第七章 强度理论

论的强度条件应为
t 1 3 t c
相应的相当应力表达式于是为
t rM 1 3 c
2
u
s
2
强度条件：
1 3
实践证明该理论对塑性材料比较符合，理论表达的强度条件形 式简明。在对用塑性材料制成的构件进行强度计算时，经常采用这 个理论。但是该理论忽略了中间应力2的影响，势必将要产生误差。 且该理论只适用拉、压许用应力相同的材料。
8
§ 7-2
四种常用的强度理论
14
§ 7-2
四种常用的强度理论
2. 按切应力强度条件校核
S*zmax = 338×103 mm3
作梁的剪力图如图e， 最大剪力为FSmax=200 kN。 (e)
FS max S * z max max Izd
200 10 338 10 88 10 9
3 3 6
max
FN max A
Tmax Wp
max
max
max
max
max
max
M max Wz
FS max S * z max max bI z
4
19
§ 7-3
莫尔强度理论
*§7-3 莫尔强度理论
莫尔强度理论不以某一力学因素(正应力，线应变，切 应力，形状改变能密度)达到其极限值作为材料发生强度破
坏的判据，而直接以材料在某些应力状态下强度试验结果
所建立的带有经验性的强度理论。在该理论中也不考虑中 间主应力2对材料强度的影响。
20
§ 7-3
11
§ 7-2
四种常用的强度理论
五、梁的强度条件
1.正应力强度条件
3.梁的相当应力强度条件
1 2 2 2 2 0

2
max
t max t 即 c max c
3＝ －
2


2
2 ＋ 2
实验证明： １、脆性材料在承受拉应力而破坏时，理论与实验结果相一致， 而对塑性材料并不符合； ２、没有考虑其它两个主应力的影响； ３、对只有压应力而无拉应力的应力状态无法应用。
6
§ 7-2
四种常用的强度理论
二、第二强度理论（最大拉应变理论） 此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大拉应变。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大拉应变( max= 1)达到了 材料在轴向拉伸破坏时的极限拉应变u，就会引起材料断裂。 破坏条件： max 强度条件：
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§ 7-2
四种常用的强度理论
§7-2 四种常用的强度理论
一、第一强度理论（最大拉应力理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大拉应力。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大拉应力(max=1)达到了材 料在轴向拉伸破坏时的极限应力u，就会引起材料断裂。 破坏条件： 强度条件： 1＝u 1 []
可得
r3 4 ， r4 3
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§ 7-2
四种常用的强度理论
例题7-2-1 试全面校核图a,b,c所示焊接工字梁的强度，
梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为
Iz = 88×106 mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*zmax = 338×103 mm3；梁的材料Q235钢的许用应力为 [ ]＝170 MPa，[ ]＝100 MPa。
莫尔强度理论
Ⅰ. 莫尔强度理论的基本观点
按照材料在某些应力状 态下破坏时的主应力1,3可
作出一组应力圆——极限应
力圆(如图)，这组极限应力 圆有一条公共包络线(即极 限包络线，一般情况下为曲 线，如图中的曲线ABC和与
它对称的另一曲线)。
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§ 7-3
莫尔强度理论
莫尔强度理论认为：对于某一给定的应力状态(1,2,3 )
莫尔强度理论
其中：
O3 N O3 K O1L 1 1 1 3 t 2 2 O2 P O2 M O1 L 1 1 c t 2 2 O3O1 O1O O3O
注意：以上各式中[c]是指 绝对值， 1,3是指代数值。 (b)
腹板与翼缘交界处
代入相当应力表达式： 2.切应力强度条件
max
max
FS max S * z max bI z
r3 1 3， r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
2 2 2 2


§ 7-1
概述
2.复杂应力情况
1
P
2
p
P
难以确定极限应力u
强度理论（强度学说）：
同一类破坏形式，有可能存在着共同的因素。若设法从材料破 坏的现象中总结出破坏的规律，找出引起破坏的决定性的共同因素， 那么复杂应力状态和简单应力状态都可以通过简单拉、压实验的测 试结果来建立强度条件。 关于引起材料破坏的决定性共同因素的假说，称为强度理论。 材料失效主要有断裂和屈服两种类型。
塑性材料和脆性材料
}
塑性 材料
t rM 1 3 c
rM：称为莫尔相当应力。
10
§ 7-2
四种常用的强度理论
五、利用强度理论解题的步骤
1、分析计算结构危险点处的应力； 2、确定主应力1 、 2 、 3 ； 3、选择适当的强度理论，计算相当应力r ； 4、进行强度校核r ≤[]或其它计算。
r4 2 3 2
122.732 3 64.77 2 166.3MPa [ ] 170MPa
由于按第三强度理论所得的误差不超过不到5%，因此满足 强度要求，此梁安全。
18
§ 7-2
四种常用的强度理论
作业：P762； P774 思考：P763； P775
第七章完
85.4 MPa 100MPa
15
§ 7-2
四种常用的强度理论
3. 按强度理论校核Mmax和FSmax同时所在横截面上腹板
与翼缘交界处的强度（相当应力强度条件校核）
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§ 7-2
四种常用的强度理论
Fra Baidu bibliotek
M max ya 80 106 135 122.73 MPa 6 Iz 88 10
1
材料力学
Mechanics of Materials
长沙理工大学土建学院
文海霞
2017年12月7日星期四
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第七章 强度理论
§7-1 概述 §7-2 四种常用的强度理论 §7-3 莫尔强度理论（了解）
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§ 7-1
概述
§7-1 概述
一、强度理论的概念
1.简单应力情况 轴向拉压 圆轴扭转 梁的弯曲 强度条件 等截面杆
四种常用的强度理论
以上四种强度理论的强度条件，可以写成统一表达形式：
r [ ]
r1 1
r：称为相当应力。
r 2 1 ( 2 3 )
r3 1 3
r4
} 脆性材料
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
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§ 7-2
四种常用的强度理论
解： 1. 按正应力强度条件校核
Iz = 88×106 mm4
作梁的弯矩图如图d， 最大弯矩为Mmax＝80 kN· m。
(d)
max
80 10 150
6
M max ymax Iz
136.4 MPa 170MPa
88 106
1 1 t 1 3 2 2 O2O1 O1O O2O 1 1 t c 2 2
25
§ 7-3
莫尔强度理论
将式(b)所列关系代入式(a)得
t 1 3 t c
根据此式导出的条件可知，式中的1,3实际上是所研究的 复杂应力状态下刚好满足强度要求的值，因而莫尔强度理
FS max S * za Izd
3
200 10 120 15 135 7.5 88 10 9
6
64.77 MPa
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§ 7-2
四种常用的强度理论
根据第三或第四强度理论
r3 2 4 2
122.732 4 64.77 2 178.4MPa [ ] 170MPa
1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2


通过对几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验资料表明，形状改 变能密度屈服准则与试验资料相当吻合，比第三强度理论更符合试 验结果。但是，其表达的强度条件形式较第三强度理论复杂。
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§ 7-2
1 1 1 2 3 u u E E
1 2 3
这一理论只对部分脆性材料(混凝土、石料等)受压破坏适用。 根据此理论，单向受拉比在复杂应力状态下(二向、三向)受拉更容 易破坏，这与实际不相吻合。所以用它来描述脆性材料破坏的一般 规律。
四、第四强度理论（形状改变能密度理论）
此理论认为：引起材料屈服的主要因素是形状改变能密度。即材料 无论在什么应力状态下，只要危险点处的形状改变能密度vd达到了 材料在轴向拉伸破坏时的形状改变能密度vd，就会引起屈服失效。 破坏条件： 强度条件：
1 1 2 2 2 2 vd [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 2 s 6E 6E
7
§ 7-2
四种常用的强度理论
三、第三强度理论（最大切应力理论）
此理论认为：引起材料破坏的主要因素是最大切应力。即材料无论 在什么应力状态下，只要危险点处的最大切应力( max= 13)达到了 材料在轴向拉伸破坏时的极限切应力u，就会引起屈服失效。 破坏条件：
max 13
1 3
如果由1与3所作应力圆与上述极限包络线相切或相交，则
表示材料要发生强度破坏。 在工程应用中，往往根据单轴拉伸和单轴压缩的强度试 验结果作两个极限应力圆定出公切线(直线)作为极限包络线。
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§ 7-3
莫尔强度理论
Ⅱ. 莫尔强度理论的强度条件
在强度计算中需引入安全因数，故以材料在单轴拉伸时
的许用拉应力[t]和单轴压缩时的许用压应力[c]分别作出 许用应力圆，并以它们的公切线（许用包络线）作为建立复 杂应力状态下强度条件的依据。
任何复杂应力状态下，
以主应力1，3作出的应力 圆都不得与许用包络线相交， 而强度条件则以该应力圆与 许用包络线相切的条件来建 立。
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§ 7-3
莫尔强度理论
根据图中的几何关系可见，任意应力状态下以1,3所作
应力图与许用包络线相切时有
O3 N O3O1 O2 P O2O1
(a)
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§ 7-3