概率论与数理统计剖析

《概率论与数理统计》课程论文浅谈概率论的思想发展及应用

能源科学与工程学院

于晓滢

1130240415

哈尔滨工业大学

摘要

概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。

目录

摘要 ................................................................................................................................................. I 第1章概率论的诞生 (1)

1.1前言 (1)

1.2诞生与发展 (1)

第2章概率论的思想 (2)

2.1古典概型思想 (2)

2.2几何概型思想 (2)

2.3分析概率论 (2)

2.4分析研究的深入 (3)

2.5公理化思想 (3)

第3章概率论思想的应用 (4)

3.1前言 (4)

3.2与数学建模思想的融合 (4)

3.3临床诊断的应用 (4)

3.4不等式的证明 (5)

结论 (7)

参考文献 (8)

1.1前言

英国数学家格雷舍(Glaisber,1848一1928)曾经说过: “任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”每一种理论的产生都有其历史背景与历史渊源，了解概率论的产生的历史背景，有助于了解对该学科研究对象、研究方法的深入理解，有利于总结成功和失败的经验教训，为后人的研究奠定坚实的基础，方便对这一学科做出更大的贡献。

1.2诞生与发展

人们对偶然现象的规律性探求，经历了很长的时期，但因受到生产力水平和科技水平的限制，研究很难继续进行下去，速度缓慢，以至人们一直认为偶然现象的规律性是“神秘且难以捉摸”的，直到唯物辩证法产生,人们才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。在文艺复兴时期，工业革命逐步蔓延，随着工业、航海等事业的不断发展，各类问题随之出现，急需一门分析研究随机现象的数学学科，这时概率论应时应景地出现了。

对于起源，很多人说是源于赌博其实这并不全面，以研究赌博问题著称的惠更斯在他1657年出版的《论赌博中的计算》集子中有一段很深刻的话:“在任何场合我认为如果读者仔细研究对象,当可注意到你所处理的不只是赌博而已,其中实际上包含着很有趣很深刻的理论的基础。”

从十七世纪开始到现在，概率论一步步地发展：有贝努利在大数定律的证明及对独立重复试验的研究；德莫哇佛尔在正态分布概型和中心极限定理方面的贡献；法国博物学家蒲丰对于探讨概率的统计定义和概率的几何定义所作出的贡献。虽然期间也存在着许多波折，但在如切比雪夫，马尔科夫，李雅普诺夫等多名优秀科学家所做的不懈研究中，概率论朝着越来越好的方向发展，直至目前，作为数学的分支, 概率论的高度抽象性、广泛应用性、严谨性的特点愈来愈明显地显示出来，并在不同方面、不同领域得以广泛应用为人们的生产生活做出了巨大贡献。

2.1古典概型思想

从赌博问题开始讨论的初级概率论，主要是研究有限个基本事件且每个事件出现的概率相等，但是通常考虑的是一个事件反复出现的情况，当N 非常大的时候并不便于计算，不过大家发现大量重复进行实验时，某一事件出现的频率趋近于某一固定值，体现了“大数定律”的思想，该种思想由贝努利证明。继贝努利后，棣莫弗也有了重大贡献，如定义了独立事件的乘法定理，给出了二项分布，斯特林公式等等。

2.2几何概型思想

现实生活中人们必须把等可能思想应用到含无穷多个事件的情况，就产生了几何概率。其中较著名的就是“蒲丰投针试验”。

关于这个问题不得不提到的就是“贝叶斯定理”假定A 1，A 2，...， A k 是两两不相容事件，且对一切i 有P (A i ) >0，则对任意事件B ，有: ),...2,1()|()()

|()()|(1n i A B P A P A B P A P B A P n j j

j i i i ==∑=此时P(A i )叫做先验概率，而P ( A i | B)是后验概率。他的方法是，在计算一个事件的概率时，使用了人们对这个事件概率的一个估计，即先验概率。

2.3分析概率论

自牛顿和莱布尼茨创立微积分以来, 18世纪的数学家对这一领域进行了深入的研究，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特征的数学领域。可以说分析是统治18世纪数学的特殊领域。

在这其中，最有代表性的拉普拉斯，他极大地发展了概率论, 在研究概率论时他运用了微分方程, 特征函数，积分等分析工具。1812年拉普拉斯出版了他的《概率的分析理论》，开创了概率论发展的新阶段, 实现了概率论研究由组合技巧向分析方法的过渡。《概率的分析理论》明确地给出了概率的古典定义(事件的概率等于有利于事件的结果数与所有可能的结果数之比); 独立事件的加法、乘法法则，推广了伯努利在大数定律方面的工作, 导出了二项分布渐近于正态分布的中心极限定理。

2.4分析研究的深入

法国的数学家,尤其是拉普拉斯和泊松,他们对概率论的研究很快被人们了解,而且在俄国取得了进一步的发展。保险业,人口统计,对观测的数学处理以及数学发展内在逻辑的需要,这些都促进了概率论在俄国的发展。

从雅各布·伯努利到切比雪夫以及马尔可夫等数学家,他们对大数定律的研究实质上是对大数定律条件的推广,即扩大了满足大数定律的随机变量序列的范围,其科学价值在于发现了大数定律的一般条件,而这揭示了平均值的统计稳定性,即随机的规律性。

2.5公理化思想

最早对概率论进行公理化尝试的是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家米泽斯。1927年伯恩斯坦发表了一篇“论概率论的公理化基础”的文章，同年的《概率论》第一版出版。该书给出了一个详细的概率论公理体系。伯恩斯坦在这里引进了三个公理:（1）概率的可比较性公理（2）不相容事件公理(3) 事件组合公理，他们构造了概率论的整个大厦。

从20世纪20年代开始，通过对概率论基本概念—事件与概率的仔细分析，人们发现事件的运算与集合的运算完全类似概率与测度有相同的性质。在这其中成就最卓越的是原苏联数学家柯尔莫戈洛夫，他通过函数论的方法和概念，建立大数定律的充分必要条件。

法国数学家莱维(1886-1971)，原苏联数学家辛钦，日本数学家伊藤清(1915-)等又在公理化基础上取得了一系列理论突破。如，莱维从样本函数角度研究随机过程的思想，辛钦证明了重对数律，20世纪40年代伊藤清率先对布朗运动引进随机积分由此建立了概率论的一个新分支—随机分析学。

简言之，公理化就是将概率概念从具体频率解释抽象出来，然后再从公理化系统回到现实世界之中。这样，概率论的应用范围大大拓宽了。