二元函数的极限及其连续性
高等数学：9-2二元函数的极限与连续
lim[
xx0
f
( x0
x,
y0
y)
f
( x0 ,
y0)]
0.
y y0
（9.2.2）
记 z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) ， 则 z 表 示 当自 变量 x, y 在 点
(x0, y0 ) 处分别取得增量 x,y 时，二元函数 f (x, y) 的相应增量，称z 为 二元函数 f (x, y)在点(x0, y0 ) 处的全增量，此时式（9.2.2）又可写为
所谓二元初等函数是指自由变量x, y（或其他形式）的一元基 本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算后所得到的 能由一个表达式的函数．
例如 ln(x2 y2 1) ， euv sin u 均为二元初等函数．
x y
v
15-11
二元连续函数的性质 ⑴ 二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续
y0证 Βιβλιοθήκη 0 ， 由于x(x2 3x2
y2) y2
0
|
x
|
| x2 3x2
y2 | y2
|
x
|
x2 y2 ，
所以取 ，当 (x, y) U (O, ) 即 0 x2 y2 时，有
x2 y2 x 3x2 y2
0
，
故由定义 9.2.1 知，
lim
x0
x(x2 3x2
y2) y2
,
x2 y2 0, 证明lim f x, y 不存在．
0, x2 y2 0,
x0 y0
解 取x, y 分别沿路径 y 0 和 y x 无限趋于点0，0 时，有
lim
y0
f
(x,
二元函数的连续性
D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.
二元函数的极限与连续
2021/6/16
y0
6
lim 1 x2 y2
例4 求 x
x2 y2
y
解
lim 1 x 2 y 2
x x 2 y 2
y
1
lim x (1 x 2 y 2 )
y
1
2021/6/16
7
例5 求 lim xy11. x0 xy
y0
解 原式 limxy11 x0x(y xy11)
为函数z f ( x, y)当 P P0 （或 x x0， y y0）
时的极限，
记为：
lim f (x, y) A
p p0
或 lim f ( x, y) A x x0 y y0
2021/6/16 lim 或 ( x, y)( x0, y0 ) f (x, y) A
2
定义 2 设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，如果对
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
2021/6/16
Байду номын сангаас
5
例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
y0
lim 1 x0 xy11
y0
1. 2
2021/6/16
二元函数的连续性共12页
为函f在 数P0的全增量。
即当 lim z 0 (x,y)(0,0)
时， f在点P0连续。
(x,y)D
如果在全增 x量 0或 中 y取 0，则相应的偏函 增量数 ， 增量为
记作 x f( x 0 ,y 0 ) f( x 0 x ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 )
lk i m f(Pnk)f(P0) 这与不(3等 )相式 矛盾， f是D 所 上以 的有界函数 下面 f在 证 D 上明 能取到。 最m 设 大 in、 ff(D )最 ,M 小 suf值 p (D )
可证 Q 必 D ， f(Q 有 ) 使 M 。 一否 点 P 则 D ，M 对 都 f(P ) 任 有 0 意
的某邻域 在 内 Q 0 点 连 有 续 定 u0 ， 义 (x其 0,， y0)， 中 v0 并 (x0,y0) 则复合函数 g(x,y)f[(x,y) ,(x,y)在 ] P 0 点 也连续。
证明 由 f在Q 点 0连续可知： ，任 存给 在正 相 ， 数 应正数 使得u当 u0 , vv0 时，有f(u,v)f(u0,v0) 又由 、 在P 0 点 连续可知 ： ，对 总上 存 ， 述 在 使 正 正 x 得 x数 0 数 当 ,
§3 二元函数的连续性
二元函数的连续性概念
定义 设 f为定义 D R 在 2上点 的集 二 P 0 元 D 。 函 对 数 于 ，
的正数 ，总存在相 ，应 只 P 的 U 要 (P 0正 ;) 数 D ，就有
f(P)f(P0)
则称 f关于集 D在合点 P0 连续， 也称f在点P0连续。 若f在D上任何点都关 D连于 续集 ，合 f为 则D上 称连的 续函数。
1m2
ymx
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数的连续性
称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f ( P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点.
如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5
P0 (2)
给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数 改为
f
( x,
y)
xy
x2 y m
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
§3 二元函数的连续性
无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同.
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
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一、二元函数的连续性概念
※ 连续性的定义
f ( x, y1) f ( x, y2 ) L y1 y2 ;
(ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y)
பைடு நூலகம்
是一致的, 即
x0 , 0, 0 (只与 x0, 有关,
而与 y 无关 ), 当 | x x0 | , 且 ( x, y) D 时, 对一切 y 恒有 f ( x, y) f ( x0, y) .
f ( x, y) f ( x, y0 ) L | y y0 | 2. 令 min{1,2}, 则当
| x x0 | , | y y0 | 且 ( x, y) D
时, 又有
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f ( x, y) f ( x, y0 )
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 2 2 ,
求二元函数极限的几种方法-二元函数极限定理
. .word..1.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,那么称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题假设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，那么0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即. .word..()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解：00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4()()22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+1122=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→，有sin(,)(,)u x y u x y；2(,)1cos(,)2u x yu x y-；[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y；arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn；(,)1(,)u x ye ux y-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求xy→→解：当x→，0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=. .word... .word..这个例子也可以用恒等变形法计算，如：00001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.. .word..解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四那么运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又. .word..32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§3二元函数的连续性一二元函数的连续性定义设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x mx y y x y x y x xyy x f 其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当lim ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续。
高数第九章
x 0 0 6 2 f (0 x , 0) f (0, 0) lim x 0 0, f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 03 y 0 6 2 f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 y lim f y (0, 0) y 0 lim 0. y0 y y (4) lim f ( x , y )不存在, f ( x , y )在o(0,0)处不可微.
lim f ( x , y ) lim f ( x , y ), lim f ( x , y )不存在.
x0 y0 x0 y x3
x 0 y0
16
x3 y ,( x , y ) (0, 0) 6 2 例2 : 设 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) (3)求 f x (0, 0), f y (0, 0); (4)问f ( x , y )在点o(0, 0)处是否可微？
y y0
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 利用定义 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
5
●求抽象的复合函数的偏导数-----链式法则 z z f (u, v ), u (t ), v (t ) 同路相乘， dz 异路相加. f1 ( t ) f 2 ( t ). u v dt 单路全导, t t 叉路偏导. z f ( x, y, v ), v ( x, y ) z z f f v z f f v x y v f 2 f 3 v f 3 v y , . f1 ,, x y y v y x x v x
4
二、多元函数微分法
5.1二元函数的极限与连续
设二函数 z f ( x, y) 的定义域为 D, P0 ( x 0 , y 0 ) 的任意一个邻域 U ( P0 ), D U ( P0 ) 都是 定义 5.2 无限集.当 D 中的点 P ( x, y ) （异于 P0）以任何方 式与 P0 无限接近时，相应的函数值 f(x,y) 无限 逼 近 常 数 A ， 则 称 常 数 A 为 函 数 f ( x, y) 当 ( x , y ) ( x0 , y0 )时的极限, 记作
断定函数的极限存在，但是反过来，如果当 p( x , y ) 以不同方式趋于 p0 ( x0 , y0 ) 时， f ( x , y ) 趋 于不同的值， 那么就可以断定这函数的极限不存 在。
例5.6 讨论函数
xy f ( x, y ) 2 2 x y
在(0,0)的极限．
解 取 y kx
必须注意，所谓二重极限存在，是指 p( x , y ) 以任何方式趋于 p0 ( x0 , y0 ) 时， f ( x , y ) 都无限接 近于 A.如果 p( x , y ) 以某一特殊方式，例如沿着 一条定直线或定 曲线 趋于 p0 ( x0 , y0 ) 时，即 使
f ( x , y ) 无限接近于某一确定值， 我们还不能由此
解
{( x , y ) | x y 0}
z arcsin( x 2 y 2 ) 的定义域 例 5.3 求函数
解
y
{( x , y ) | x y 1}
2 2
y
x2 y2 1
x y0
o x o x
M {( x , y, z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D}
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
3二元函数的连续性
例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数} R2. z =f (x, y)
是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上
无定义的函数, 即
如图
z 1
f (x, y) =
1, 当(x, y) D时, 无定义, 当(x, y) D时.
可知, (x0, y0) D,
证 先证 f 在 D 上有界. 假设 f 在 D 上无界,
则对每个正整数 n, 必存在互不相同的 Pn D, 使得
| f (Pn ) | n, n 1,2,
⑶
于是得一个有界无限点列 {Pn } D
由聚点定理的推论, {Pn } 存在收敛子列{Pnk },
设
lim
k
Pnk
P0 . 所 以P0
f (P1 ) u f ( P2 ) 的实数 u，必存在点 P0 D，使得 f (P0 ) u.
练习
1 若 f (x, y) 在某一区域 G 内对变量 x为连续，对
变量 y 满足李普希兹条件，即对任何
(x, y) G, (x, y) G
有 | f (x, y) f (x, y) | L | y y |
o x
y
lim
x x0
f (x, y) 1
f ( x0 , y0 )
y y0
但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
二、有界闭域上连续函数的性质
定理16.8（有界性与最大、最小值定理） 若函数 f 在有界闭域 D R2 上连续，则 f 在 D 上有界， 且能取得最大值与最小值.
1, xy 0 设 f ( x, y) 0, xy 0
判断二元函数在某一点是否连续的方法
判断二元函数在某一点是否连续的方法二元函数连续判断：1、确定函数定义域；2、在定义域的端点和函数的特殊点，讨论其连续性的方法就是连续性的定义：在某点左，右极限是否存在，是否相等，且是否等于函数在该点的函数值，如果存在并相等则表示连续。
二元函数连续性的结论：
1、如果函数f（x，y）在区域D内的每一点处都连续，则称函数f（x，y）在D内连续。
2、一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
3、在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。
4、在有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
5、在有界闭区域D上的二元连续函数必定在D上一致连续。
6、设D为f（x，y）的定义区域，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的任意两点P1、P2，只要当|P1P2|\u003cδ时，都有|f（P1）-f（P2）|\u003cε，则称f（x，y）在D上一致连续。
第一节 二元函数的概念
第一节 二元函数的概念一、 二元函数的概念 1、二元函数——已知变量x 、变量y 及变量z ，当变量x ，y 相互独立的在某范围D 内任取一组确定的值时，若变量z 按照一定的规律f ，总有唯一确定的值与之对应，则称变量z 为变量x ，y 的二元函数，记作)(y x f z ，=。
其中变量x ，y 称为自变量，取值范围D 称为二元函数定义域；二元函数z 也称为因变量，二元函数z 的取值范围G 称为二元函数值域；“f”称为对应关系或函数关系。
2、表达式——①二元显函数)(y x f z ，=；②二元隐函数0)(F =z y x ，，。
3、定义域——D={)(P |)(y x y x ，，}：xy 平面上点的集合，简称平面点集。
平面区域：整个xy 平面或xy 平面上由几条曲线围成的一部分称为平面区域，围成平面区域的曲线称为区域边界； 开区域：不包含边界的区域称为开区域； 闭区域：包含全部边界的区域称为闭区域；半开区域：包含部分边界的区域称为半开半闭区域； 有界区域：不延伸到无穷远处的区域称为有界区域； 无界区域：延伸到无穷远处的区域称为无界区域。
4、函数值——对于二元函数)(y x f z ，=，当自变量x ，y在定义域内取一组数值)(00y x ，时，对应的二元函数值记作)(|0000y x f z y y x x ，===。
5、极值——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定义，对于点)(00y x ，处附近很小范围内任意点)(y x ，≠)(00y x ，，若总有)()(00y x f y x f ，，>，则称)(00y x f ，为)(y x f ，的极大值，点)(00y x ，为)(y x f ，的极大值点；反之，若总有)()(00y x f y x f ，，<，则称)(00y x f ，为)(y x f ，的极小值，点)(00y x ，为)(y x f ，的极小值点。
第一节 多元函数的概念二元函数的极限和连续性
ρ →0
lim ∆ z = 0 ,
④
内各点都连续， 如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 内各点都连续， 内连续. 则称函数 z = f (x , y) 在区域 D 内连续
2. 有界闭区域上连续函数的性质 . 1° 最大值最小值定理 在有界闭区域上连续的 二元函数在该区域上一定能取得到最大值和最小值. 二元函数在该区域上一定能取得到最大值和最小值 2° 介值定理 在有界闭区域上连续的二元函数 必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至 少一次． 少一次．
x → x0 y → y0
lim f ( x , y ) = f ( x0 , y0 ) ,
p → p0
①
或
lim f ( P ) = f ( P0 ) ,
处连续. 则称函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0, y0) 处连续
若令 x = x 0 + ∆ x , y = y0 + ∆ y , 则当 x → x0 时,
xy 2 2 , x + y ≠0, 2 2 x +y g( x , y ) = 0 , x2 + y2 = 0
0 ) 当 ( x , y ) → ( 0 , 时极限是否存在 .
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点， 轴趋向于原点， 即当 y = 0 而 x → 0 时, 有 lim g( x , y ) = lim g ( x ,0) = lim 0 = 0 ,
x →0 y →0
三、二元函数的连续性
1. 二元函数的连续定义 定义 3 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0) 的 一个邻域内有定义， 一个邻域内有定义， 如果当点 P(x , y) 趋向于点 P0(x0 , y0) 时，函数 z = f(x , y) 的极限存在， 且等 极限存在， 于它在点 P0 处的函数值，即 处的函数值，
二元函数极限的连续性与间断性分析
二元函数极限的连续性与间断性分析在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。
而对于二元函数，也可以进行极限的研究。
本文将重点讨论二元函数的极限的连续性与间断性。
一、极限的连续性1.1 连续性的定义在介绍极限的连续性之前，我们先回顾一下函数连续的概念。
对于函数f(x)，若其在某一点x₀的附近，当自变量x趋近于x₀时，函数值f(x)也趋近于f(x₀)，则称函数f(x)在点x₀处连续。
1.2 二元函数的连续性定义对于二元函数f(x, y)，若其在某一点P(x₀, y₀)的某邻域内，当自变量(x, y)趋近于P时，函数值f(x, y)也趋近于f(x₀, y₀)，则称函数f(x, y)在点P处连续。
1.3 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数在定义域的任意一点都连续。
- 两个连续函数的和、差、积以及商（除去分母为零的点）仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数也是连续函数。
二、极限的间断性2.1 第一类间断点对于二元函数，第一类间断点是指函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等的点。
可以继续分为左极限和右极限不等的间断点和左、右极限均等的间断点。
2.2 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点处的极限不存在的点。
也可以分为左极限和右极限均不存在的间断点和只有左或右极限不存在的间断点。
2.3 间断点的分类对于二元函数，间断点可以进一步分类为：- 可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数值与极限值不相等。
这种间断点可以通过修改函数在该点的定义，让函数在这个点处连续。
- 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但左右极限值不相等。
- 无穷间断点：函数在该点的极限不存在。
三、举例分析假设有一个二元函数f(x, y)=xy/(x^2+y^2)，我们来分析它的连续性与间断性。
3.1 连续性分析任意取P(x₀, y₀)，对于该点处的函数值f(x₀, y₀)，我们需要证明当(x, y)趋近于P时，函数f(x, y)的极限也趋近于f(x₀, y₀)。
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二元函数的极限及其连续性
在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。
对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。
在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。
如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，
那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：
二重极限的定义
如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A 有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足
的一切(x,y)都使不等式
成立，那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。
正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：
二重极限的运算法则
如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.
那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；
(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：
二元函数的连续性
如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处
的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。
如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。
关于二元函数间断的问题
二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。
二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。
例题：求下面函数的间断线
解答：x=0与y=0都是函数的间断线。