课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理[达标综合练]1．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a ＝( ) A ．1 B.322 C.233D ．2解析：选B 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.2.△ABC 中，已知面积4S ＝a 2＋b 2－c 2，则角C 的度数为( ) A. 135° B. 45° C. 60°D. 120° 解析：选B 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得4×12ab sin C ＝2ab cos C ，解得tan C ＝1，又角C为△ABC 的内角，所以C ＝45°.3.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4,23<a <4，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．无穷多解解析：选C 根据正弦定理，可得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝23a ， 因为23<a <4，所以sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，1， 又由c >a ，则60°<C <120°，有两个C 满足条件，所以此三角形有两解． 4．在△ABC 中， cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 因为cos 2B 2＝1＋cos B 2，所以1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，有cos B ＝ac ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故C ＝π2， △ABC 的形状为直角三角形．5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5) B ．(3,5) C ．(3，5)D ．(5，3)解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－42a>0，1＋4－a24>0，a >0，解得3<a < 5.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，∵a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，∴由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ＝4sin C ，∴2R ＝csin C ＝4，解得R ＝2，故△ABC 的外接圆面积为S ＝πR 2＝4π.7.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°，AC ＝________.解析：∵AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°， ∴由余弦定理可得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝4＋1－72×2×1＝－12，∵∠ADB ∈(0，π)，∴∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝60°，∴由正弦定理可得AC ＝AD ·sin ∠ADC sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 68．在△ABC 中，给出下列5个命题：①若A <B ，则sin A <sin B ；②若sin A <sin B ，则A <B ；③若A >B ，则1tan 2A >1tan 2B ；④若A <B ，则cos 2A >cos 2B ；⑤若A <B ，则tan A 2<tan B 2.其中正确命题的序号是__________．解析：在△ABC 中，A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ⇔sin 2A <sin 2B ⇔cos 2A >cos 2B ，故①②④正确；若A ＝75°，B ＝30°，则1tan 150°<1tan 60°，∴③错误；∵0<A <B <π，∴0<A 2<B 2<π2，∴tan A 2<tan B2，故⑤正确．答案：①②④⑤9．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. ∴cos ∠ABD ＝cos(45°－A )＝cos 45°cos A ＋sin 45°sin A ＝22×45＋22×35＝7210. 答案：1225 721010.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°， 可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC < 32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [素养强化练]1．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104B.34C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ. 又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6， ∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ， 得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sin θ ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0. ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.2．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14B.5＋14C.5－12 D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ， 又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ， 即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1. 在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B. 3．[数学运算]已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且a cos C ＋12c＝b .(1)求A ；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 解：(1)∵a cos C ＋12c ＝b ，由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2sin B 3，c ＝2sin C3，∴l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。
课时跟踪检测 正弦定理和余弦定理(重点高中) (1)
课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 为( ) A.3－1 B ．1 C ．2D.3＋1解析：选B 因为A ＝45°，C ＝105°， 所以B ＝180°－C －A ＝30°， 由正弦定理得AC ＝BC sin Bsin A＝2×1222＝1.2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：28．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BD CD ＝6.答案：69.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B2，即sin B ＝4(1－cos B)， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做1.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．2 3C ．4D ．3 3解析：选B 因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C＝1，所以C ＝60°.因为S △ABC ＝23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3. 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729C. 2D.928解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cos B ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sin B ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56544.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2 5，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，解得sin ∠ACD ＝255.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝55. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.由正弦定理得，AD sin ∠ACD＝CDsin A， 即sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝55. 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，即BC ＝AC ·sin A sin B ＝4.答案：45.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°.(1)若c ＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若a ＝2b ，求tan A .解：(1)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝1， ∴a 2＋b 2＋ab ＝1≥2ab ＋ab ＝3ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴ab ≤13，故S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤312，即△ABC 面积的最大值为312. (2)∵a ＝2b ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B ， 又C ＝120°，故A ＋B ＝60°，∴sin A ＝2sin(60°－A )＝3cos A －sin A ， ∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝32. 6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5， 所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-6正弦定理和余弦定理Word版含解析
A．( 2， 3)
B．(1， 3)
C．( 2，2)
D．(0,2)
解析： 由sianA＝sibnB＝sinb2A，得 b＝2cosA.
π 2<A＋
B＝
3A<π，从而
ππ 6<A<3.又
0<2A<π2，
π
ππ2
3
所以 0<A<4，所以 6<A<4， 2 <cosA< 2 ，
所以 2<b<有如下命题：①若 sin2A＝sin2B，则△ ABC 为等腰三角形； ②若 sinA＝cosB，则△ ABC 为直角三角形；③若 sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是 ________．(把你认为所有正确的都填上 )
a＝3，cosB＝23，则 b＝ (
)
A．14
B．6
C. 14
D. 6
解析： bsinA＝3csinB? ab＝3bc? a＝ 3c? c＝ 1，∴b2＝ a2＋ c2－ 2accosB＝ 9
2 ＋ 1－ 2× 3× 1× 3＝6，∴b＝ 6，故选 D.
答案： D 3．(2018 届重庆适应性测试 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 a2＋b2－ c2＝ab＝ 3，则△ ABC 的面积为 ( )
∴c＝ 4，∴b＝ a2＋c2－ 2accosB＝ 65，
a＋b＋c
b 5 65
∴sinA＋sinB＋sinC＝sinB＝ 4 .
答案：
5
65 4
11．(2017 年全国卷Ⅰ )△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°， 即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)， 故BC 边上的高为AB sin 60°＝332.4．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5， 因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7. 答案：75．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23， 故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0， ∴cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B. 等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C ＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B.2C. 2D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A， 所以cos A ＝32，A ＝30°. 由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32， 整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°， 不满足内角和定理，故c ＝2.4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝ (a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B.45° C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋ab＝6cos C ，∴b a ＋a b ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得a 2＋b 2＝32c 2， 则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝tan C ·sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B＝tan C sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2a 2＋b 2－c 22ab ·ab ＝4.答案：48．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________． 解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°， 即BC sin A ＝ABsin C＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ， 又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3 ＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3 ＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3， 故△ABC 的周长的最大值为3 3. 答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝⎛⎭⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D ∵A ＞B ＞C ，∴a ＞b ＞c . 又∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，∴设a ＝n ＋1，b ＝n ，c ＝n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∵3b ＝20a cos A ，∴3b20a ＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即3n 20(n ＋1)＝n 2＋(n －1)2－(n ＋1)22n (n －1)， 即3n20(n ＋1)＝n (n －4)2n (n －1)， 化简得7n 2－27n －40＝0，即(n －5)(7n ＋8)＝0， ∴n ＝5 ⎝⎛⎭⎫n ＝－87舍去. 又∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 2.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋PM 2－2×OP ×PM ×cos 45°， 得PM 2－4PM ＋3＝0，解得PM ＝1或PM ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α).故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°) ＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α)＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α) ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin (2α＋30°).因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°， 所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取得最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。
2020届高考数学一轮复习：课时作业24《正弦定理和余弦定理》(含解析)
课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ．又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ．∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ，所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，① 由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab 5＝4，∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°，∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6. 解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ，∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角， 又a sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得，sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝23sin A cos B ＋23cos A sin B ，即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ，从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3. 解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧ B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时， S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
正弦定理和余弦定理习题及答案
正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B＝() 22226 A．－3 B.3C．－3D.6 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点，则tan ∠ECF ＝()16233A. 27B. 3C.3D.4．△中，若－lg c ＝＝－lg 2且∈ 0，π，则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a、b、c 成等差数列，∠ B＝30°，△ ABC的面积为，那么 b 为()A．1＋ 3B．3＋ 3 C.3＋ 3D．2＋ 3 36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若 sin2－cos2＝1，则 ()A A2A．b＋c＝2a B ．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2，则 sin A cos A 3A.153 B．153C．5D．5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值，则A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B．A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C．A1 B1C1是钝角三角形，A2 B2C2是锐角三角形D．A1B1C1是锐角三角形，A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．3Ｂ． 3Ｃ．15Ｄ．15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 cosBA ．1B．3C ．24 44D．2312、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1，3则 c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3二、填空题：13 、在ABC中，若sin A:sin B :sin C5:7:8 ，则B的大小是___________.14、在 ABC中，已知a 3 3，＝，＝°，则＝.b 4 A30sinB415、在△ ABC中，已知 BC＝12，A＝60°， B＝45°，则 AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边 BC上的中线 AD的长为．三、解答题：11 17。
课时作业21：正弦定理和余弦定理
第6节 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4， ∴112＝b 22，∴b ＝ 2. 答案 D2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6 解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6.答案 D3.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3C.2 3D.2 解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3.答案 B4.(2017·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形.答案 B5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( ) A.2512π B.2524π C.3＋32π D.3＋34π解析 ∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，∴A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ＝2R ，b ＝2R sin B ＝3R ，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S 1＝12ab sin C ＝12×2×3×2＋64R 2＝3＋34R 2，S 2＝πR 2，∴S 1S 2＝3＋34π. 答案 D二、填空题6.(2017·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析 因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.答案 327.(2018·合肥质检改编)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________.解析 b cos A ＋a cos B ＝2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.答案 9π8.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________.解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc . ∵c ≠0，∴等式两边除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋b c ，解得b c ＝1. 答案 1三、解答题9.(2018·安徽江南十校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5，∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )，∴sin A (3cos A －sin A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3， 4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.解 (1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3， 解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC， ∴CD ＝7×27732＝433. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·长沙模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C12.(2018·广东省际名校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sin C ＝32， 由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.所以S △ABC ＝34.答案 3413.(2018·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ；(2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，∴b ＝4.。
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。
正弦定理与余弦定理测试题及答案
正弦定理与余弦定理练习题1.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A．1：1：4 B．1：1：2 C．1：1：D．2：2：2.（2015•浙江）任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是（）A．c2=a2+b2+2abcosC B．c2=a2+b2﹣2abcosC C．c2=a2+b2+2absinC D．c2=a2+b2﹣2absinC3.在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（）A．B．C．D．4.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对5.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．6.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．47.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则∠C等于（）A．60°B．90°C．120°D．60°或120°8.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣19.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（）DA．45°或135°B．135°C．60°D．45°10.在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，求△ABC周长的取值范围（）A．（2，3] B．[1，3] C．（0，2] D．（2，5]11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣B．C．﹣D．12.在△ABC中，已知C=，b=4，△ABC的面积为，则c=（）A．B． C． D．13.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣14.在三角形A BC中，∠C=60°，AC+BC=6，A B=4，则AB边上的高为（）A． B．C． D．15.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．316.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B的大小为（A ）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17在△ABC中，B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形18.在△ABC中，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．19.若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc且sinA=2sinBcosC，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20.（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．21.（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．22.（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．23..（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，，则∠B=．25.在△ABC中，已知A=45°，b=1，且△ABC仅有一个解，则a的取值范围是．26.已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c2﹣（a﹣b）2，则tanC=．27.设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S，且满足S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为．28.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角B的值为29（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．30.（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．31.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．32.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．33.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．34.△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．35.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．36.在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．37.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．答案1-5CBDCA 6-10CDCDA 11-15BCDAC 16-19ABBD286420.221.122.123.624.4525.126.27.28.601201517a a ︒≥=︒︒或或29.解：①因为△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cosB=，sin （A+B ）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin 2A+cos 2A=1， 得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin （A+B ）=sinC=，sinA=，所以a=2c ，又ac=2，所以c=1．30.解：（Ⅰ）因为向量=（a ，b ）与=（cosA ，sinB ）平行，所以asinB ﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解得c=3，△ABC 的面积为：=． 31.解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ，∵C 为三角形的内角，∴sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=1，整理得：2sin （A ﹣）=1，即sin （A ﹣）=，∴A ﹣=或A ﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=； （2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC 的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：4=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc=（b+c ）2﹣12，整理得：b+c=4②， 联立①②解得：b=c=2． 32.解：（I ）∵a=2csinA ．∴由正弦定理可得sinA ， 又sinA ≠0，∴sinC=，∵A 为锐角，∴． （2）∵c=，，且△ABC 的面积为，∴=，化为ab=6，由余弦定理可得：==（a+b ）2﹣3ab ，∴a+b=5．33.解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC ﹣sinAsinC ）=﹣1，∴，∴，又0＜B ＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．34.解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，∴sinA==，∵5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ，∴cosC==，∵0＜C ＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos 2C ﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．35.解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos+cosAsin=2cosA，整理得sinA=cosA，∵cosA≠0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）由正弦定理得：，∴，，∴==，∵，∴，即6＜b+c≤12（当且仅当B=时，等号成立）36.解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．37.解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．。
专题4.6 正弦定理与余弦定理(课时训练)(解析版)
专题4.6 正弦定理与余弦定理课时训练【基础巩固】1．在△ABC 中，B ＝π6，c ＝4，cos C ＝53，则b ＝( )A ．3 3B ．3 C.32 D.43【答案】B【解析】因为cos C ＝53，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1－cos 2C ＝23.又因为B ＝π6，c ＝4，所以由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝4×1223＝3. 2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝1213，a ＝1，则b 等于( )A ．2 B.5613 C.2113 D.5639【答案】D【解析】因为A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝45，cos C ＝1213.所以sin A ＝35，sin C ＝513，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×1213＋45×513＝5665.由正弦定理，得b ＝a sin Bsin A ＝1×566535＝5639.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 【答案】A【解析】由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a ＞b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6. 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝27，c ＝3，B ＝2C ，则cos2C 的值为( ) A.73B.59C.49D.74【解析】由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ＝273.又因为B ＝2C ，所以273＝sin2C sin C ＝2cos C ，故cos C ＝73，所以cos2C＝2cos 2C －1＝2×79－1＝59.5.若△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(C －A )＝12sin B ，且b ＝4，则c 2－a 2＝( )A ．10B ．8C ．7D ．4【答案】B【解析】因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(C －A )＝12sin B ＝12sin(A ＋C )，即2sin C cos A －2cos C sin A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝3sin A cos C .由正弦定理和余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a ·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得c 2－a 2＝b 22＝162＝8.故选B. 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b ＞c ，则bc ＝( )A.32 B ．2 C ．3 D.52 【答案】B 【解析】由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B可得a cos B ＝a 2＋c 2－b 22c ，又a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，所以c＋b 2＝72bc ＋c 2－b 22c ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，所以有(b －2c )·(2b －c )＝0.所以b ＝2c 或c ＝2b ，又b ＞c ，所以b c ＝2.故选B.7.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝________． 【答案】π3【解析】因为2a sin B ＝3b ，所以2sin A sin B ＝3sin B ，得sin A ＝32，所以A ＝π3或A ＝2π3.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＝π3.8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2bc －c b －bc ＝3，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝________.【答案】3【解析】由题意，得a 2－c 2－b 2bc＝3，根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32.所以sin A ＝12，又因为△ABC 外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得a sin A＝6，所9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .【答案】（1）见解析；（2）b ＝4 【解析】(1)证明：由已知得， a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ， 则a cos C ＋c cos A ＝b .所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.因为S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，所以ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ， 所以b 2＝9b 24－16×(1＋14)，所以b ＝4.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．【答案】（1）A ＝π6；B ＝π6.（2） 3【解析】(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中， 由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.【能力提升】11．(2020·太原五中模拟)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】A【解析】利用正弦定理及二倍角公式得sin C －sin A 2sin C ＝1－cos B2，即sin A ＝sin C cos B .又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以sin B cos C ＝0.在△ABC 中，sin B ≠0，故cos C ＝0，则C ＝π2，故△ABC 为直角三角形，故选A.12．（陕西省渭南市2018-2019学年质量检测）在ABC ∆中，7,2,60AC BC B ===，则BC 边上的中线AD 的长为( )A ．1B ．3C ．2D ．7【答案】D【解析】由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．3AB ∴= 在ABD 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，7AD ∴=故选D 。
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理一、题点全面练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B， ∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2C cos C＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，又3sin 2C cos C＝2sin A sin B ，由正弦定理可得3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2－4c 2＝0，则b 2＋c 2－bc ＋b 2－4c 2＝0. 又b ＝6，∴c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4(负值舍去)，故选C.3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，则c b sin B 的值为( ) A.12B.32 C ．2 D.233解析：选D 由b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则sin A ＝32. 由b 2＝ac ，得sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin C sin 2B ＝1sin A， ∴c b sin B ＝sin C sin B sin B ＝1sin A ＝233. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝a c， ∴a b ＝a c ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形． 5．(2019·四平质检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( ) A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A 在△ABC 中，∠A ＝60°.∵2sin B ＝3sin C ，∴由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝7，∴a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ，则CD ＝________.解析：设BD ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ＝θ，则∠EDF＝2θ，DE ＝x ，∵tan θ＝23，∴tan 2θ＝125，∴在Rt △EFD 中，EF ＝x sin 2θ，DF ＝x cos 2θ，∵EF AC ＝DF AD ，∴x sin 2θ3＝x cos 2θ2－x ，∴tan 2θ＝32－x ＝125，解得x ＝34，∴AD ＝54，∴CD ＝134. 答案：1347．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A＝b cos B，则△ABC 的面积等于________． 解析：∵a cos A ＝b cos B ，由正弦定理可知sin A cos A ＝sin B cos B⇒tan A ＝tan B ，则A ＝B ，∴△ABC为等腰三角形，∴A ＋B ＋C ＝2B ＋C ＝π，得2B ＝π－C ，则cos 2B ＝－cos C ＝－14＝1－2sin 2B ，解得sin B ＝104，cos B ＝64，tan B ＝153. ∵AB ＝c ＝3，∴C 到AB 的距离h ＝AB 2×tan B ＝32×153＝152，∴△ABC 的面积为12×AB ×h ＝3154. 答案：3154 8．(2019·菏泽模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b ＞c ，则b c ＝________. 解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b ＞c ，所以bc ＝2.答案：29．(2019·惠州调研)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0，∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0，又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12， 又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3， ∴△ABC 的面积为 3.。
课时过关检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时过关检测（二十六）正弦定理和余弦定理A级——基础达标1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )A．2 B．3 C．2 D．3解析：选D 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3(b＝－13舍去).2．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A ＝( )A．3π4B．π3C．π4D．π6解析：选C 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，所以A＝π4 .3．(2021·江西赣州月考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3.则S△ABC＝( )A．2B．3C．32D．2解析：选C 因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝12ac sin B＝32，故选C．4．(2021·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为( )A．32B．3C．23D．2解析：选B 因为S＝12AB·AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝3.所以BC＝3.5．(多选)(2021·唐山市高三模拟)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝33，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°解析：选BC 对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝b sin C c＝7×123＝76＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝c sin Bb＝4×225＝225＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝33，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝a sin Bb＝6×3233＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝b sin Aa＝30×1220＝34＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．6．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得bsin B＝csin C，∴sin B＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．7．(2021·福州市适应性考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝2ac，则a＝. 解析：由题设及正弦定理得sin A cos B＋sin B cos A＝2a sin C，所以sin(A＋B)＝2a sinC．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2a sin C，又sin C≠0，所以a＝1 2 .答案：1 28．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝.解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.又∵a＝2，∴b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴c2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c＝4.答案：49．(2021·福建省质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝2π3，a＝7.若△ABC的面积为1534，则其周长是．解析：由面积公式可得S△ABC＝12bc sin A＝34bc，又由题意知S△ABC＝1534，得bc＝15.根据余弦定理，得a2＝b2＋c2＋bc，可得(b＋c)2－bc＝a2，由a＝7，bc＝15，解得(b＋c)2＝64，即b＋c＝8，所以周长为a＋b＋c＝15.答案：1510．在△ABC中，B＝π3，AC＝3，且cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin B sin C，则C＝，BC＝.解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin B sin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－2sin B sin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－2sin B sin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－2·AC·AB，所以cos A＝22，因为A∈(0，23π)，所以A＝π4，则C＝π－A－B＝5π12.由AC sin B＝BCsin A，解得BC＝2.答案：5π12 211．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2＋A )＋cos A ＝54.(1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：(1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以(cos A －12)2＝0，cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3. (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin (2π3－B )＝33sin π3. 即12sin B －32cos B ＝12，sin (B －π3)＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．12．(2021·武邑宏达学校模拟)在△ABC 中，a ＝2，c ＝10， (补充条件)．(1)求△ABC 的面积； (2)求sin(A ＋B )． 从①b ＝4，②cos B ＝－55，③sin A ＝1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：选择①.(1)在△ABC中，因为a＝2，c＝10，b＝4，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝(2)2＋42－(10)22×2×4＝22，因为C∈(0，π)，所以sin C＝1－cos2C＝2 2，所以S＝12ab sin C＝12×2×4×22＝2.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C．所以sin(A＋B)＝sin C＝2 2 .选择②.(1)因为cos B＝－55，B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝25 5，因为a＝2，c＝10，所以S＝12ac sin B＝12×2×10×255＝2.(2)因为a＝2，c＝10，cos B＝－5 5，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(2)2＋(10)2－2×2×10×(－55)＝16，解得b＝4，由bsin B＝csin C，解得sin C＝22，在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝2 2 .选择③.依题意，A为锐角，由sin A＝10 10，得cos A＝1－sin2A＝310 10，在△ABC中，因为a＝2，c＝10，cos A＝310 10，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得(2)2＝b2＋(10)2－2×10×31010b，解得b＝2或b＝4.(1)当b＝2时，S＝12bc sin A＝12×2×10×1010＝1.当b＝4时，S＝12bc sin A＝12×4×10×1010＝2.(2)由a＝2，c＝10，sin A＝1010，asin A＝csin C，得sin C＝2 2，在△ABC中，A＋B＝π－C，sin(A＋B)＝sin C＝2 2 .B级——综合应用13．(2021·北京人大附中月考)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC＝5－12.根据这些信息，可得sin 1 314°＝( )A ．－3＋58B ．－4＋58C ．－25－14D ．－5＋14解析：选D 在△ABC ，由正弦定理可知BC AC ＝sin ∠BAC sin ∠ABC ＝sin 36°sin 72°＝sin 36°2sin 36°cos 36°＝12cos 36°＝5－12，∴cos 36°＝15－1＝5＋14，又∵sin 1 314°＝sin(3×360°＋234°) ＝sin 234°＝sin(180°＋54°)＝－sin 54° ＝－sin(90°－36°)＝－cos 36°＝－5＋14.故选D.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是．解析：由b 2＋c 2－3bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc ＝32， 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6，由bc ＝3a 2及正弦定理， 得sin B sin C ＝3sin 2A ＝3×14＝34， 即4sin(π－C －A )sin C ＝3， 即4sin(C ＋A )sin C ＝4sin (C ＋π6)sin C ＝3，整理得3cos 2C ＝sin 2C ，则tan 2C ＝3，又0＜2C ＜5π3，即2C＝π3或4π3，即C＝π6或2π3.答案：π6或23π15．(2021·沈阳市教学质量监测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cosB＋b cos A＝77ac，sin 2A＝sin A．(1)求A及a；(2)若b－c＝2，求BC边上的高．解：(1)∵a cos B＋b cos A＝77 ac，∴由正弦定理得sin A cos B＋sin B cos A＝77a sin C，∴sin(A＋B)＝77a sin C，又A＋B＝π－C，∴sin C＝77a sin C，又sin C＞0，∴a＝7.∵sin 2A＝sin A，∴2sin A cos A＝sin A，又sin A＞0，∴cos A＝1 2，∵A∈(0，π)，∴A＝π3 .(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝7.将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去)，∴b＝3.∵asin A＝csin C，∴sin C＝c sin Aa＝2114，设BC边上的高为h，则h＝b sin C＝321 14.C级——迁移创新16．(2021·山东省高三一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．(1)求角C；(2)若c＝210，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；条件②：cos B＝25 5.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)在△ABC中，由余弦定理知b2＋c2－a2＝2bc cos A，所以2b2＝2bc cos A(1－tan A)，所以b＝c(cos A－sin A)．又由正弦定理知bc＝sin Bsin C，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，即sin A cos C＋cos A sin C＝sin C cos A－sin C sin A，所以sin A cos C＝－sin C sin A．因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C，所以tan C＝－1，又因为0<C<π，所以C＝3π4 .(2)选择条件①：△ABC的面积S＝4，且B>A．因为S△ABC＝12ab sin C，由(1)可得ab＝82，再由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以a2＋b2＝24，解方程组Error!解得Error!或Error!又因B>A，所以b>a，所以Error!所以CD＝BD＝2，在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD cos C＝16＋2－2×4×2×cos 34π＝26，所以AD＝26.选择条件②：cos B＝25 5.因为cos B＝255，所以sin B＝55.因为sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B＝10 10，由正弦定理知csin C＝asin A，所以a＝c sin Asin C＝22，所以CD＝BD＝2，在△ABD中，由余弦定理知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，解得AD＝26.。
高中数学同步课时跟踪检测《正弦定理和余弦定理》
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝( ) A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－125．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.9．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .11．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB ·AC 的值．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(二十四)A 级1．选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.11．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1. 12．解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.B 级1．选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．。
课时跟踪检测二十六正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sinA ＝ 3.3．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 4．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：75．(2015·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°， 解得AC ＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.2．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．3．(2017·台州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214解析：选C 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin45°＝7210. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47.在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ， ∴cos ∠BAD ＝223.由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223， 即BD 2＝3，BD ＝ 3. 答案： 38．(2017·温州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56549．(2017·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝⎛⎭⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·湖州中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝(b ＋c )24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .2．(2017·宁波十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量m ＝(5a －4c,4b )与向量n ＝(cos C ，cos B )共线．(1)求cos B ；(2)若b ＝10，c ＝5，a <c 且AC ―→＝2DC ―→，求BD 的长度． 解：(1)∵m ＝(5a －4c,4b )与n ＝(cos C ，cos B )共线， ∴5a －4c 4b ＝cos C cos B ＝5sin A －4sin C 4sin B ，∴4sin B cos C ＋4cos B sin C ＝5sin A cos B ， ∴4sin(B ＋C )＝4sin A ＝5sin A cos B ， ∵在三角形△ABC 中，sin A ≠0 ∴cos B ＝45.(2)∵b ＝10.c ＝5，a <c 且cos B ＝45，∴a 2＋c 2－2ac cos B ＝b 2，即a 2＋25－2a ·5·45＝10，解得a ＝3或a ＝5(舍)． ∵AC ―→＝2DC ―→，∴AB ―→＋BD ―→＝2(DB ―→＋BC ―→)，BD ―→＝13BA ―→＋23BC ―→，∴BD ―→2＝19BA ―→2＋49BC ―→2＋2×13×23BA ―→·BC ―→＝19c 2＋49a 2＋2×13×23·a ·c cos B .将a ＝3和c ＝5代入得： BD ―→2＝1099，∴BD ＝1093.。
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课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·绍兴模拟)在△ABC 中，已知内角C 为钝角，sin C ＝35，AC ＝5，AB ＝35，则BC ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．10解析：选A 由题意知，cos C ＝－45.由余弦定理，得－45＝25＋BC 2－4510BC，解得BC ＝2(负值舍去)．2．(2019·台州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积S ＝25cos C ，a ＝1，b ＝25，则c ＝( ) A.15 B.17 C.19 D.21解析：选B 由题意得，S ＝12ab sin C ＝25cos C ，所以tan C ＝2，所以cos C ＝55，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝17，所以c ＝17.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)，故BC 边上的高为AB sin 60°＝332. 4．(2018·杭州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当a ＝1时，△ABC 的面积S ＝________.解析：由正弦定理可知，a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，由余弦定理可得cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14，所以sin C ＝154.因为a ＝1，所以b ＝32，所以S ＝12ab sin C ＝31516. 答案：－14 315165．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝AB cos ∠MAC，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63. 答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·温州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，∴由正弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－bc .由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3. 2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 解析：选D 由条件得sin A cos B sin C＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.4．(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A＝2B ，则a b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，3)C ．(2，3)D ．(0,2)解析：选C 因为A ＝2B ，所以π6＜B ＜π4.由正弦定理，得a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)．5．(2019·天台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，3sin B ＝2sin C ，且△ABC 的面积为22，则a ＝( )A ．2 3B ．3C ．2D ． 3解析：选B 因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.因为3sin B ＝2sin C ，所以3b ＝2c .所以S △ABC ＝22＝12bc sin A ＝34b 2×223，解得b ＝2，所以c ＝3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋9－2×2×3×13＝9，解得a ＝3. 6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b .又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4.答案：47．(2019·余姚中学模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________.解析：由正弦定理可得，2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝2cos A sin A ＝sin A ，所以cos A ＝12，解得A ＝π3.因为S △ABC ＝33＝12bc sin A ＝34bc ，所以bc ＝12.由余弦定理可得，13＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，所以(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7.答案：π37 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，即BC sin A ＝AB sin C＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ，又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3，故△ABC 的周长的最大值为3 3. 答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin B sin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a＝3a 26a 2＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 10．(2019·湖州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C . (1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值．解：(1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ，由正弦定理，得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π3， 所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝3sin B －⎝⎛⎭⎫－12cos B ＋32sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6， 当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 的最大值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·嘉兴模拟)已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A＝________，tan B 的最大值为________． 解析：因为a 2＋2b 2＝c 2＞a 2＋b 2，所以C 为钝角．所以tan C tan A ＝sin C cos A cos C sin A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2＝3b 2－b 2＝－3. 所以tan C ＝－3tan A ，则tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan A 1＋3tan 2A＝21tan A＋3tan A ≤223＝33， 当且仅当tan A ＝33时取等号， 故tan B 的最大值为33. 答案：－3 332．(2019·杭州名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c .已知2c cos B ＝2a －b .(1)求角C 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→ ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)因为2c cos B ＝2a －b ，所以2sin C cos B ＝2sin A －sin B ＝2sin(B ＋C )－sin B ，化简得sin B ＝2sin B cos C ，因为sin B ≠0，所以cos C ＝12. 因为0＜C ＜π，所以C ＝π3. (2)取BC 的中点D ，则⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→＝|DA ―→|＝2. 在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ，即有4＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－ab 2≥2 a 2b 24－ab 2＝ab 2， 所以ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤23， 所以△ABC 面积的最大值为2 3.。