第七章 强度理论
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第七章强度理论_2
上述强度条件具有如下特点 （1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定 试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度 条件。 对于复杂应力状态， 因 σ1、σ2、 σ3有任意比值，不可能做 所有情况的试验。另外，加载也有困难。
七、 各种强度理论的适用范围及其应用
1.适用范围 （1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论; （2）塑性材料选用第三或第四强度理论; （3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生
脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;
（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.
1.最大切应力理论 (第三强度理论)
根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最 大切应力所在截面滑移而发生屈服失效. 基本假说: 最大切应力max 是引起材料屈服的因素. 屈服条件
max
σs 2
在复杂应力状态下一点处的最大切应力为
屈服准则 : 强度条件
max
σ1 σ 3 σ s
（b)
图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发 生体积改变也发生形状改变. 图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与 原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.
( ε )a (V )a ( d )a
( ε )b (V )b
1 2 (σ1 σ 2 σ 3 ) E
适用范围：它既突出了最大主切应力对塑性屈服的作用， 又适当考虑了其它两个主切应力的影响，它与塑性较好材料的 试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米塞斯 （Mises ）屈服准则，由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不 稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的 载荷往往较为稳定，因而较多地采用第四强度理论。
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
第七章 应力应变分析 强度理论
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e
x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y n
e
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
2
3 1
1
3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane）
3.重要结论（Important conclusions）
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
第七章 强度理论
max
max
max
M max Wz
FS max S * z max bIz
3
2.复杂应力情况
1 2FpF难以确定极限应力u
材料失效主要有断裂和屈服两种类型。
同一类破坏形式，有可能存在着共同的因素。若设法从材料破坏的现象中总
结出破坏的规律，找出引起破坏的决定性的共同因素，那么复杂应力状态和简单
形状改变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理 论更符合试验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论 复杂。
8
以上四种强度理论的强度条件，可以写成统一表达形式：
r [ ]
r1 1
r：称为相当应力。
脆性材料 ｝
r 2 1 ( 2 3 )
拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。 破坏条件： vd 强度条件：
1 1 2 2 s [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E 6E
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
容易破坏，这与实际不相吻合。
6
三、第三强度理论（最大切应力理论）
引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论在什么应力 状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了材料在轴向
拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。
破坏条件：
max 13
1 3
2
u
s
2
强度条件：
1 3
该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形式简明。但 是其忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。且该理论只适 用拉、压许用应力相同的材料。
max
max
M max Wz
FS max S * z max bIz
3
2.复杂应力情况
1 2FpF难以确定极限应力u
材料失效主要有断裂和屈服两种类型。
同一类破坏形式，有可能存在着共同的因素。若设法从材料破坏的现象中总
结出破坏的规律，找出引起破坏的决定性的共同因素，那么复杂应力状态和简单
形状改变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理 论更符合试验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论 复杂。
8
以上四种强度理论的强度条件，可以写成统一表达形式：
r [ ]
r1 1
r：称为相当应力。
脆性材料 ｝
r 2 1 ( 2 3 )
拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。 破坏条件： vd 强度条件：
1 1 2 2 s [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 6E 6E
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
容易破坏，这与实际不相吻合。
6
三、第三强度理论（最大切应力理论）
引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论在什么应力 状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了材料在轴向
拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。
破坏条件：
max 13
1 3
2
u
s
2
强度条件：
1 3
该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形式简明。但 是其忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。且该理论只适 用拉、压许用应力相同的材料。
第七章_应力状态和强度理论
第 1 页/共 4 页第七章 应力状态和强度理论7-3 横截面上 AF =σ α截面上 αστασσσαα2sin 22cos 22=+=，强度条件 ][432sin 2][)2cos 1(2σατσασαα≤=≤+=A F A F ，等价于 ][2sin 342)2cos 1(2max σαασ≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+=A F A F e ，由0=ασd d e，并比较︒=0α或︒60的e σ，得使e σ最小的角度︒=60α 7-7 内力 m kN M ⋅-=2.7，kN F s 10-=应力 MPa I Myz 55.10==σ，MPa bI S F z z s 88.0*-==τ 主应力 MPa 62.1022221=+⎪⎭⎫⎝⎛+=τσσσ，MPa 073.022223-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=τσσσ主平面方位 ︒=⇒=-=74.4167.022tan 00αστα7-8(d) MPa MPa x y x 50200-=-==τσσ，， ︒=45α截面上：MPaMPax yx yy102cos 2sin 2402sin 2cos 22=+-==--=αταστατασσσαα主应力：MPa x y y4122221=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=τσσσ， MPa x y y6122223-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τσσσ主平面方位：︒=⇒=--=34.39522tan 00ασταyx7-15(a) MPa z 50=σ——为主应力，另两个主应力由下列应力决定 MPa MPa MPa x y x 403070-===τσσ，，MPa MPa x y x yx x y x yx 3.5227.94222222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=''=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='τσσσσστσσσσσ主应力 MPa MPa MPa z 3.5507.94321=''===='=σσσσσσ，， 最大切应力 MPa 7.44231max =-=σστ7-16(a) MPa MPa MPa 105070321＝，＝，＝σσσ A 点：MPa MPa A A 2030==τσ，在2σ与3σ决定的应力圆上使切使劲达极值7-18 立方体边长 a ＝20mm不计摩擦，各面上的应力为主应力顶面 MPa aF3523-=-=σ，侧面021<=σσ 主应变021==εε，又)]([13211σσνσε+-=EMPa 151321-=-==⇒σννσσ7-21 k 处截面上的内力： e M laM =，l M F e s =应力： bhFb I S F s z z s 230*==＝，τσ︒=45α方向即为主应力方向第 3 页/共 4 页τστσ-==31，主应变 )(131451νσσεε-==︒E由上可得 ︒+=45)1(32ενElbhM e7-22 钢球各点应力状态相同 MPa 14321-===σσσ体应变 )(21321σσσνθ++-=E体积改变 3101054.6m V V -⨯==∆θ7-23 MPa MPa MPa z y x 403070-===σσσ，，MPaMPax y x y x x y x y x 28.54)(21)(2172.944)(21)(212222=+--+=''=+-++='τσσσσστσσσσσ主应力 MPa MPa MPa 28.55072.94321==σσσ，＝， []3213232221/99.12)()()(61m m kN Ev d ⋅=-+-+-+=σσσσσσν7-24 平面应力状态 MPa MPa x y x 15015===τσσ，，主应力 MPa MPa x x x27.9027.242232221-===+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σστσσσ，， 按第一强度理论：][11t r σσσ<= 按第二强度理论：][59.26)(3212t r MPa σσσνσσ<=+-= 满意强度条件。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
强度理论及其应用资料
max
F S* S max z max bI z
13
§ 7-2 四种常用的强度理论
3.梁的相当应力强度条件
1
2
2
2
2
2 0
＝
3
2
－
2
＋
2
2
腹板与翼缘交界处
代入相当应力表达式：
r3
1
，
3
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
可得
r3 2 4 2，r4 2 3 2
§ 7-2 四种常用的强度理论
式简明。在对用塑性材料制成的构件进行强度计算时，经常采用这
个理论。但是该理论忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。 且该理论只适用拉、压许用应力相同的材料。
§ 7-2 四种常用的强度理论
四、第四强度理论（形状改变能密度理论）
此理论认为：引起材料屈服的主要因素是形状改变能密度。即材料
无论在什么应力状态下，只要危险点处的形状改变能密度vd达到了 材料在轴向拉伸破坏时的形状改变能密度vdu，就会引起屈服失效。
破坏条件：
vd
1
6E
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1
)2 ]
1
6E
2 s 2
强度条件： 12[(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2]
通过对几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验资料表明，形状改 变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理论更符合试 验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论复杂。
在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形， 所以应该采用第三或第四强度理论。
第07章 强度理论
ε1 = ε u
εu用单向拉伸测定，即： 用单向拉伸测定，
εu =
σu
E
因为： 因为：
1 ε 1 = (σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )) E
因此有： 因此有： σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 ) = σ u 强度条件为： 强度条件为：
σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 ) ≤
σu
n
= [σ ]
τ max ≤ [τ ]
研究复杂应力状态下材料破坏的原因， 研究复杂应力状态下材料破坏的原因 ， 根据一 定的假设来确定破坏条件， 从而建立强度条件， 定的假设来确定破坏条件 ， 从而建立强度条件 ， 这 就是强度理论的研究内容。 就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： • 脆性断裂型： 脆性断裂型： 例如： 铸铁：拉伸、扭转等； 例如： 铸铁：拉伸、扭转等； 低碳钢：三向拉应力状态。 低碳钢：三向拉应力状态。 • 塑性屈服型： 塑性屈服型： 例如： 低碳钢：拉伸、扭转等； 例如： 低碳钢：拉伸、扭转等； 铸铁：三向压缩应力状态。 铸铁：三向压缩应力状态。 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关， 可见 ： 材料破坏的形式不仅与材料有关 ， 还与 应力状态有关。 应力状态有关。
例 利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈 利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈 之间的关系。 服应力τs和拉压屈服应力σs之间的关系。 图示纯剪应力状态的主应力为： 解：图示纯剪应力状态的主应力为：
τ
σ1 = τ
σ 2 = 0 σ 3 = −τ
时材料发生屈服，因此有： 当τ =τs时材料发生屈服，因此有：
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
材料力学刘鸿文第七章-强度理论
]
]
3
3、莫尔强度理论的相当应力：
M
1 [[
L ]
y]
3
三、实用范围：
试用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限 强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的 破坏（岩石、混凝土等）。
案例分析1: 把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
案例分析2: 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体 积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可 知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰 不破裂，而水管发生爆裂。
6、机轴材料为45号钢，工作时发生弯扭组合变形，
宜采用
强度理论进行强度校核？
A：第一、第二； B：第二、第三； C：第三、第四； D：第一、第四；
7、某碳钢材料工作时危险点处于三向等值拉伸应 力状态，宜采用 强度理论进行强度校核？
A：第一 B：第二； C：第三； D：第四；
8、在三向压应力相等的情况下，脆性材料与塑性 材料的破坏形式为： 。
可选择莫尔强度理论。
莫尔强度理论
莫尔认为：最大剪应力是 使物体破坏的主要因素，但 滑移面上的摩擦力也不可忽 略（莫尔摩擦定律）。综合 最大剪应力及最大正应力的 因素，莫尔得出了他自己的 强度理论。
阿托?莫尔(O.Mohr),1835～1918
一、两个概念： 1、极限应力圆：
极限应力圆
s
O
s3
s2
脆性材料 第一强度理论 拉伸型和拉应力占主导的混 合型应力状态
第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少 数材料。 压应力占主导的脆断
二、对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况 不能只看材料必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响
工程力学第7章_2 强度理论jt
2
1
11
二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因” 的假说。 三、常用的强度理论按上述两种破坏类型分为：
I. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最
大拉应力理论(第一强度理论)和最大伸长线应变理论(第二强度 理论)； II.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最 大切应力理论(第三强度理论)和形状改变能密度理论(第四强度
25
适用范围
铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通 常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理 论。炭钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服的形 式失效，宜采用第三和第四强度理论。
26
[例1]: 试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求 塑性材料许用切应力与许用拉应力之间的关系。 解：根据例7.3的讨论，纯剪切是拉—压二向应力状态，且
危险点的概念: 危险点是构件上材料受力最不利的点，是构件 破坏的起始点。危险点一般为内力最大截面上应力 最大的点。如果危险点不发生破坏，整个构件就不 会发生破坏。
8
如何确保危险点不发生破坏？（强度条件的建立） 方法：限制危险点的应力水平。
(1)单向应力状态下强度条件的建立
max
max
FN ,max [ ] （拉压） A （正应力强度条件） M max [ ] （弯曲） W
二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；
当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。
2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其它应力状态时，使用第三或第四理论。 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：
max
较为满意的解释。
第七章：应力状态、强度理论
s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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腹板与翼缘交界处
代入相当应力表达式： 2.切应力强度条件
max
max
FS max S * z max bI z
r3 1 3， r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
2 2 2 2
13
§ 7-2
四种常用的强度理论
解： 1. 按正应力强度条件校核
Iz = 88×106 mm4
作梁的弯矩图如图d， 最大弯矩为Mmax＝80 kN· m。
(d)
max
80 10 150
6
M max ymax Iz
136.4 MPa 170MPa
88 106
2
u
s
2
强度条件：
1 3
实践证明该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形 式简明。在对用塑性材料制成的构件进行强度计算时，经常采用这 个理论。但是该理论忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。 且该理论只适用拉、压许用应力相同的材料。
8
§ 7-2
四种常用的强度理论
如果由1与3所作应力圆与上述极限包络线相切或相交，则
表示材料要发生强度破坏。 在工程应用中，往往根据单轴拉伸和单轴压缩的强度试 验结果作两个极限应力圆定出公切线(直线)作为极限包络线。
22
§ 7-3
莫尔强度理论
Ⅱ. 莫尔强度理论的强度条件
在强度计算中需引入安全因数，故以材料在单轴拉伸时
的许用拉应力[t]和单轴压缩时的许用压应力[c]分别作出 许用应力圆，并以它们的公切线（许用包络线）作为建立复 杂应力状态下强度条件的依据。
1 1 1 2 3 u u E E
1 2 3
这一理论只对部分脆性材料(混凝土、石料等)受压破坏适用。 根据此理论，单向受拉比在复杂应力状态下(二向、三向)受拉更容 易破坏，这与实际不相吻合。所以用它来描述脆性材料破坏的一般 规律。
FS max S * za Izd
3
200 10 120 15 135 7.5 88 10 9
6
64.77 MPa
17
§ 7-2
四种常用的强度理论
根据第三或第四强度理论
r3 2 4 2
122.732 4 64.77 2 178.4MPa [ ] 170MPa
19
§ 7-3
莫尔强度理论
*§7-3 莫尔强度理论
莫尔强度理论不以某一力学因素(正应力，线应变，切 应力，形状改变能密度)达到其极限值作为材料发生强度破
坏的判据，而直接以材料在某些应力状态下强度试验结果
所建立的带有经验性的强度理论。在该理论中也不考虑中 间主应力2对材料强度的影响。
20
§ 7-3
max
FN max A
Tmax Wp
max
max
max
max
max
max
M max Wz
FS max S * z max max bI z
4
四种常用的强度理论
以上四种强度理论的强度条件，可以写成统一表达形式：
r [ ]
r1 1
r：称为相当应力。
r 2 1 ( 2 3 )
r3 1 3
r4
} 脆性材料
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
论的强度条件应为
t 1 3 t c
相应的相当应力表达式于是为
t rM 1 3 c
1 1 t 1 3 2 2 O2O1 O1O O2O 1 1 t c 2 2
25
§ 7-3
莫尔强度理论
将式(b)所列关系代入式(a)得
t 1 3 t c
根据此式导出的条件可知，式中的1,3实际上是所研究的 复杂应力状态下刚好满足强度要求的值，因而莫尔强度理
四、第四强度理论（形状改变能密度理论）
此理论认为：引起材料屈服的主要因素是形状改变能密度。即材料 无论在什么应力状态下，只要危险点处的形状改变能密度vd达到了 材料在轴向拉伸破坏时的形状改变能密度vd，就会引起屈服失效。 破坏条件： 强度条件：
1 1 2 2 2 2 vd [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 2 s 6E 6E
莫尔强度理论
其中：
O3 N O3 K O1L 1 1 1 3 t 2 2 O2 P O2 M O1 L 1 1 c t 2 2 O3O1 O1O O3O
注意：以上各式中[c]是指 绝对值， 1,3是指代数值。 (b)
任何复杂应力状态下，
以主应力1，3作出的应力 圆都不得与许用包络线相交， 而强度条件则以该应力圆与 许用包络线相切的条件来建 立。
23
§ 7-3
莫尔强度理论
根据图中的几何关系可见，任意应力状态下以1,3所作
应力图与许用包络线相切时有
O3 N O3O1 O2 P O2O1
(a)
24
§ 7-3
莫尔强度理论
Ⅰ. 莫尔强度理论的基本观点
按照材料在某些应力状 态下破坏时的主应力1,3可
作出一组应力圆——极限应
力圆(如图)，这组极限应力 圆有一条公共包络线(即极 限包络线，一般情况下为曲 线，如图中的曲线ABC和与
它对称的另一曲线)。
21
§ 7-3
莫尔强度理论
莫尔强度理论认为：对于某一给定的应力状态(1,2,3 )
7
§ 7-2
四种常用的强度理论
三、第三强度理论（最大切应力理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了 材料在轴向拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。 破坏条件：
max 13
1 3
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2
通过对几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验资料表明，形状改 变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理论更符合试 验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论复杂。
9
§ 7-2
85.4 MPa 100MPa
15
§ 7-2
四种常用的强度理论
3. 按强度理论校核Mmax和FSmax同时所在横截面上腹板
与翼缘交界处的强度（相当应力强度条件校核）
16
§ 7-2
四种常用的强度理论
M max ya 80 106 135 122.73 MPa 6 Iz 88 10
实验证明： １、脆性材料在承受拉应力而破坏时，理论与实验结果相一致， 而对塑性材料并不符合； ２、没有考虑其它两个主应力的影响； ３、对只有压应力而无拉应力的应力状态无法应用。
6
§ 7-2
四种常用的强度理论
二、第二强度理论（最大拉应变理论） 此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大拉应变。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大拉应变( max= 1)达到了 材料在轴向拉伸破坏时的极限拉应变u，就会引起材料断裂。 破坏条件： max 强度条件：
14
§ 7-2
四种常用的强度理论
2. 按切应力强度条件校核
S*zmax = 338×103 mm3
作梁的剪力图如图e， 最大剪力为FSmax=200 kN。 (e)
FS max S * z max max Izd
200 10 338 10 88 10 9
3 3 6
5
§ 7-2
四种常用的强度理论
§7-2 四种常用的强度理论
一、第一强度理论（最大拉应力理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大拉应力。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大拉应力(max=1)达到了材 料在轴向拉伸破坏时的极限应力u，就会引起材料断裂。 破坏条件： 强度条件： 1＝u 1 []
可得
r3 4 ， r4 3
12
§ 7-2
四种常用的强度理论
例题7-2-1 试全面校核图a,b,c所示焊接工字梁的强度，
梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为
Iz = 88×106 mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*zmax = 338×103 mm3；梁的材料Q235钢的许用应力为 [ ]＝170 MPa，[ ]＝100 MPa。
1
材料力学
Mechanics of Materials
长沙理工大学土建学院
文海霞
2017年12月7日星期四
2
第七章 强度理论
§7-1 概述 §7-2 四种常用的强度理论 §7-3 莫尔强度理论（了解）
3
§ 7-1
概述
§7-1 概述
一、强度理论的概念
1.简单应力情况 轴向拉压 圆轴扭转 梁的弯曲 强度条件 等截面杆
11
§ 7-2
四种常用的强度理论
五、梁的强度条件
1.正应力强度条件
3.梁的相当应力强度条件
1 2 2 2 2 02 max
t max t 即 c max c
3＝ －
2
2
2 ＋ 2
r4 2 3 2
122.732 3 64.77 2 166.3MPa [ ] 170MPa