高二数学计数原理PPT优秀课件
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种不同的方法。
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m 1 m 2 种不 同m 的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
至少教一个班，分配方案共有多少种？
C 6 1 C 5 2 C 3 3+ C 6 4C A 2 1 C 2 21 1+C 6 2 C A 4 3 3 2 C 2 2 A 3 3
多个分给少个时，采用先分组 再分配的策略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
1、基本原理法
2、特殊优先法
3、捆绑法
4、插空法
5、间接法
6、穷举法
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种 方法。
9.1 加法原理和乘法原理
2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路 有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6
例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不 同排法：
（1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾； （3）三个女生排在一起； （4）三个女生两两都不相邻；
例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节
省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两
C32C11A22
问题2：4本书分给两个同学，每人 至少一本，有多少种放法？
C43C11+CA 42C2222
第一章：计数原理（补充）
1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2：排列与组合
加法原理和乘法原理
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A）C
3 8
种（B）A
3 8
种
（C）C
3 9
种
（D）C131 种
分组问题
问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？
C
2 3
C
1 1
问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？
C43C11+
C42C22 A22
问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？
平均分成m
组要除以
A
m m
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数。用符号 A表nm 示.
C61C52C33+C6 4CA 21C 2211+C62C A4 32 3C22
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 个盒子至少一个，有多少种放法？
C32C11A22
问题2：4本书分给两个同学，每人 至少一本，有多少种放法？
C43C11+CA 42C2222
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题 插空处理的策略
相邻问题，常用“捆绑法” 不相邻问题，常用 “插空法”
元素的组合数。用符号 C表nm 示.
组合数公式： Cn mnn1nm 2 ! nm1
m!nn!m!
其中：n,m N *,并m 且 n.
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
排列组合典型例题
排列组合应用题的常用方法
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C 1 6 0 1 2 C 6 4 C 2 1 C 1 1 3 1 5 0 (2) C 1 6 0C 6 2 C 4 2 C 2 2 1 8 9 0 0
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 个盒子至少一个，有多少种放法？
排列数公式： A n mnn1n2 nm1 n nm !!
其中：n,m N *,并m 且 n.
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个
件事共有N m 1 m 2 m 种n 不同的方法.
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m 1 m 2 种不 同m 的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
至少教一个班，分配方案共有多少种？
C 6 1 C 5 2 C 3 3+ C 6 4C A 2 1 C 2 21 1+C 6 2 C A 4 3 3 2 C 2 2 A 3 3
多个分给少个时，采用先分组 再分配的策略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
1、基本原理法
2、特殊优先法
3、捆绑法
4、插空法
5、间接法
6、穷举法
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种 方法。
9.1 加法原理和乘法原理
2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路 有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6
例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不 同排法：
（1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾； （3）三个女生排在一起； （4）三个女生两两都不相邻；
例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节
省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两
C32C11A22
问题2：4本书分给两个同学，每人 至少一本，有多少种放法？
C43C11+CA 42C2222
第一章：计数原理（补充）
1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2：排列与组合
加法原理和乘法原理
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A）C
3 8
种（B）A
3 8
种
（C）C
3 9
种
（D）C131 种
分组问题
问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？
C
2 3
C
1 1
问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？
C43C11+
C42C22 A22
问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？
平均分成m
组要除以
A
m m
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数。用符号 A表nm 示.
C61C52C33+C6 4CA 21C 2211+C62C A4 32 3C22
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 个盒子至少一个，有多少种放法？
C32C11A22
问题2：4本书分给两个同学，每人 至少一本，有多少种放法？
C43C11+CA 42C2222
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题 插空处理的策略
相邻问题，常用“捆绑法” 不相邻问题，常用 “插空法”
元素的组合数。用符号 C表nm 示.
组合数公式： Cn mnn1nm 2 ! nm1
m!nn!m!
其中：n,m N *,并m 且 n.
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
排列组合典型例题
排列组合应用题的常用方法
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C 1 6 0 1 2 C 6 4 C 2 1 C 1 1 3 1 5 0 (2) C 1 6 0C 6 2 C 4 2 C 2 2 1 8 9 0 0
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 个盒子至少一个，有多少种放法？
排列数公式： A n mnn1n2 nm1 n nm !!
其中：n,m N *,并m 且 n.
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个
件事共有N m 1 m 2 m 种n 不同的方法.
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。