材料力学第六章截面图形的几何性质_new

轴平行的窄条， d A 2 r 2 - y2 • d y
y
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 - y2 )d y 2 r3 3
dA
dy
yC
Sx A
2r 3
r 2
/ /
3 2
4r
3
yC
Cr
y
O
x
例6-2 求图示图形的形心。
10
解：将此图形分别为I、II、III三
部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线
h
2 -h
2
y 2bdy
bh3 12
dA hdz
b
Iy
z2dA
A
b
2 -b
2
z 2 hdz
hb3 12
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
I 300 II
取为x轴，则
III
yC
Ai yC i Ai
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xC=0
y y1 200
C O
10 150yC x1
x
[例6-3] 试确定下图的形心。
y 10
解 ： 组合图形， 图形分割及坐标如图
120 10
C1
C2 90
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
110105 9010 45 23(mm) 10110 9010
x
yyi
Ai
y 1
A1 y 2
A2
A
A1 A2
11010 65 90105 38(mm) 10110 9010
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
Ixy
xy d A
A
§I-1 截面的静矩和形心的位置
y
1.静矩 Sx A ydA
Sy AxdA
y
2.形心
yd A
yC
A
A
xdA
xC
A
A
3.形心与静 矩的关系
yC xC
Sx A
Sy A
或
Sx yC • A S y xC • A
dA
C
yC
x
O
xC
x
图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的百度文库矩为零。
4、组合图形的形心与静矩 （1）组合图形的静矩
（2）组合图形的形心
Sx Sxi Ai yCi
S y S yi Ai xCi
yC
Sx Ai
Ai yCi Ai
xC
Sy Ai
Ai xCi Ai
例6-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐
标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x
IP 2
1 2
r 2dA
A
1
d
2 r 2 2π
r dr
π
d4
20
64
IP
Iy 2
πd 4 32
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题3 y
dA
dy
已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz
解：取平行于x轴和y轴的微元面积
dA y h
C z dz
z
dA bdy
Iz
y2dA
A
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
O
I y
z 2dA
A
——图形对 y 轴的惯性矩
I z
y 2dA
A
——图形对 z轴的惯性矩
z
I yz
yzdA
A
——图形对 y z 轴的惯性积
IP
r 2dA
A
——图形对 O 点的极惯性矩
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力
作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y (本 节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例 如：
惯性矩 (moment of inertia) Ix A y2 d A，I y A x2 d A
惯性积 (product of inertia)
P=∑ΔPi
y
合力的作用线通过物体的重心， 由合力矩定理
C
C1
Ci
M y ( P ) M y (Δ Pi )
即 P xC Δ Pi xi
o
P
ΔP1
ΔPi
于是有 同理有
xC
Δ Pi xi P
x1
xC xi
x
yC
Δ Pi yi P
§6-1 截面的静距与形心位置
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面
第六章 截面图形的几何性质
§6-1 截面的静距与形心位置 §6-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 §6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
组合截面的惯性矩 §6-4 惯性矩和惯性积的转轴公式·
截面的主惯性轴和主惯性矩
第6章 截面的几何性质
为什么要研究截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理 形心主轴与形心主惯性矩 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 结论与讨论
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
z O
I y
z 2dA
A
I z
y 2dA
A
IP
r 2dA
A
IP Iy Iz
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题2 y
dA
dr
r C
d
已知：圆截面直径d
求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2π rdr
z
I y
Iz
第6章 截面的几何性质
为什么要研究截面的几何性质
为什么要研究截面的几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截面的几何形状有关。
x const.
FN
A
xdA
FN
x A dA FN
x
FN A
M x
IP
IP
2dA
A
重心和形心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
右图认为是一个平面力系，则
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz
A
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
dA
y
O
y1
a O´
I y1 A z12dA
z
I z1 A y12dA
I y1z1 A y1 z1dA
b
y1=y＋a
z1=z＋b
第6章 截面的几何性质
y
z
dA
A
ry
O
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
z iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
O
I y
z 2dA
A
＞0
I z
y 2dA
A
＞0
z
I yz
yzdA
A
＞0 或＜0
IP
r 2dA
A
＞0
第6章 截面的几何性质