经典：统计学第三章--平均指标与变异指标-及习题

1. 简单算术平均数 根据未分组的原始统计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成 总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平 均法。
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第一节 平均指标
计算公式为：
X x1 x2 n
n
xn i1 xi
n
2. 加权算术平均数 根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的 方法，称为加权算术平均法。
求这几年间国内生产总值的平均发展速度。
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第一节 平均指标
（四）中位数（median） 将总体各单位标志值按大小顺序排列，居于 中点位置的那个标志值就是中位数。它是位 置平均数，不受极端值的影响。 1. 由未分组资料计算中位数
先按大小顺序排列，其次利用公式（N+1） /2确定中位数位次，最后确定中位数。
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第一节 平均指标
计算公式为：
X x1 f1 x2 f2 f1 f2
n
xn fn fn
xi fi
i1 n
fi
i1
3. 算术平均数的性质
（1）各个变量值与平均数离差之和为0；（2）各个变量 值与平均数的离差平方和为最小值。
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❖ 例:某厂工人各级别工资额和相应工 人数资料如表: 试计算工人平均工资。
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例：求商品的平均价格
某商品的销售情况
销售价格 销售额 （元） （元）
3
90
4
80
5
50
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第一节 平均指标
（三）几何平均数（geometric mean） 1. 简单几何平均数
n
Gn x1x2 xn n xi i1
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例1：2001-2005年我国工业品的产量分别是上年的 107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计 算这5年的平均发展速度。
工资额（元）
工人数（人）
460 520 600 700 850
合计
5 15 18 10 2
50
7
各组标志值 × 各组单位数 =各组标志总量
工资额（元） x
460 520 600 700 850
合计
工人数（人） 工资总额（元）
f
xf
5
2300
15
7800
18
10800
10
7000
2
1700
50
29600
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第一节 平均指标
2. 由单项式分组资料计算中位数 经过分组的资料在确定中位数时，首先将变量数列
的频数或频率进行累加，然后用公式 f 来计算中
2
位数位次，确定中位数组，最后确定中位数。
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家庭人口数（人） 家庭户数（户）
1
18
2
90
3
180
4
72
合计
360
向上累计频数（户）
18 108 288 360
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例：某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4 年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利 率。
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XG f x1f1x2f 2...xnf n 251.031.0541.0881.1101.152 1.086108.6%
1.03,,(,1.05,yx,4,),,(,1.08,yx,8,),
企业的生产情况。 ❖分析现象之间的依存关系。 如商业企业规模的大小
和商品流通费用率之间存在的依存关系。
3
第一节 平均指标
三、平均指标的分类 在社会经济统计中，常用的平均指标有算术平均数、调和平均数、几何
平均数、中位数、众数 等。 （一）算术平均数（mean）
算 术 平 均 数 =总 总 体 体 标 单 志 位 总 总 量 量
,(,1.1,yx,10,),,(,1.15,yx,2,), =,2ndF,x y , 25,=
出现结果：1.086 即108.6% 平均年利率=108.6%-1=8.6%
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练习：
年份
1998
1999
2000
2001
2002
国内生产总值 78345.2 82067.5 89468.1 97314.8 104790.6
1 xn
1x
2. 加权调和平均数
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第一节 平均指标
2. 加权调和平均数
H
1
m1 m2
x1
x2
m1 m2
mn xn
mn
m m x
m为权数。
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行驶速度 x
75 80 合计
行驶里程 m
225 160 385
行驶时间 M/x 3 2 5
14
X
m 38577
h
m5
X
❖ 即行使速度为77公里/小时
X XX X n G
1
...
2
n=
3 0.98*0.85*0.9
=90.8%
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第一节 平均指标
2. 加权几何平均数
G x x f1 f2 fn
f1 f2
1
2
n
xfn f n
xfi i
i1
LnG f1Lnx1 fnLnxn
f
几何平均数也可用对数的算术平均形式表示。因 此，也称对数平均数。
可以证明： xGH
第三章 平均指标与变异指标
第一节 平均指标 第二节 变异指标 第三节 标准差、偏度和峰度
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第一节 平均指标
2
第一节 平均指标
一、平均指标的含义 也称平均数，它表明同类现象在一定时间、地 点、条件下所达到的一般水平，是总体内各单 位参差不齐的标志值的代表值。
二、平均指标的作用
❖反映标志值的集中趋势。如农民家庭收入情况。 ❖便于比较分析。如用劳动生产率等平均数对比不同
甲企业
单位产品
产量比重
成本（元） （%）
1.0
10
1.1
20
1.2
70
乙企业
单位产品 产量比重 成本（元） （%）
1.2
30
1.1
30
1.0
40
10
x x f f
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第一节 平均指标
（二）调和平均数（harmonic mean） 又称倒数平均数。 1. 简单调和平均数
H
1
1 1
x1 x2
n
n
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X X X51.0761.0251.0061.0271.022
1.031103.1%
1.067,,1.025, ,1.006, ,1.027, ,1.022,=,2ndF,
x y , 5,=
出现结果：1.0309 即103.1%
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例2：某企业生产某一产品，要经过铸造、金加工、电 镀三道工序，各工序产品合格率分别为98%、85%、 90%，求三道工序的平均合格率。
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3. 由组距式分组资料计算中位数 确定中位数位次的方法同上，然后按下限公式或上限 公式计算中位数。
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各组工（ 资 x） 额 各 各组 组工 工（ 资 （ 人 xx） 总 ） f数
平工 均资为：
xxf465 05210 56010 87010 0852 05（ 92元/
f
51 51 81 02
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❖ 甲乙两企业生产同种产品，1月份各批产量和 单位产品成本资料如下，求平均成本。
怎么做？
第一批 第二批 第三批