矢量及矢量的运算

定理1
两个矢量 a 与 b 垂直的充分必要条件是 b 垂直，则 与 b 的夹角 , 2 所以
a b a b cos
2
0.
充分性。若 a b 0, 则 a b cos 0, a 当 b 与 至少有一个为零矢量时，零矢量与任何矢量垂直。当 a 与 b 均为非零矢量时，即 a 0, b 0 时，有 cos 0; 即 a 与 b 的夹角 , 两矢量垂直。
定理2
两个矢量 a 与 b 平行的充分必要条件是 a b 0.
证明 必要性。若 a 与 b 平行，则 a 与 b 的夹角 0 或 , 故
a b a b sin 0,
所以 a b 0. 充分性。若a b 0. 则 a b a b sin 0, 当 a 与 b 至少有一个为零矢量时，因零矢量与任何矢量 平行，所以 a 与 b 平行。当 a 与 b 均为非零矢量时， 则 a 0, b 0, 因此 0 或 , 所以 a 与 b 平行。
数乘矢量满足下列规律： (1) ka =ak（交换律）; (2) k la kl a, k , l 为实数(结合律）; (3) k l a ka la, k a b ka kb (分配律); (4)若 k 0, ka kb, 则 a b, 若 a 0, ka la, 则 k l （消去律）;
(a b ) a (a c ) a 0 a (b c ) a
0 设a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
0 a | a | a
a 0 a . |a|
b 3a 1 例1 化简 a b 5 b 5 2 b 3a 1 解 a b 5 b 5 2 5 5 1 2a b. (1 3)a 1 5 b 2 2 5
定理3
三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是 a, b, c 0.
证明 必要性。若 矢量 a, b, c 共面 ，则 a b 与 c 垂直。 所以
2 充分性。若 a, b, c 0. 即 a b c cos t 0, 则 a b 0 或 c 0 或 cos t 0（ t 为 c 与 a b 的夹角）， 若 a b 0 ，则 a b 0, a 与 b 平行，所以 a, b, c 共面； 若 c 0 ，则 c 0, 零向量与 a, b 共面；若 cos t 0 ，则 t ， a b 与 c 垂直，所以 a, b, c 共面。综上所述，
*§8.1.6、混合积
定义9 三个矢量 a, b, c 的积 a b c 称为混合积，记为 a, b, c.
混合积具有下列性质： (1) a, b, c b, c, a [c, a, b] （轮换性）； (2) a, b, c b, a, c [c, b, a] a, c, b （对换变号）； (3) ka, b, c a, kb, c a, b, kc k a, b, c ; (4) a1 a 2 , b, c a1 , b, c a 2 , b, c .
当
2
a, b, c a b c a b
c cos

0.
a, b, c 0时，
a, b, c 共面。
§8.1.7
例4
解 [( a b ) ( b c )] ( c a)
已知[a b c ] 2 ， 计算[( a b ) ( b c )] ( c a ) .
2
空间一点在轴上的投影

A
A
过点 A 作轴 u的垂直平 面，交点 A 即为点 A 在轴 u u上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
A B
u
设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， 已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为 A, B ，那么对某数 有 AB = e 称 为向量 AB 在轴 u上的投影，也称为向量 AB 关 于 u轴的坐标.
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分 的四边形必是平行四边形.
证 AM MC
D
A
b
a
M
B
C
BM MD
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
§8.1.4、两矢量的数量积（内积）
定义7 两矢量 a 与 b 的数量积（内积），等于两矢量的模 与两矢量夹角的余弦的乘积。记为
定义1 若两个矢量 a 与 b 的方向相同、大小相等（模相 等），则称两矢量相等，记为 a=b ，也即一个平行移动后 的矢量与原矢量相等，这样的矢量又称为自由矢量。 定义2 若两个矢量 a 与 b 的大小（模）相等、方向相反 （ a 与 b 互为逆向矢量），则称 b 为 a 的负矢量，或 称 a 为 b 的负矢量。记为 a=-b 或 b=-a 。
§8.1.2、矢量的加法
定义5 两矢量 a 与 b 的加法。若 a 的终端与 b 的始端相 连，则从 a 的始端到 b 的终端的矢量为 a 与 b 的和，记为 a+b ，称为“a 加 b ”。若 b 的终端与 a 的始端相连，则 从 b 的始端到 a 的终端的矢量为 b+a，称为“a 加 b ”。
a lb 0
即
k1 1, k2 l
所以必存在不全为零的数 k1 , k2 , 使得 k1a k2b 0 成立。 充分性。若存在不全为零的数 k1 , k2 , 使得 k1a k2b 0, k1 k2 b a; a b ; 则当 k1 0 时， 当 时， k 0 2 k2 k1 所以由结论2知 a与 b 共线。
矢量积满足下列规律： (1) a b b a; (2) ka b a kb k a b ; （ k 为实数）； (3) a b c a b a c; b c a b a c a （分配律）。



矢量加法与数乘矢量统称矢量的线性运算(线性组合)。
互相平行的矢量称为共线矢量,平行于同一平面的矢量称 为共面矢量。
关于矢量共线与共面有以下常用到的结论： 结论1 零矢量与任何矢量共线（零矢量平行于任何矢量）。
结论2 若矢量 a 与 b 有等式 a 共线（数乘矢量与原矢量平行）。
Pr j (a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
C
A
a1
B
a2
C
A
u
B
例3. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos
证: 如图 . 设
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b
a
C
c
2
( a b) ( a b) a a b b 2a b
a b a b cos .
式中， a, b , 为 a 与 b 的夹角。即平移两矢量使始端重合 为角的顶点，以两矢量为边所成的角，规定 0 .
数量积满足以下规律： (1) a b b a （交换律） (2) (a b) c a c b c （分配律）; (3) ka b a kb k a b ; 2 2 a a a a . (4)
矢量的加法与数的加法类似，满足以下规律： (1)若 a+b=0,则 b=-a, a=-b; (2)a+0=a; (3)a+b=b+a（交换律）; (4)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）; (5)若a+b=a+c,则b=c（消去律）;
§8.1.3、数乘矢量
定义6 实数 k 与矢量 a的乘积称为数乘矢量。记为 ka , 它的模 ka k a . 其方向为：当 k 0 时，ka 与 a同 向；当 k 0 时，ka 与 a 反向；当 k 0 时 ， 0 a 0； 当 k 1 时， 1 a a ；当 k 1 时, 1 a a.
第8章
§ 8.1 矢量及矢量的运算
§ 8.1.1 矢量 、矢量的模、单位矢量 § 8.1.2 矢量的加法 § 8.1.3 数乘矢量
§ 8.1.4 两矢量的数量积
§ 8.1.5 两矢量的矢量积
§ 8.1.6 混合积
§ 8.1.7 矢量代数的应用举例
§8.1.1、矢量、矢量的模、单位矢量
矢量 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。用 AB 或 a , b, c 来表示矢量，用 | AB | 或 |a| 来表示矢量的模。
矢量代数的应用举例（见书,略）
[a b a c b b b c )] ( c a )
(a b ) c (a c ) c 0 c (b c ) c
kb 成立，则 a 与 b
结论3 矢量 a 与 b 共线的充分必要条件是存在不全为零 的数 k1 , k2 , 使得 k1a k2b 0. 证明 必要性。若 a与 b 共线， a 0 时，有 1a 0b 0, 这时 k1 1, k2 0; 当 b 0 时，有 0a 1b 0, 这时 k1 0, k2 1; 当 a, b 均为非零矢量时， 因为 a 与 b 平行，所以 a 为 b的数乘，即存在实数 l , 使得 a lb （当 a与 b同向时 l 0, 反向时 l 0 ）。 有
向量 AB 在轴 u上的投影记为 Pr ju AB .
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j AB | AB | cos
u
A
A

B
B
B
u u
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
定义3 长度为零的矢量（模等于零），称为零矢量，记为0 ， 在不至于混淆的情况下也写为 “ 0 ”。零矢量又称为点矢 量，无一定方向，所以可以是任意方向的矢量。 定义4 长度为一个单位（模等于1）的矢量称为单位矢量。 一个矢量 a 的 单位矢量为与 a 方向相同、长度（模）为 0 一个单位的矢量，记为 a 。
结论4 若矢量 a, b, c 满足关系 c k1a k2b （ k1 , k2 为实 数），则 a, b, c 三矢量共面（由矢量加法可证）。
结论5 三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全 为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 k1a k2b k3c 0 成立。
a b 2 a b cos
2
2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
§8.1.5、两矢量的矢量积
定义8 两矢量 a 与 b 的矢量积为一个矢量，记为 a b, 它的模等于两矢量的模与两矢量夹角 a, b 的正弦 sin 的积。 即 a b a b sin ; 方向垂直于 a, b 所在平面，按右手定则指定的方向。