数列常见题型总结经典(超级经典)

数列常见题型总结经典(超级经典)

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨

⎧-=-11

n n n S S S a )

2()1(≥=n n

例1、已知数列}{n

a 的前n 项和2

12n n S n

-=，求数列|}{|n

a 的前n 项和n

T

1、若数列}{n a 的前n 项和n

n

S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和32

3-=n

n a S ，求该数列的通项公式。

3、设数列}{n

a 的前n 项和为n

S ，数列}{n

S 的前n 项和为n

T ，满足2

2n S T n

n

-=，

求数列}{n

a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）

（1）若f(n)为常数,即：d a a n

n =-+1

,此时数列为等差数列，则n

a =d n a )1(1

-+.

（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.

例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n

n

a

1. 已知数列{}n

a 的首项为1，且*1

2()

n n a a n n N +=+∈写出数列{}n

a 的通

项公式.

1、在数列}{n

a 中1

1

1

1

,1-+-=

=n n a n n a a

)2(≥n ，求n

n

S a 与。

2、求数列)2(1

232,111

≥+-==-n a n n a a

n n 的通项公式。

4.形如s

ra pa a n n n +=

--11

型（取倒数法）

例1. 已知数列{}n

a 中，2

1

=a

，)

2(1

211

≥+=

--n a a a

n n n

，求通项公式n

a

练习：1、若数列}{n

a 中，1

1

=a

,1

31

+=

+n n n a a a

,求通项公式n

a .

2、若数列}{n

a 中，1

1

=a ，1

1

2--=-n n n n a a a a

，求通项公式n

a .

5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）

（1）若c=1时，数列{n

a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n

a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n

a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

方法如下：设)(1A a c A a n

n +=++,利用待定系数法求出A

例1．已知数列}{n a 中，,2

1

21,211+==+n n a a a 求通项n

a .

练习：1、若数列}{n

a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n

a 。

3、若数列}{n a 中，11=a ,13

21+=+n n a a ,求通项公式n

a 。

6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）

(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例题. 在数列{}n

a 中，2

31=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n

a .

练习：1、已知数列{}n

a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n

a

(2)若n

q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1) ①若p=1时，即：n

n

n q a a +=+1，累加即可

②若1≠p 时，即：n

n

n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以1

+n q . 即： q

q

a q p q

a n

n n n 1

1

1

+⋅=++, 令n

n n

q

a b =

,则可化为q

b q p b

n n 11

+⋅=+.然后转化为类型5来解，

例1. 在数列{}n

a 中，5

21

-

=a

，且)

(3211N n a a

n n n

∈+-=--．求通项公式n

a

1、已知数列{}n

a 中，2

11

=

a

，n

n n

a a

)2

1

(21+=-，求通项公式n

a 。

2、已知数列{}n

a 中，1

1

=a ，n

n n a a

2331

⋅+=+，求通项公式n

a 。