工程学、统计学、金融学等等。
数值计算方法的进步为科学技术的进步提供了强有力的支撑，在这篇文章中，我们将重点讨论数值计算方法的应用与算法。
一、数值计算方法的应用在科学、工程和经济学等实际应用中，我们经常需要用到数学模型来描述某种现象或问题。
然而，很多情况下这些模型并不能通过解析方法来得到精确的解析解，而只能通过数值计算方法来得到近似解。
数值计算方法在这样的场景中就显得尤为重要。
比如，在高速列车设计中，需要运用电磁场计算技术来研究电磁干扰对高速列车的影响。
在这个过程中，需要建立电磁场方程并进行求解，而实际的电磁场方程并没有解析解，只能用数值计算的方法来求解。
再比如，在天气预报中，需要对大气流动、湍流流场等进行数值模拟。
由于这些现象非常复杂，很难用解析方法求解，因此需要运用数值计算方法。
还有金融学中的随机微分方程模型、信号处理领域中的滤波器设计、图像处理中的数字图像处理等等，都需要运用数值计算方法来获得精确的结果。
二、数值计算方法的算法数值计算方法的算法分为两类，一类是直接法，一类是迭代法。
直接法是一种能够得到精确解的方法，也就是解析法。
在这种方法中，我们通常将方程进行代数处理，从而得到其解析解。
例如，求解一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根，就可以通过求解$\Delta =b^2-4ac$ 并将其代入解式中得到 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 的解析解。
然而，在实际应用中，很多问题都不具备解析解，因为它们可能涉及到特定条件、变量的组合等等不确定性因素。
这时只有通过迭代法来求解近似解。
迭代法是通过不断逼近精确解来得到近似解的方法，它的基本思想是将原问题不断拆分成若干个小问题，在每个小问题上求解近似解，然后不断迭代直至求得精确解或满足精度要求。
《可能性》(教案)2023-2024学年数学五年级上册
《可能性》（教案）20232024学年数学五年级上册教案：《可能性》一、教学内容本节课的教学内容选自20232024学年数学五年级上册的《可能性》章节。
具体内容包括：1. 事件的确定性和不确定性；2. 概率的定义及其计算方法；3. 运用概率解决实际问题。
二、教学目标通过本节课的学习，学生能理解事件的确定性和不确定性，掌握概率的定义及其计算方法，并能运用概率解决实际问题。
三、教学难点与重点重点：事件的确定性和不确定性，概率的定义及其计算方法。
难点：运用概率解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件。
学具：笔记本、尺子、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：抛硬币游戏。
教师展示抛硬币游戏，让学生观察硬币落地时正反面的概率。
邀请几名学生上台演示，并记录结果。
2. 事件确定性与不确定性的讲解。
教师通过抛硬币游戏，引导学生理解事件的确定性和不确定性。
讲解必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
3. 概率的定义及其计算方法的讲解。
教师引导学生思考如何计算事件发生的概率。
讲解概率的定义：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间。
并介绍概率的计算方法：实验法、列表法、树状图法。
4. 运用概率解决实际问题。
教师出示几个实际问题，让学生运用所学的概率知识解决。
如：一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，求取出红球的概率。
5. 随堂练习。
教师出示几个练习题，让学生独立完成，检查学生对概率知识的掌握程度。
六、板书设计板书内容主要包括：事件的确定性和不确定性，概率的定义及其计算方法，实际问题案例。
七、作业设计1. 判断下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。
（1）抛一枚硬币，正面朝上。
（2）任意画一个三角形，它是锐角三角形。
（3）一年中有四季。
2. 计算下列事件的概率。
（1）抛一枚硬币，正面朝上的概率。
（2）一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取出红球的概率。
数的估算与近似
数的估算与近似数的估算与近似在数学中扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们在没有精确数值的情况下，通过使用适当的近似方法来计算数值。
本文将探讨数的估算与近似的概念、方法和应用。
一、数的估算与近似的概念数的估算与近似是指在计算过程中，用一些不精确但相对接近的数值来替代确切的数值。
这种处理方式一般在实际问题中应用广泛，因为很多情况下我们无法获得完全准确的数值，或者为了简化计算而需要使用近似数。
二、数的估算与近似的方法1.舍入法舍入法是一种常见的估算与近似方法。
它基于四舍五入的原则，将数值调整到最接近的整数或指定位数的小数。
这种方法在计算金融数据、统计数据等情况下经常使用。
例如，要将3.14159近似到小数点后两位，可以使用舍入法将其近似为3.14。
2.科学记数法科学记数法是另一种常用的估算与近似方法。
它通过将一个数表示为一个基数和指数的乘积，简化了大数或小数的表达和计算。
科学记数法通常在科学、工程等领域广泛应用。
例如，1,500,000可以用科学记数法表示为1.5 × 10^6，其中1.5是基数，6是指数。
3.估算法估算法是一种以近似的方式求解问题的方法。
它不追求精确值，而是利用一些简化的计算或近似方法得到一个接近解。
例如，要计算48 × 17，可以将48近似为50，将17近似为20，然后进行乘法运算（50 × 20 = 1000），最后再根据估算结果进行适当的调整。
三、数的估算与近似的应用1.商业计算在商业计算中，数的估算与近似广泛应用于成本估计、销售预测和市场分析等方面。
通过使用适当的近似方法，可以在短时间内得到准确的结果，并为决策提供支持。
2.科学研究在科学研究中，数的估算与近似常见于实验和观测数据的处理过程中。
由于实验或观测过程中的误差和不确定性，科学家们经常需要使用一些近似方法来处理数据并得出结论。
3.工程设计工程设计中经常需要进行参数估算与近似计算，以确定合适的设计参数。
《不确定性》(教学设计)北师大版四年级上册数学
《不确定性》（教学设计）北师大版四年级上册数学一、教学目标1. 让学生理解不确定性的概念，知道不确定事件和确定事件的特点。
2. 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。
二、教学内容1. 不确定性的概念2. 不确定事件的判断3. 不确定事件的概率计算4. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不确定性的概念，不确定事件的判断和概率计算。
2. 教学难点：不确定事件的概率计算，实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不确定性的概念、不确定事件的判断和概率计算。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 动手操作法：通过实验，让学生亲身体验不确定事件的发生。
五、教学过程1. 导入新课利用生活中的实例，如抛硬币、抽奖等，引出不确定性的概念。
2. 讲解不确定性的概念解释不确定性和确定性的区别，举例说明不确定事件和确定事件。
3. 讲解不确定事件的判断分析不确定事件的特点，引导学生判断事件是否为不确定事件。
4. 讲解不确定事件的概率计算介绍概率的定义，讲解如何计算不确定事件的概率。
5. 分析实际问题提供一些实际问题，让学生运用概率知识解决问题。
6. 小组讨论分组讨论，让学生在合作中解决问题，培养学生的合作交流能力。
7. 动手操作进行实验，让学生亲身体验不确定事件的发生，加深对不确定性的理解。
8. 总结对本节课的内容进行总结，强调不确定性的重要性。
9. 作业布置布置一些实际问题，让学生课后练习，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂问答：检查学生对不确定性概念的理解。
2. 课后作业：检查学生运用概率知识解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组中的合作交流能力。
4. 动手操作：评价学生对不确定事件发生的理解。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学方法和策略，以提高教学质量。
随机微分方程数值计算介绍
随机微分方程数值计算介绍随机微分方程（Stochastic Differential Equations，简写为SDE）是一类用于描述有随机变动的现象的微分方程。
与确定性微分方程不同，SDE中包含了一个随机项，这使得SDE的解具有一定的不确定性。
数值计算方法在求解SDE的数值解时起着至关重要的作用，本文将介绍一些常用的数值计算方法。
首先，我们来介绍一下SDE的一般形式：$$dX_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, t) dW_t$$其中，$X_t$是要求解的未知函数，$f(X_t,t)$和$g(X_t,t)$是已知的函数，$W_t$是一个随机过程（通常为布朗运动）。
上式右侧的第一项表示确定性的漂移项，第二项表示随机扩散项。
为了求解上述SDE，常用的数值方法之一是欧拉方法。
该方法的基本思想是将时间轴等分成多个小的时间段，并在每个时间段内对SDE进行逼近。
具体而言，对于给定的一个时间段$[t_n,t_{n+1}]$，我们有：$$X_{t_{n+1}} = X_{t_n} + f(X_{t_n}, t_n) \Delta t + g(X_{t_n}, t_n) \Delta W_n$$其中，$\Delta t = t_{n+1} - t_n$是时间步长，$\Delta W_n$是标准正态分布随机变量。
按照这个递推公式，我们可以逐步计算出$X_{t_{n+1}}$的近似值。
然而，欧拉方法存在数值误差和收敛性差的问题。
为了克服这些问题，人们提出了各种改进的数值方法。
其中最为著名的方法之一是Milstein方法。
该方法在欧拉方法的基础上考虑了随机项的二阶展开，从而提高了数值解的精度。
具体而言，Milstein方法的递推公式为：$$X_{t_{n+1}} = X_{t_n} + f(X_{t_n}, t_n) \Delta t + g(X_{t_n}, t_n) \Delta W_n + \frac{1}{2} g(X_{t_n}, t_n) \frac{\partialg(X_{t_n}, t_n) }{\partial X_{t_n}} \left((\Delta W_n)^2 -\Delta t\right)$$另外，还有其他一些更高阶的数值方法可用于求解SDE，例如Runge-Kutta方法和Milstein方法的高阶推广方法。
系统不确定性的数值计算方法
系统不确定性的数值计算方法
石博强;肖成勇
【期刊名称】《北京科技大学学报》
【年(卷),期】2003(025)004
【摘要】基于未确知理论,定义了系统不确定性的一个度量尺度--盲数方差.通过将系统"宽区间"范围的"强"不确定性离散化处理成"窄区间"范围的"弱"不确定性,给出了基于盲数的系统不确定性数值计算原理和方法.它是一种通用的数值计算方法.实际计算表明该方法的正确性和实用性.
【总页数】3页(P374-376)
【作者】石博强;肖成勇
【作者单位】北京科技大学土木与环境工程学院,北京,100083;北京科技大学土木与环境工程学院,北京,100083
【正文语种】中文
【中图分类】N941.1;O241.5
【相关文献】
1.基于熵不确定性概念的机器人位姿精度理论(5) --评价指标的计算机数值计算方法 [J], 闫华;郑时雄
2.数值界不确定性关联大系统分散鲁棒H∞控制 [J], 谢永芳;蒋朝辉;桂卫华
3.数值界不确定性关联大系统分散鲁棒H∞控制 [J], 谢永芳;桂卫华;蒋朝辉;贺建军
4.考虑天气不确定性的太阳能供热系统等效设计容量计算方法 [J], 彭鹏[1]
5.数值界不确定性奇异大系统分散鲁棒H_∞广义输出反馈控制 [J], 蒋朝辉;桂卫华;谢永芳
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数值计算(计算方法第一章)
其中 xk 1 xk ( f '( xk ))1 f ( xk ).
Newton迭代法
称为迭代序列
§2.误差及误差分析
数值方法中的计算公式及参与运算的数，都和数学中的 一般情况有所不同，即
计算公式中的运算必须是在计算机上可执行的运算 参与运算的数必须是有限小数或整数
因此，数值方法中的取数和运算往往会出现误差，算得
的结果（称为计算值）一般也为近似值。
在任何科学计算中，其解的精确性
总是相对的，而误差则是绝对的。
一、误差的种类及来源 一个物理量的真实值和我们算出的值（即计算值） 往往存在差异，它们之差称为误差。 模型误差
在建立数学模型过程中，要将复杂的 现象抽象归结为数学模型，往往要忽 略一些次要因素的影响，而对问题作 一些简化，因此数学模型和实际问题 之间有一定的误差。
bn an bk bk 1 x ak , k n 1, n 2, ,1, 0 p( x) b 0
运算量：
n.
例1.1.3
解线性方程组
Ax b,
其中， A (aij )nn , x ( x1, x2 ,, xn )T , b (b1, b2 ,, bn )T .
离散型（统计型） 不确定型（随机型） (2) 算法设计：将数学问题数值化 例1.1.4 求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
输出的数据是解向量 x, 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
定义1.2.2 设x 0为准确值，x*为x的一个近似值。称
( x ) x x (x ) x x * 为近似值x 的相对误差。 若存在正数 r 满足
数值分析中的误差分析方法
数值分析中的误差分析方法数值分析是一门研究离散数据逼近和连续函数求解的学科，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值计算过程中，误差是不可避免的，因此准确评估和分析误差是至关重要的。
本文将介绍数值分析中常用的误差分析方法，以帮助读者更好地理解误差来源和影响，从而提高数值计算的准确性和可靠性。
一、绝对误差和相对误差绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
在数值分析中，我们往往无法得知真实值，因此无法直接计算绝对误差。
相对误差则是相对于近似值的误差，它可以更好地反映计算结果的准确性。
二、截断误差截断误差是由于采用有限的计算步骤或取舍了一些无限级数的项而引入的误差。
在数值计算中，我们通常使用近似方法，如级数展开和数值积分等。
由于截断误差的存在，我们得到的结果与真实值之间会有一定的差距。
截断误差的大小取决于所采用的数值方法和步长，可以通过逐步减小步长来减小截断误差。
三、舍入误差舍入误差是由于对无限精度数进行有限舍入导致的误差。
计算机中的数值表示是有限的，而真实数值通常是无限的。
因此，在计算机中进行数值计算时，会存在一定程度的舍入误差。
舍入误差可以通过采用更高精度的数据类型或者使用舍入误差分析技术来减小。
四、传播误差传播误差是由于输入数据的不确定性或测量误差在数值计算过程中扩散而引入的误差。
在实际问题中，输入数据通常带有不确定性，例如测量误差或近似值。
这些不确定性会随着计算的进行而传播，影响到计算结果的准确性。
传播误差需要通过敏感性分析等方法来进行评估和控制。
五、误差估计误差估计是通过数值分析方法来评估近似解与真实解之间的误差。
常用的误差估计方法包括残差估计、收敛性分析和算例分析等。
残差估计法通过计算数值解与原方程的残差来估计误差的大小。
收敛性分析则通过逐步减小步长和比较不同精度下的数值解来判断数值方法是否收敛。
算例分析是通过计算实际问题的已知解或近似解来评估数值方法的误差。
六、误差限制和误差控制误差限制和误差控制是保证数值计算结果准确性和可靠性的重要手段。
不确定度考虑范围及计算
D.3.3这种类型的分析不会导致单一结构的列表。在目前的例子中，温度既可视为所测密度的直接影响因素，也可视为是对此比重瓶中的物质所测质量的影响因素，两者均可成为首次结构内容。实际上这不影响方法的使用性。假如所有重要的影响因素在列表的某个地方只出现过一次，总的一套方法仍然有效。
2．考虑方法的每一步骤，并且从主要影响因素之外来考虑，在因果图上进一步增加其他因素，如环境及基体的影响。
3．对每一个分支，增加有贡献的影响因素直至影响因素变得足够小，即直到对结果的影响可忽略。
4．解决重复问题，并重新安置，澄清影响因素，将有关的有不确定度来源编成组。在该步骤在单独的精密度分支上集合所有精密度内容是便利的。
SQRT（SUM（B10＋C10＋D10＋E10））
它给出了y的标准不确定度。
E2.5单元B10、C10等的内容显示了y不确定度的各个不确定度分量的平方分量u(y,x ) = ,因此容易看出哪一个分量是显著的。
E2.6随着个别参数值改变或不确定度的更新，可直接进行即时计算。在上面的步骤i），不是直接将栏A复制到栏B至E中，而是通过引用而将p至s值复制，即单元 至 均引用 、单元 至 引用 等。图2.1的水平箭头表明第3行引用情况。注意单元 至 还分别引用列B至列E的值，如图2.1的B列竖箭头所示。在上面的步骤ii）中，通过引用加上第一行的引用值（如图E2.1箭头所示）。例如单元 变成 单元 变成 等。对参数或不确定度的改变将立刻在 的总结果中及 的合成标准不确定度中反映出来。
正态分布
图形
在下述情况使用
不确定度
•估计值是对随机变化过程的重复测量作出的
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
不确定性的建模和计算
不确定性的建模和计算在现实生活中，很多问题都涉及到不确定性。
例如，股票价格、自然灾害、医学诊断等领域都存在不确定因素的影响。
为了解决这些问题，我们需要对不确定性进行建模和计算，以便更好地了解、预测和处理不确定性因素所带来的影响。
一、不确定性的建模不确定性的建模是指将不确定性因素转化为数学模型，以便能够对其进行分析和计算。
在建模过程中，需要将不确定性因素转化为概率分布，并对分布的参数进行估计。
常用的概率分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。
还需要对不确定性因素之间的关系进行建模，以便对复杂的不确定性系统进行分析。
常用的方法包括贝叶斯网络、马尔可夫链等。
二、不确定性的计算不确定性的计算是指在不确定性建模的基础上，进行概率计算和数值计算。
其中概率计算主要是基于概率论进行的，包括概率密度函数、累积分布函数等。
数值计算则是指通过数值方法对不确定性模型进行计算，并得出相应的结果。
其中常用的方法包括蒙特卡洛模拟、基于采样的方法、基于优化的方法等。
三、不确定性建模和计算在实践中的应用不确定性建模和计算在很多领域都有着广泛的应用。
在金融领域，可以使用不确定性建模和计算来对股票价格进行预测和风险控制。
在医学领域，可以使用不确定性建模和计算来对患者的诊断和治疗进行决策。
在自然灾害和环境管理领域，可以使用不确定性建模和计算来预测和应对自然灾害的风险。
在机器学习和人工智能领域，不确定性建模和计算也具有重要的应用价值。
总之，不确定性是现实生活中普遍存在的问题，对其进行建模和计算可以帮助我们更好地了解和应对不确定性因素所带来的影响。
不确定性建模和计算具有广泛的应用价值，为解决实际问题提供了科学的方法和工具。
简算换头法的方法
简算换头法的方法简算换头法是一种解决数学问题的方法，通过将问题中的数值或变量进行替换，将复杂的计算简化为易解的形式。
下面是10条关于简算换头法的方法，并对每个方法进行详细描述。
1. 替换数值：将问题中的具体数值用代表性的符号代替，如用x代表一个未知数或一个不确定的数值。
这样可以将问题抽象化，便于进行计算和推导。
将问题中的具体数值 "5" 替换为 "x"，将问题从 "5 + 2 = ?" 变为 "x + 2 = ?"。
2. 替换变量：将问题中的变量用新的变量代替，以简化计算。
新的变量可以是任意字母，不一定需要与原问题中的变量相同。
将问题中的变量 "a" 替换为 "y"，这样可以将问题从 "3a + 2 = 10" 变为 "3y + 2 = 10"。
3. 引入新的变量：通过引入新的变量，将复杂的计算问题分解为多个简单的计算步骤。
这样可以降低问题的难度，使问题更易于理解和解决。
将问题中的变量 "x" 表示为 "x = y + 3"，引入新的变量 "y"，这样可以将问题从"2x + 3 = 5" 变为 "2(y + 3) + 3 = 5"。
4. 进行合并运算：将问题中的多项式进行合并运算，简化表达式。
合并运算可以是加法运算或乘法运算。
将问题中的表达式 "3x + 2x + 5x" 进行合并运算，得到 "10x"。
5. 进行分配运算：将问题中的表达式进行分配运算，将括号内的数值或变量与外部的数值或变量进行乘法运算。
将问题中的表达式 "2(x + 3)" 进行分配运算，得到 "2x + 6"。
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时间复杂性即计算量：一个算法所需四则运算总次数. 一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop. 空间复杂性即存储量
数值分析
数值分析
例1 计算 x255
254
A:x255=x·x···x B:x255=x·x2·x4·x8·x16·x32·x64·x128
算法B( Matlab) s x; y x; for i 1 : 7 s s * s; y y * s; end
┆┆ ┆
(1)
an11+an2x2+ … +annxn=bn
Ax=b
A可逆
由线性方程组的克莱姆(Cramer)规则可知,如果方程组 (1)的系数矩阵A的行列式(一般记为D=|A|)不等于零,那末,这 个方程组有唯一解,而且它们可以表示为
xi=Di/D (i=1,…,n)
这里,Di是指D中第i列元素用右端（b1,… bn）代替构成的行 列式。
◆矩阵分解
◆线性代数方程组的数值解法
◆最小二乘问题的数值解法
◆插值与拟合
◆连续函数的最佳逼近
◆数值积分与数值微分
◆非线性方程组的数值解法
◆代数特征值问题
◆常微分方程的数值解法
数值分析
数值分析
学习重点:
1. 构造数值方法的原理（支撑理论） 迭代法,以直代曲,化整为零,外推法
2. 评价数值方法的好坏 （研究数值方法的性态、可靠性、效率）
数值算法 非数值算法
计算机硬件的特点是快.软件就是利用计算机高速的 简单运算去实现各种复杂的功能。
数值分析
数值分析
一、数值分析的特点
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求 解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法， 即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的 算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意 的数值结果。
end
yu
计算量 N 2n flop
Pn ( x) an x n an1 x n1 L a1 x a0
数值分析
数值分析
算法2 （秦九韶算法）
(输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
p a(n)
for k n 1 : 1 : 0
p x * p a(k)
end
注意
y p
(输入x, 输出y） 计算量 N 14 flop
存储量=4
数值分析
数值分析
例2：计算多项式p( x) 3x3 4x2 2x 6的值。
算法1：由x计算出x2 , x3后再算。 需乘法5次，加法3次，存储单元7个。
算法2：p( x) x[ x(3x 4) 2] 6
需乘法3次，加法3次，存储单元6个。 一般地，计算n次多项式的值
数值分析
数值分析绪论
一、数值分析的特点
数值分析实际上就是介绍在计算机上解决数学问题 的数值计算方法及其理论。这门课程又称为数值计算 方法.
概率积分
2 t e x2 dx
0
t [0, )
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值分析
数值分析
一、数值分析的特点
硬件 功能 算术与逻辑运算
计算机
软件 核心算法
3. 数值方法的计算机实现（计算机实习） 本课程的基本目的，是使学生通过学习和实验，初步建
立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念，为 进一步深入的学习打下坚实的基础。
数值分析
数值分析
数值计算与误差分析
第一节 数值算法 第二节 数值计算的误差分析 第三节 常用数学软件工具
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
P
算法1、需乘法2n-1次，加法n次，存储单元n+4个。
算法2、秦九韶算法1247 (又称为Horner算法1819)
Pn ( x) x( x( xL ( x(an x an1 ) an2 L a1 ) a0
数值分析
数值分析
一、数值分析的特点
现代科学的三个组成部分: 科学理论,科学实验,科学计算
科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软 件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学, 计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等
数值分析
数值分析
二、数值分析的内容
◆误差分析
计算量 N n flop
其原理为
( ((an x an1 )x an2 )x a1 )x a0
数值分析
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
a a a … a 11
12
13
1n
a a a … a 21
22
23
2n
......… ...
a a a …a m1
m2
m3
mn
A
b b b … b 11
数值分析
数值分析
一、数值分析的特点
数值分析这门课具有以下几个特点：
(1)数值分析是一门与计算机应用密切结合的
实用性很强的学科； 思维方法是归纳法，核心问题是“误差” (2)数值分析这门课程即要讨论连续变量问题又
要讨论离散变量问题，关心的是数值结果；
(3)数值分析这门课程已成为近代数学的一个 重要分支，专门研究数学问题的数值解法。
有递推公式
sn an
需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。
sk xsk 1 ak
k n 1, ,2,1,0
Pn (x) s0
数值分析
数值分析
算法1 (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
t 1
注意
u a(0)
for i 1 : n
t x*t
u u a(i)* t
第一节 数值算法
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则 运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数 值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。 评价算法的两个主要标准：速度和精度
数值分析
数值分析
第一节 数值算法
一个面向计算机,计算复杂性好,又有可靠 理论分析的算法就是一个好算法.
计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性
12
13
1s
b b b … b 21
22
23
2s
......… ...
b b b … b n1
n2
n3
ns
B
=[cij]ms
n
Cij aik bkj i 1, , m; j 1, , s k 1
A B 的计算量为N= (m n s )flop
数值分析
数值分析
例4 ：求解n元线性方程组
a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1
数值分析
数值分析
克莱姆算法步骤
1. D
(1)t a1 j1 a2 j2 anjn
( j1 jn )
2. for i 1 n
2.1. 2.2.