专题02 乘法公式 【8年级数学 培优新帮手】
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
新人教版八年级乘法公式培优训练题及标准答案
新人教版八年级乘法公式培优训练题及答案一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2要注意等式的特点：（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．A．（a－b）（－a－b） B．（a2－b2）（a2＋b2）C．（a＋b）（－a－b） D．（b2－a2）（－a2－b2）解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（x2－y）（－y－x2）；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．解：（１）（x2－y）（－y－x2）＝（－y ＋x2）（－y－x2）＝(－y)2－（x2）2＝y2－x4；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）＝（a2－32）（a 2＋9）＝（a2－9）（a2＋9）＝a4－81 ．例３计算：（１）54.52－45.52；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看作公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．解：（１）54.52－45.52＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)＝100×9＝900 ；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式： (a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2＝9a2＋ 30a ＋ 25（２）（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2＋ 2（a－b）c + c2＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解:(1)1012 分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算.=1002+2×100×1+12=10201解: (2)992 分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算.=1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）992－98×100；（２）49×51－2 499 ．解：（１）992－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000 －200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10所以a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82－2× 10＝ 44(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－4× 10＝ 24 ．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(2) (3x+2)2-(3x-5)2(3) (x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)]=(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2；(2) a2+b2；解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.乘法公式平方差公式考点扫描:熟练掌握平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．名师精讲:1．平方差公式：(a+b）(a–b)=a2–b2．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘，而右边正好是这两个数的平方差．2．平方差公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．中考典例:1．（湖北武汉）观察下列各式(x–1)(x+1)=x2–1,(x–1)(x2+x+1)=x3–1，(x–1)(x3+x2+x+1)=x4–1，根据前面各式的规律可得(x–1)(x n+x n–1+…+x+1)=___________．考点：平方差公式的延伸评析：该题是一个探索规律性的试卷，要通过观察把握住给出的等式中的不变量和变量与变量间的变化规律．不难发现其结果为x n+1–1．真题专练:1．（广东省）化简：(x+y)(x–y)–x2=．2．（德阳市）化简：x2–(x+y)(x–y)答案：1、原式=x2–y2–x2=–y2 2、原式=x2–(x2–y2)=x2–x2+y2=y2完全平方公式考点扫描:熟练掌握完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行计算名师精讲:1．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍．2．公式中的字母a、b，可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．公式可推广：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍．3．如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式．如，a2±2ab+b2=(a±b)2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2，则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式．中考典例:1．（北京西城区）下列各式计算正确的是（）A、(x–1)2=x2–2x+1B、(x–1)2=x2–1C、x3+x3=x6D、x6÷x3=x2考点：完全平方公式及幂的运算性质评析：该题是考查学生对公式及幂的运算法则掌握的情况，所以解决此题就要对公式特别是完全平方公式及幂的运算法则掌握熟练，由完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2可以判定A对，B不对，由整式的加减可判定C不对，再根据同底数幂除法的法则确定D也不对，因此只有选A．说明：当该题确定A选项后，其他选项也可以不考虑，因为数学试卷中一般不会出现多选题．真题专练:1．(上海市)下列计算中，正确的是（）A、a3·a2=a6B、(a+b)(a–b)=a2–b2C、(a+b)2=a2+b2D、(a+b)(a–2b)=a2–ab–4b22．（湖南长沙）下列关系式中，正确的是（）A、(a–b)2=a2–b2B、(a+b)(a–b)=a2–b2．C、(a+b)2=a2+b2D、(a+b)2=a2–2ab+b2．3．（德阳市）已知x(x–1)–(x2–y)=–3求：的值．答案：1、B2、B3、由x(x–1)–(x2–y)=–3得x–y=3，==．当x–y=3时，原式=．在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、(a+b)(b-a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4 B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9 C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 D、(a+2)(a-4)=a2-83．(-x+2y)(-x-2y)的计算结果是（）A、x2-4y2B、4y2-x2C、x2+4y2D、-x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
初二数学 乘法公式
乘法公式平方差公式学习目标：1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.2．能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算.3．通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想.学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征.学习难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义.学习过程：一、联系生活,设境激趣问题一：王林到小卖部去买饼干, 售货员告诉他: 共4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时，王林马上说出了共15.96元，售货员很惊奇地问：“你怎么比计算器算的还快呢？”王林很得意的告诉她：这是一个秘密.同学们,你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗?二.观察概括,探索验证问题二：1．经过本节课的学习,我们就能揭开这一秘密了.请同学们计算下面三道题:(1)(x＋3)(x－3)；(2) (m＋5n)(m－5n)；(3) (4＋y)(4－y) .2．请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？观察发现：两数和乘以这两数的等于这两数的用一个数学等式表示为:（a＋b）（a－b）＝……平方差公式.3.这个等式正确吗?你怎样验证其正确性呢?⑴利用多项式乘以多项式计算:⑵你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试.图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ － ．具有简洁美的乘法公式:（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．三、理解运用，巩固提高问题三：1. 填一填:①2x+21）（2x-21）=（ ）2-（ ）2 = ②(3x+6y)(3x-6y)=( )2-（ ）2=③(m 3+5)(m 3-5)=( )2-（ ）2=2. 辨一辨:① (2x ＋3)(2x －3) =2x 2－9②(x ＋y 2)(x －y 2) = x 2－y 2③(a ＋b)(a －2b) = a 2－b 23.说一说：下列各式都能用平方差公式计算吗?①(2a －3b)(3b －2a) ②(－2a+3b) (2a+3b) ③(－2a －3b)(2a －3b) ④(2a －3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(－2a －3b) ⑥(2a －3b)(－3b+2a)4．做一做：（1）(a ＋3)( a －3) （2）(2a ＋3b)( 2a －3b) （3）(1＋2c)( 1－2c)（4）变式拓展:①（－2x －y ）（2x －y ） ②(-m+n)(-m-n) ③ (-2x-5y)(5y-2x)5．生活实践⑴计算：1998×2002⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗?⑶街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?四、实践应用，提高技能问题四：(用4分钟独立完成，看谁又快又准.)1.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（）A.（x-y）（x+y）B.（x-y）（y-x）C.（x-y）（-y+x）D.（x-y）（-x+y）2.比一比：①（5+6x）(5-6x）②（3m-2n）(3m+2n）③（ab+8）(ab-8）④（2x＋y）(－2x＋y) ⑤（－4a－0.1）(4a＋0.1）⑥(m+n)(m-n)+3n2⑦（-x +2）( -x－2) ⑧（－a+b）（a+b）3.请你独立完成课本P30练习，在经历训练中熟练运用公式运算．五、总结反思________________________________________________________________.完全平方公式学习目标：1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想.重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算.难点：对公式的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释.学习过程：一.温故知新,引入新知（1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？（2）口述多项式乘以多项式法则.（3）计算（2x－1）（3x－4）（5x＋3）（5x－3）二.自主学习，探求新知情景问题：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a＋b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？自主总结出公式，导入新课：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍用面积法检验公式：先观察右图，再用等式表示下图中图形面积的运算.三.理解运用，提高认识1．(a ＋b)2=a 2＋b 2对吗?为什么?2．仿照公式计算.（1）（x ＋y ）2 （2）（x - y ）2例1.计算：⑴（2a ＋3b ）2； ⑵（2）（2a ＋2b ）2 ⑶()22y x +- 例2.计算：（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2 （3）221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x （4）()252b a --注意：本例题是两数差的平方，可将（a －b ）看成是[a ＋(－b)]，就将减法统一成加法，即：()()2222222)()(2][b ab a b b a a b a b a +-=-+-+=-+=-，()2222b ab a b a +-=-在今后的计算中可直接应用.四.深入探究，活学活用例3.计算：⑴()()()22y x y x y x -+- ⑵()()()()221211513-+-+-+m m m m例4.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值。
八年级乘法公式知识点归纳
八年级乘法公式知识点归纳八年级是数学学科中非常重要的一年，因为这个年级的学生在学习数学的过程中，开始接触到乘法公式这个庞大而重要的领域。
乘法公式是数学中的一个非常基本的概念，它的学习对于数学知识的掌握具有非常重要的意义。
在这里，我们将对八年级学生需要掌握的乘法公式进行简要的归纳和总结。
一、分配律分配律是乘法公式中非常基础的一个概念。
它的表达式为a(b+c)=ab+ac。
这个公式的意思是，对于任意的一个数a以及两个数b和c，它们之间都具有一定的关系。
具体来说，当a与b+c相乘时，可以分别对b和c进行乘法运算，然后将两个结果加起来，得到的结果就是a与b+c的乘积。
这个公式的应用非常广泛，它不仅可以用来解决各种数学问题，在日常生活中也经常用到。
二、结合律结合律是乘法公式中比较重要的一个概念。
它的表达式为(a*b)*c=a*(b*c)。
这个公式的意思是，对于任意三个数a、b和c，它们可以按照不同的顺序进行乘法运算，但是最终的结果永远是一样的。
具体来说，这个公式可以帮助我们简化复杂的乘法运算，提高计算的效率。
三、乘幂乘幂是乘法公式中比较深奥的一个概念。
它通常用来表示一个数除以另一个数的指数次方。
表达式为a^n=a*a*a...*a^n次方。
这个公式的应用非常广泛，它可以用来求解各种数学问题，例如计算八次方、九次方等等。
四、基本定理基本定理是乘法公式中非常重要的定理之一。
这个定理可以用来分解因数，表达式为a*b=c，其中a和b是c的因数。
这个定理的意思是，任意一个数都可以被分解成两个因数相乘的形式。
这个定理虽然看似简单，但是它对于数学知识的掌握有着非常深远的影响。
五、乘数乘数是乘法公式中非常基础的概念之一。
乘数通常用来表示一个数与另一个数相乘的结果。
这个概念对于数学知识的掌握非常重要，因为在乘法运算中，乘数是非常基础的一部分。
六、倍数倍数是乘法公式中非常基础的概念之一。
倍数通常用来表示一个数是另一个数的几倍。
新人教版八年级上册数学[乘法公式(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -． (3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -． (4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -． (5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -． 【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--；（3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-． 2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4． 类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化． 4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5，∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、（2016春•常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy 的值；（2）求x 2+y 2+4xy 的值．【思路点拨】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x +y=3代入，即可求出答案；（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【答案与解析】解：（1）∵x +y=3，（x +3）（y +3）=xy +3（x +y ）+9=20，∴xy +3×3+9=20，∴xy=2；（2）∵x +y=3，xy=2，∴x 2+y 2+4xy=（x +y ）2+2xy=32+2×2=13．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．举一反三：【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值． 【答案】解：由2()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ② ①＋②得222()11a b +=，∴ 22112a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34ab =．。
初二数学知识点专题讲解与练习2---乘法公式(培优版)
A．正数
B．负数
C．非负数
D．可正可负
．若 则 的值是（ ） 9 x − y = 2, x2 + y2 = 4, x1992 + y1992
．A 4
．B 19922
．C 21992
．D 41992
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（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列．如果原队列中增加 120 人，就能
例 4 71 提示：由 a＋b＝1， a2 ＋ b2 ＝2 得 ab＝－ 1 ，利用 an+1 ＋ bn+1 ＝（ an ＋ bn ）（a＋
8
2
b)－ab( an−1 ＋ bn−1 )可分别求得 a3 ＋ b3 ＝ 5 ，a4 ＋ b4 ＝ 7 ，a5 ＋ b5 ＝ 19 ，a6 ＋ b6 ＝ 26 ，a7 ＋
对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
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【例 3】计算下列各题： （ ） ； 1 6(7 +1)(72 +1)(74 +1)(78 +1) +1
（天津市竞赛试题）
（ ） ； 2 1.234 52 + 0.765 52 + 2.469× 0.765 5
（“希望杯”邀请赛试题）
3．13 4．156 5．D
6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41 有 6 个正因数，分别是 1，7，41，49，287 和 2009，因此对应的方程组为： x + y = −1,−7,−41,−49,−287,−2009,1,7,41,49,287,2009; x − y = −2009,−287,−49,−41,−7,−1,2009,287,49,41,7,1. 故（x，y）共有 12 组不同的表示． 7．B 8．C 9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为 1954 不能被 4 整除．
八年级乘法公式
八年级乘法公式八年级的同学在数学学习中，乘法公式可是个重要的家伙！咱们今天就来好好聊聊它。
还记得我以前教过的一个班级，有个叫小明的同学。
有一次上课，我讲到乘法公式，他一脸迷茫，感觉这东西就像外星密码一样难以理解。
我就问他：“小明，你觉得哪里不懂呀？”他挠挠头说：“老师，这公式看着就头疼，怎么能记住还会用啊？”我笑着告诉他：“别着急，咱们慢慢来。
”乘法公式主要包括平方差公式和完全平方公式。
先来说说平方差公式，那就是$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
这就好比两个队伍在打架，一个队伍是$(a+b)$，另一个队伍是$(a - b)$，它们打一架的结果就是前面那个大队伍里的“老大”$a$的平方，减去后面那个队伍里的“老二”$b$的平方。
比如说，计算$(3 + 2)(3 - 2)$，那就是$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$。
这多简单呀！再看看完全平方公式，有$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$和$(a - b)^2 =a^2 - 2ab + b^2$。
这两个公式就像是给一个房子装修。
如果是$(a +b)^2$，那就是给一个原本面积是$a^2$的房子，在两边分别加上长为$a$、宽为$b$的两个房间，所以就多了$2ab$的面积，房子总面积就变成了$a^2 + 2ab + b^2$。
举个例子，计算$(2 + 3)^2$，那就是$2^2 + 2×2×3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25$。
在实际解题中，乘法公式的用处可大了。
比如说，化简式子$(x +2y)(x - 2y) + (x + 2y)^2$。
咱们先用平方差公式算前面那部分，得到$x^2 - 4y^2$，再用完全平方公式算后面那部分，得到$x^2 + 4xy +4y^2$，然后把它们加起来，就是$2x^2 + 4xy$。
学习乘法公式不能死记硬背，得多多练习。
就像学骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但多骑几次就能掌握平衡，熟练上路啦。
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
八年级乘法公式的知识点
八年级乘法公式的知识点八年级数学学科的学习，重点是学习乘法公式的知识点。
乘法公式包括分配律、结合律、交换律和消去律四个方面，本篇文章将会针对乘法公式的知识点进行详细介绍。
一、分配律分配律是指乘法在加法之间分配的法则。
具体来说，乘法运算的结果可以用两个加法运算代替，即a×(b+c)=a×b+a×c，或(a+b)×c=a×c+b×c。
例如：5×(3+4)=5×3+5×4=15+20=35，或(3+2)×6=6×3+6×2=18+12=30。
二、结合律结合律是指乘法可以按任意顺序进行结合的属性，也就是说，a×(b×c)=(a×b)×c或(a×b)×c=a×(b×c)。
例如：4×(3×5)=(4×3)×5=12×5=60，或者(2×5)×6=2×(5×6)=60。
三、交换律交换律是指乘法可以改变它们的顺序，也就是说:a×b=b×a。
例如：4×5=5×4。
四、消去律消去律是指在等式两边同时乘以同一非零数后，结果不变，即a×b=a×c，则b=c；或者b×a=c×a，则b=c。
例如：3×10=4×7，则10/4=7/3。
本篇文章介绍了八年级乘法公式的知识点，包括分配律、结合律、交换律和消去律四个方面，掌握这些知识点对于学习数学来说非常重要。
希望本文能够给你带来帮助。
八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()24b -≥0，x ≥y ．（2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．例3 （1）167 （2）4 （3）－5050例4718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718．例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2231n n ++ （2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001．例6（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝21-，∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）， ∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝61． （2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a ∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++ ＝4－2()[])(22c b a abc ac bc ab ++-++＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．A 级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.1208,120822m x m xm ，n 均为正整数，且m ＞n ，①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324⨯⨯．2m ，2n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩⎨⎧==416n m8x ＝2m －120＝904或8x ＝2m －120＝136．11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）． 所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2120042003+⨯．第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()221++n n ．证明略B 级 1．1．0942．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝10 3．13 4．156 5．D6.C 提示：（x ＋y ）（x －y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：⎩⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（x ，y ）共有12组不同的表示． 7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为AB ，由已知得22BA AB -＝2k （k 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而11A B +=⎧11A B +=⎧解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩，即所求两位数为65，5611. 设2222x y a bx y a b+=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x by a =⎧⎨=⎩2003200320032003x y a b ∴+=+12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数 （2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不是神秘数。
八年级数学 乘法公式
八 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间： 11.29一、知识梳理 1、平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即22()()a b a b a b +-=- 2、弄清公式的各种变异形态（1）位置变异 ()()b a b a a b +-+=-22； （2）符合变异.)())(())((2222b a b a b a b a b a b a +-=--=-+-=---；（3）系数变异 （4）复杂变异222249)2()3()23)(23(b a b a b a b a -=-=-+； [][]()()()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b bc c a b bc c +--+=+---=--=--+=-+-2222222222（5）公式的逆向运用，即将该公式逆过来应用：a b a b a b 22-=+-()()2、完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 或 2222)(b ab a b a +±=±两数和的平方推广 计算2()a b c ++拓展延伸：几个数的和的平方，变形成两个数的和的平方，•等于它们的平方和加上每两个数的乘积的2倍，例如22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++. 二、典型例题考点1 平方差公式 ★运用公式解决有关问题 例1、计算：（3a －5b ）（3a ＋5b ）例2. 计算2006200720052-⨯例3. 计算()()3232m n m n ---例4. 计算()()x y x y ++-+-2121注意：“整体思想”的运用，灵活解题[变式练习] 1、计算：（1）)a 2b 3)(b 3a 2(-+； （2）)y 2x )(y 2x (---；（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b 21a 21)b 2a 2(； （4）)c b a )(c b a (--++；2、（1）20082007200620073⨯⨯-；（2）计算：（x －3y ＋2z ）（x ＋3y －2z ）考点2 完全平方公式 例5 计算：（－2x ＋5y ）2例6 计算：（a －2b ＋5c ）2例7 计算20022004200320032⨯-.综合点 a b +、ab 和22a b +之间的关系例8 已知22()7,()4a b a b +=-=，求22a b +，ab 的值.[变式练习]1.计算21001999997⨯-. 2.已知226,8x y x y +=+=，求12xy 的值.三、巩固练习 一、填空题1. ()()a b a b -+--= .2. 已知1x y +=，那么21x 2+xy+21y 2的值为 . 3. 2996995997-⨯= .4. 22(21)(21)x x +-= . 5. 若14x x -=，则221x x+= .6.方程组⎩⎨⎧=+=-5,1522y x y x 的解为 .二、选择题7. 若a 的值使得224(2)1x x a x ++=+- 1成立，则a 的值为( ) A.5B.4C.3D.28． 若25(6)0x y xy +-+-=，则22x y +的值为( ) A.13B.26C.28D.379． 如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长(x ＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )A ．7x y +=B. 2x y -=C. 4449xy -=D. 2225x y +=三、解答题10.解方程：22(32)(32)215(52)x x x x -++=+-.11．计算：(23)(23)a b c a b c +---.12.先化简，再求值：222()(2)(2)(2)x y x y x y y x +-+---，其中12,2x y =-=-.。
新人教版八年级乘法公式培优训练题与答案
新人教版八年级乘法公式培优训练题及答案一、平方差公式：（a+b ） (a-b)=a 2 -b 2要注意等式的特色：（1 ）等式的左侧是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2 ）等式的右侧是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b 能够表示数，也能够是单项式或多项式．平方差公式能够作为多项式乘以多项式的简易公式，也能够逆用做为迅速计算的工具．例１以下各式中不可以用平方差公式计算的是（）．A．（ a－b ）（－ a －b ）C．（a＋b ）（－ a －b ）B．（a 2－ b2）（a2＋b 2）D．（b 2－ a 2）（－ a 2－b 2）解：Ｃ．依据上边平方差公式的构造特色，Ａ中，－ b 是相同的项， a 与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－ b 2与 b2是互为相反数切合公式特色；相同Ｄ也切合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不切合上述的等式的特色，所以不行使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（ x2－y ）（－ y －x 2）；（２）（ a－ 3）（a 2＋9 ）（ a＋ 3 ）．解：（１）（ x2－y ）（－ y －x 2）＝（－ y ＋ x2）（－ y －x 2）＝(－y)2－（ x 2）2＝y2－ x4；（２）（ a－ 3）（a 2＋9 ）（ a＋ 3 ）＝（ a－ 3）（a ＋3 ）（a2＋ 9 ）＝（ a2－ 3 2）（a 2＋9 ）＝（ a2－9 ）（a2＋9 ）＝a4－ 81．例３计算：（１） 54.5 2－45.5 2；（２） (2x 2 +3x+1)(2x 2-3x+1) ．剖析：（１）中的式子拥有平方差公式的右侧的形式，能够逆用平方差公式；（２）固然没有显然的切合平方差公式的特色，值得注意的是，平方差公式中的字母 a ，b 能够表示数，也能够是单项式或多项式，我们能够把2x 2 +1 看作公式中字母 a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差能够简化整式的计算．解：（１） 54.5 2－45.5 2＝（ 54.5 ＋ 45.5 ）(54.5 －45.5)＝100 ×9＝900 ；（２） (2x 2 +3x+1)(2x 2-3x+1)=(2x 2+1) 2 -(3x) 2=4x 4 +4x 2 +1-9x 2 =4x 4 -5x 2 +1二、完整平方公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a－b) 2＝a 2－2ab ＋b 2．二项式的平方，等于此中每一项（连同它们前方的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完整平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在相关代数式的变形和求值中应用宽泛．正确运用完整平方公式就要抓住公式的构造特色，经过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防备出现（2 2 2a＝±ab±b），或（ a－ b）2＝a 2－2ab － b 2等错误．需要指出的是，好像前方的平方差公式相同，这里的字母 a，b 能够表示数，也能够是单项式或多项式．例１利用完整平方公式计算：（１）（－ 3a －5 ）2；（２）（a－b＋c）2．剖析：相关三项式的平方能够看作是二项式的平方，如（a－b ＋ c）2＝[（a － b）＋ c]2或[a －（ b－ c） ]2，经过两次应用完整平方公式来计算．解：（１）（－ 3a － 5）2＝（－ 3a ）2－ 2×（－ 3a ）× 5 ＋ 5 2＝9a 2＋ 30a＋25（２）（ a－ b＋ c）2＝[（a－b ）＋ c]2＝（ a－ b）2＋ 2 （a－b ）c + c 2＝a 2 －2ab ＋b 2＋2ac －2bc + c 2＝a 2 ＋b 2 + c 2＋ 2ac －2ab －2bc ．例２利用完整平方公式进行速算.(1)101 2(2)99 2解:(1)101 2 剖析 :将 101 2变形为 (100+1) 2原式可=(100+1) 2 利用完整平方公式来速算 . =100 2 +2× 100 × 1+1 2=10201解: (2)99 2 剖析 :将 99 2变形为 (100-1) 2原式可=(100-1) 2 利用完整平方公式来速算 .=100 2 -2× 100 × 1+1 2=9801例３计算：（１）99 2－ 98× 100；（２）49× 51－2 499．解：（１） 99 2－ 98 × 100＝（ 100 －１）2－ 98 × 100＝100 2－２× 100 ＋１－9800＝10000－200 －9800 ＋１＝１；（２） 49 × 51 －2499＝（ 50 －1 ）（50 ＋１）－ 2499＝2500 － 1 －2499＝０．例４已知 a ＋ b＝ 8 ，ab ＝ 10 ，求 a 2＋ b 2，（a－b ）2的值．剖析：由前方的公式变形能够知道： a 2＋ b 2＝(a＋ b) 2－2ab ，(a－ b)2＝ (a ＋b)2－ 4ab ．解：因为 a 2＋ b 2＝(a＋b) 2－2ab ，(a－b) 2＝(a＋ b) 2－ 4ab ．而 a＋b ＝8 ，ab ＝10所以222 2a＋b＝(a＋b)－2ab＝8－2× 10＝44三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x 2+1)(x 4 +1) (2) (3x+2) 2 -(3x-5) 2 (3) (x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y) 2(2x-3y) 2(5) (2x+3) 2 -2(2x+3)(3x-2)+(3x-2) 2(6) (x 2 +x+1)(x 2 -x+1)解： (1) 原式 =(x 2 -1)(x 2+1)(x 4 +1)=(x 4-1)(x 4 +1)=x8 -1.(2)解法 1 ：原式 =(9x 2 +12x+4) -(9x 2 -30x+25) =9x 2 +12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法 2：原式 =[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)]=(6x- 3) ×7=42x-21.(3)原式 =[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2 -(2y-1) 2=x2 -(4y 2 -4y+1)=x2 -4y 2+4y-12(4)原式 =[(2x+3y)(2x-3y)]=(4x 2-9y 2 )2=16x 4 -72x 2 y 2+81y 4(5)原式 =[(2x+3) -(3x-2)] =(-x+5) 2=x2 -10x+25(6)原式 =[(x 2+1)+x][(x =(x 2+1) 2 -x 2 =(x 4+2x 2 +1) -x 2=x4 +x 2 +12 ．已知： a+b=5, ab=3 22+1) -x]，求： (1) (a-b) 2；(2) a 2 +b 2；解： (1) (a-b) 2 =(a+b) 2 -4ab=52 -4×3=13(2)a 2+b 2 =(a+b) 2 -2ab =52 -2×3=19.乘法公式平方差公式考点扫描 :娴熟掌握平方差公式，灵巧运用平方差公式进行计算．名师精讲 :1 ．平方差公式： (a+b ）(a–b)=a 2– b2．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．平方差公式的左侧是两个数的和与这两个数的差相乘，而右侧正好是这两个数的平方差．2 ．平方差公式中的字母a、b 能够是详细的数，也能够是单项式或多项式．中考典例 :1 ．（湖北武汉）察看以下各式(x – 1)(x+1)=x 2–1,(x –1)(x2 +x+1)=x 3–1 ，(x– 1)(x3 +x2 +x+1)=x 4–1 ，根据前面各式的规律可得(x– 1)(x n +x n–1 + +x+1)=___________ ．考点：平方差公式的延长评析：该题是一个探究规律性的试题，要经过察看掌握住给出的等式中的不变量和变量与变量间的变化规律．不难发现其结果为x n+1–1 ．真题专练 :1 ．（广东省）化简： (x+y)(x –y)– x2 =．2 ．（德阳市）化简： x 2–(x+y)(x –y)答案：1 、原式 =x 2– y2–x 2=–y 2 2 、原式 =x 2– (x2– y2 )=x 2– x2 +y2 =y2完整平方公式考点扫描 :娴熟掌握完整平方公式，灵巧运用完整平方公式进行计算名师精讲 :1 ．完整平方公式：（ a± b）2 =a2± 2ab+b 2，即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或许减去）它们的积的 2 倍．2 ．公式中的字母 a、b ，能够是详细的数，也能够是单项式或多项式．公式可推行： (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c2 +2ab+2ac+2bc．即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍．3．假如一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完整平方式．如， a 2± 2ab+b 2 =(a± b)2； a2 +b 2 +c2 +2ab+2ac+2bc=(a+b+c) 2 ，则a2± 2ab+b 2和 a 2+b 2 +c 2+2ab+2ac+2bc 就叫做完整平方式．中考典例 :1 ．（北京西城区）以下各式计算正确的选项是（）A、(x– 1) 2=x 2– 2x+1 B 、 (x –1)2 =x 2–13 3=x 6 6 3 2C、x +x D 、 x ÷x=x考点：完整平方公式及幂的运算性质评析：该题是考察学生对公式及幂的运算法例掌握的状况，所以解决本题就要对公式特别是完整平方公式及幂的运算法例掌握娴熟，由完整平方公式2 2± 2ab+b 2能够判断 A 对， B 不对，由整式的加减可判断 C 不对，再(a ± b)=a依据同底数幂除法的法例确立 D 也不对，所以只有选A．说明：当该题确立 A 选项后，其余选项也能够不考虑，因为数学试题中一般不会出现多项选择题．真题专练 :1． (上海市 )以下计算中，正确的选项是（）3 2 6 2– b 2A、a ·a =a B 、(a+b)(a –b)=aC、(a+b) 2 =a2 +b 2 D 、 (a+b)(a –2b)=a 2– ab –4b 22 ．（湖南长沙）以下关系式中，正确的选项是（）A、(a– b)2 =a 2– b 2 B 、 (a+b)(a –b)=a 2–b 2．C、(a+b) 2 =a2 +b 2 D 、(a+b) 2 =a2–2ab+b 2 ．3 ．（德阳市）已知x(x –1)– (x 2–y)= – 3求：的值．答案：1、B2、B3 、由 x(x –1)–(x 2–y)= –3 得 x –y=3 ，==．当 x – y=3 时，原式 =．在线测试选择题1 ．在以下多项式的乘法中，能够用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x) B 、(a+b)(b-a)C、(-a+b)(a-b) D 、 (x 2-y)(x+y2)2 ．以下各式计算正确的选项是（）A、(a+4)(a-4)=a 2-4 B 、 (2a+3)(2a-3)=2a 2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a 2b 2-1 D 、 (a+2)(a-4)=a 2 -83 ．(-x+2y)(-x-2y) 的计算结果是（）A、x 2-4y 2 B 、4y 2 -x 2C、x 2+4y 2 D 、-x 2 -4y 24． (abc+1)(-abc+1)(a 2 b 2c 2 +1) 的结果是（）。
初中数学 乘法公式(二)
乘法公式一、知二推二知二推二是完全平方公式的经典应用，其中蕴含了方程的思想．①()()()()a b a b a b a b ab a b ab 222222++-+==+-2=-+22②()()()()()a b a b ab a b ab a b a b 2222222-=+-2=+-4=2+-+ ③()()()()()()a b a b a b a b a b a b ab 22222222+-++--+--===224 ④()()()()()a b a b ab a b ab a b a b 2222222+=++2=-+4=2+-- 二、高次型的知二推二①222222442222222222()+()()2()22a b a b a b a b a b a b a b +-+==+-=-+②222442224422222222()()(()()()224）a b a b a b a b a b a b a b +-+--++--===- ③2244222222244222()()2()42()()a b a b a b a b a b a b a b +=++=-+=+--④2244222222244222()()2()42()()a b a b a b a b a b a b a b -=+-=+-=+-+ 三、倒数型的知二推二（知一推二） ①②③【注】关于1a a +的变形中有一个隐含条件11a a ⋅=，因此已知221a a +、1a a+和1a a -中的任意一个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”．222211142a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211122a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211142a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭模块一知二推二例题1aba b a b22a b11aa1aa221a a22a b 22a b 22a b 44a b笔记区填空：（1）()a b a b222+=+-________；（2）()a b a b222+=-+________；（3）[]______________a b221+=+2；（4）()()_______a b a b22-=+-；（5）_________________________ab===．【解析】（1）2ab；（2）2ab；（3）[()()]a b a b a b22221+=++-2；（4）4ab；（5）[()]a b a b2221+--2，[()]a b a b2221+--2，[()()]a b a b221+--4．【提示】回归完全平方公式，从中总结出的以下四个量：a b+、a b-、a b22+、ab．（1）已知x y22+=25，x y+=7，且x y>，则x y-=____________．（2）已知a b-=3，ab=-1，则a b22+=_______．【解析】（1）1；（2）7．（1）已知x y xy22++=19，x y+=5，求x y-．（2）已知()x y2+=17，()x y2-=3，求y xx y+．【解析】（1）x y xy22++=19，()x y xy2∴+-=19x y+=5，xy∴=6()()x y x y xy22∴-=+-4=1，x y∴-=±1；（2）()x y2+=17，()x y2-=3()()x y x yxy22+--7∴==42()x y x y xy222+=+-2=10y x y xx y xy22+20∴+==7【提示】知二推二的基本应用，结合公式求解．例题2例题3（1）已知x y 44+=17，x y 22+=5，则x y 22-=____________．（2）已知a b 22-=3，ab =-2，则a b 44+=_______，a b 22+=______．【解析】（1）±3；（2）17，5．【提示】注意和基本的知二推二的区别在于正负的取值．（1）已知：x y -=5，xy =3，求：①()()x y -3+3；②x y 22+；③x y 44+．（2）已知x y +=4，xy =2，求x y 44+．【解析】（1）①()()()x y xy x y -3+3=+3--9=9；②()x y x y xy 222+=-+2=31； ③()x y x y x y 4422222+=+-2=943． （2）x y +=4，()x y x y xy 222∴+=+-2=12， xy =2，()x y x y x y 4422222∴+=+-2=136．【提示】从一次到二次再到高次．（1）已知24x y +=，1xy =，求338x y +的值．（2）已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．（3）已知1x y -=，332x y -=，求44x y +和55x y -的值．（4）已知1x y +=，222x y +=，求66x y +的值．【解析】（1）()()x y x y x y x y 3333+8=+2-3⋅2+2=4-6⨯1⨯4=40．（2）由()()x y x y xy x y xy 333+=+=3+=1000-30=100，解得xy =30，()x y x y xy 222∴+=+-2=100-2⨯30=40．模块二 高次型的知二推二例题4例题5例题6笔记区（3）由()()x y x y xy x y xy333-=-+3-=1+3=2，解得xy1=3，()[()]()x y x y x y x y xy xy442222222223∴+=+-2=-+2-2=9，()()()x y x y x y x y xy55443323129-=+-+-=⨯1+2⨯=939．（4）由题意知，[()()]xy x y x y22211=+-+=-22，()()x y x y x y x y662232222113∴+=+-3+=8-3⨯⨯2=42．【提示】公式：1122()()()n n n n n nx y x y x y x y xy-----=+-+-．（1）已知aa221+=7，则aa1+=________．（2）已知aa1+=2，则______aa221+=，aa1-=_________．【解析】（1）∵aa221+=7，∴aa221++2=9，即aa21⎛⎫+=9⎪⎝⎭，aa1+=±3；（2）2，0．【提示】常考的基本题型．已知：x x2-7+1=0，求：（1）xx1+；（2）xx221+；（3）xx x242++1；（4）xx441+的值．【解析】（1）∵x x2-7+1=0，∴x≠0，∴x xx2-7+1=0，即xx1+=7；（2）∵xx1+=7，∴xx221++2=49，∴xx221+=47；（3）xx x xx2422211==1++148+1+；（4）∵xx221+=47，∴xx441++2=2209，∴xx441+=2207．【提示】倒数型的知二推二变形：由低次到高次的推导．模块三倒数型的知二推二例题7例题8（1）已知=3||x x 1+，则x x x 242=++1________．（2）已知||a a 1+-5=，则a a a 242=2+3+2________．【解析】（1）由题意得，x ≠0．①当x >0，则由题意，x x 1+=3，x x 221++2=9， ∴x x221+=7．∴x x x x x 2422211==1++18+1+．②当x <0时，则由题意，x x 1-=3，x x221+-2=9，∴x x 221+=11．∴x x x x x2422211==1++112+1+．∴原式1=8或112． （2）由题意得，||=a a 1+-5，∴a <0．原式1=57． 【提示】注意挖掘隐含条件，分类讨论思想．例题9笔记区（1）已知x y22+=13，x y+=5，则x y-=____________．（2）已知x y+=5，x y-=1，则xy=__________．【解析】（1）±1；（2）6．已知实数a、b满足()a b2+=1，()a b2-=25，求a b ab22++的值．【解析】()()a b a ba b2222++-+==132，()()a b a bab22+--==-64，a b ab22++=7．（1）已知x y44+=25，x y22+=7，则x y22-=____________．（2）已知x y+=5，xy=4，求x y44+．【解析】（1）±1；（2）x y+=5，()x y x y xy222∴+=+-2=17，xy=4，()x y x y x y4422222∴+=+-2=257．（1）已知：aa1+=3，则aa221+=________．（2）已知aa221+=3，则aa1-的值为________．【解析】（1）7；（2）±1．复习巩固演练1演练2演练3演练4已知x x 2+3+1=0，求值：（1）x x 2-2+；（2）x x x 242++1．【解析】（1）x x 2+3+1=0，∴x ≠0，∴x x x 2+3+1=0，即x x1+=-3，x x x x 22-21⎛⎫∴+=+-2=7 ⎪⎝⎭；（2）x x x x x 2422211==1++18+1+．已知||=x x 1+-5，则x x x 242=++1________．【解析】由题意得，||=x x 1+-5，∴x <0，原式1=28． 演练5演练6。
初中数学乘法公式
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b ) (a-b ) =a 2-b 2说明:（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a的大形中有一个边长为b的小形。
第一种：用形的面积公式计算：a2- b2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（ a + b),苑为(a— b), 它的面积是：（a + b）（a—b）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a — b= (a + b) (a — b)。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a和b,可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即(a+b ) 2=a 2+2ab+b 2, (a-b ) 2=a 2-2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明:（1）几何解释完全平方（和）公式如图用多种形式计算右图的面积第一种: 把图形当做一个形来看，所以a2它的面积就是：（a+ b）第二种: 把图形分割成由2个形和2个相同的长方形来看，其形的的边长是a,小形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以它的面积就是：a2+ ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：(a+ b) 2 = a2+ 2ab + b2(2)几何解释完全平方(差)公式如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种：把阴影部分当做一个形来看，所以(a-b )2 它的面积就是：第二种：把图形分割成由2个形和2个相同的b*长方形来看，S阴影S大正方形-S小正方形-2 集方形其形的的边长是a,小形的边长是b,长方形的长是(a-b )，宽是b,所以它的面积就是：a2 b2 2 a b b a2 2ab b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：a b 2 a2 2ab b2(3)在进行运算时，防止出现以下错误：(a+b ) 2=a 2+b 2, ( a-b ) 2=a 2-b 2。
乘法公式培优专题-2
现在出发，准备好了吗？提问开始，你们都要回答。
跟上节奏，启动查克拉。
ARE YOU READY？LET‘S GO！初中数学竞赛专题——乘法公式石狮一中黄约翰一、内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5. 由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被（a－b）整除,a2n+1+b2n+1能被（a+b）整除,a2n－b2n能被（a+b）及（a－b）整除。
初二数学 乘法公式
乘法公式填空:1、平方差公式:两个数得与这两个数得得积,等于这两个数得。
字母表达式: 、公式中得字母可以就是,也可以就是。
2、完全平方与公式:两数得平方等于它们得平方与,加上它们得乘积2倍、字母表达式: 。
这个公式也叫做两数得完全平方公式。
3、完全平方差公式:两数得平方等于它们得平方与,减去它们得乘积2倍、字母表达式: 。
这个公式也叫做两数得完全平方公式、4、完全平方公式得口诀:首,尾,积得2倍在中央。
公式中得字母可以就是,也可以就是。
５、添括号法则:如果括号前面就是正数,括到括号里得各项都;如果括号前面就是负号,括到括号里得各项都。
可以简记为:要变都变,要不变都。
以下变形公式需要熟记:①②③④⑤一、填空1、(ｍ－２)(ｍ+２)＝,(２ｘ+3y)(-3y+2x)= ,(x—2y)(２ｙ－x)=２、(x＋y)(ｘ—y)( )=x4－2x2y2+y4,(x2+２ｘ－１)(－２x＋1＋x2)= ,3、4m2＋＋9＝( 2m＋)2 ,9x2－＋81=(３x- )2—16x2+ —9y2=－(４ｘ+ )2,3x2++12y2=3( )２( )－2４a2c２＋( )=( -4c2)2,( ＋5n)２=９m２+ + ,二、解答题:6、利用平方差公式计算:①②③④⑤7、利用完全平方公式计算:①②③④⑤⑥８、用适当得方法计算(1)(－a-2b)2(2)(－a+３b)(a－3ｂ)(3))(3x m＋2y n+4)(３xｍ+２y n－4) (４)(m+ｎ)(m－n)(m２－n２)(５))(x2+x+6)(ｘ2－ｘ+6) (6) (9—a２)2—(3—a)(３－a)(9＋ａ)2 (７)(ａ+b－c)(ａ—ｂ+c)-(a-b—ｃ)(a+b＋ｃ)(8)(３x＋2)2－(３x－２)２+(3ｘ+2)２(３x－2)2９、按要求把多项式添上括号:①把前两项括到前面带有“+"号得括号里,后两项括到前面带有“－"号得括号里;②把后三项括到前面带有“—”号得括号里;③把四次项括到前面带有“+"号得括号里,把二次项括到前面带有“—”号得括号里;１0、计算:1１、计算:12、计算:１3、计算:14、计算:15、16、１7、计算:18、0222=---++bc ac ab c b a c b a ABC 满足、、的三边长已知△,试判断得形状？ 1９、①就是用完全平方计算得结果,求b 得值？②就是完全平方式,求m 得值?2０、21、22、计算:23、2４、简算:① ②③2５、解方程:２６、⑴。
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专题02 乘法公式
阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；
5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．
例题与求解
【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因2
2
()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．
【例2】（1）已知,a b 满足等式2
2
20,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )
A ．x y ≤
B ．x y ≥
C ．x y <
D ．x y >
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知,,a b c 满足2
2
2
27,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
【例3】计算下列各题：
（1） 2
4
8
6(71)(71)(71)(71)1+++++；
（天津市竞赛试题） （2）2
2
1.23450.7655
2.4690.7655++⨯；
（“希望杯”邀请赛试题）
（3）2
2
2
22222(13599)(246100)+++
+-++++．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．
【例4】设2
2
1,2a b a b +=+=，求77
a b +的值． （西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77
a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．
【例5】观察：
22
2123415;
2345111;3456119;
⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+
=
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．
【例6】设,,a b c 满足222333
1,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：
（1）abc 的值； （2）4
4
4
a b c ++的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．
能力训练
A 级
1．已知2
2(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数48
31-能被30以内的两位偶数整除的是 ．
3．已知2
2
2
246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．
（天津市竞赛试题）
4．若3
3
10,100,x y x y +=+=则2
2
x y += ．
5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2
2
2
2
()()a b x y ++的值为 ．
（河北省竞赛试题）
6．若n 满足2
2
(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000-
---等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000
D ．
2001
4000
8．若2
2
2
2
10276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．可正可负
9．若2
2
2,4,x y x y -=+=则1992
1992x
y +的值是（ ）
A ．4
B ．19922
C ．21992
D ．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能
组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）
11．设9
3
10382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）
12．观察下面各式的规律：
222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;
⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯
+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．。