代数式求值中的整体思想训练精品

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专题43 整体思想运用(解析版)

专题43 整体思想运用1.整体思想的含义整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

2.整体思想方法具体应用范围（1）在代数式求值中的应用（2）在因式分解中的应用（3）在解方程及其方程组中的应用（4）在解决几何问题中的应用（5）在解决函数问题中的应用【例题1】（2020•成都）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．【答案】49．【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49【对点练习】（2019内蒙古呼和浩特）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【答案】D．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17=x12+x22﹣5x12+17=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22=24﹣5（﹣1﹣x1）2=24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4【例题2】（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为．【答案】x2﹣1．【解析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．根据题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．【对点练习】分解因式：a2﹣2a（b+c）+（b+c）2【答案】（a﹣b﹣c）2．【解析】分解因式：a 2﹣2a （b +c ）+（b +c ）2＝[a ﹣（b +c ）]2＝（a ﹣b ﹣c ）2．【例题3】（2020•天水）已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为．【答案】1【分析】用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b ＝2，进而得出a +b ＝1．【解析】a +2b =103①，3a +4b =163②，②﹣①得2a +2b ＝2，解得a +b ＝1．【对点练习】（2019辽宁本溪）先化简，再求值（﹣）÷，其中a 满足a 2+3a ﹣2＝0．【答案】见解析。

2025年中考数学思想方法复习系列【整体思想】求代数式值中的整体思想(原卷版)

求代数式值中的整体思想知识方法精讲1．整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

2．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．一．选择题（共7小题）1．（2021秋•南充期末）已知m ，n 是方程21010x x -+=的两根，则代数式29m m n -+的值等于()A ．0B ．11-C ．9D ．112．（2021秋•中原区校级期末）已知23a b -=，则代数式241a b -+的值是()A ．5-B ．2-C ．4D ．73．（2021秋•天门期末）如果22m m -=，那么代数式2(2)(2)m m m ++-的值为()A ．8-B ．6-C ．6D ．84．（2021秋•晋州市期末）若2410x x --=，则2282020x x -+的值为()A ．2021B ．2022C ．2023D ．20245．（2021秋•长沙期末）已知2370x x +-=，则2391x x +-的值是()A ．20B ．21C ．7D ．106．（2021秋•江油市期末）已知代数式2x y +的值是3，则124x y --的值是()A ．2-B ．4-C ．5-D ．6-7．（2021秋•封开县期末）若202x y ++=-，则20x y --的值为()A ．42-B ．42C ．2-D ．22二．填空题（共14小题）8．（2021•饶平县校级模拟）已知237x x ++的值为13，则代数式2398x x +-的值为．9．（2021•广东模拟）已知235x x ++的值是7，则式子2392x x --+的值是．10．（2020•东莞市一模）已知230x x +-=，则代数式21522x x --的值为．11．（2021秋•广丰区期末）若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠的一个解是1x =，则2022a b --的值是．12．（2021秋•安居区期末）设m 、n 是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则252m m n ++=．13．（2021秋•南充期末）已知14x x -=，则221x x +=．14．（2021秋•渝北区期末）已知3232x y -=-，则代数式202146x y +-的值为．15．（2021秋•金牛区期末）已知23y x =-，则式子422021x y -+的值为．16．（2021秋•锦江区校级期末）若221a ab +=，222b ab -=，则2262a ab b --+=．17．（2021秋•鼓楼区校级期末）23a ab +=，26ab b -=，则2232a ab b +-=．18．（2021秋•成华区期末）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为．19．（2021秋•临江市期末）若3mn m =+，则3310m mn -+=．20．（2021秋•福田区校级期末）已知2210a a -+=，则2202224a a -+=．21．（2021秋•东城区校级期中）如果代数式2234x x +-的值为6，那么代数式2469x x +-的值是．三．解答题（共9小题）22．（2021秋•通州区期末）先化简，再求值：已知25a a -=，求22(37)2(32)a a a a ---+的值．23．（2021秋•白云区期末）已知a ，b 互为倒数，x ，y 互为相反数．（1）求式子232x ab y ++的值；（2）若24b =，8y b =，求式子72y b a x -的值．24．（2021秋•海淀区期末）已知2210a a +-=，求代数式222111()211a a a a a a --÷-+--的值．25．（2021秋•荔湾区期末）已知223a b +=，2ab =-，求代数式2222(733)2(432)a ab b a ab b ++-++的值．26．（2021秋•铁西区期末）利用乘法公式解决下列问题：（1）若8x y -=，40xy =．则22x y +=；（2）已知，若x 满足(25)(10)15x x --=-，求22(25)(10)x x -+-值．26．（2021秋•西城区校级期中）若257x x -+=，求22()3(1)(34)x x x x ---+-的值．28．（2021秋•思明区校级期中）所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如422()x x =、2222()x xy y x y ++=+，则称4x 、222x xy y ++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的有．（填写编号）①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+；④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥2124949a a -+．（2）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．（3）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．29．（2021秋•六盘水月考）“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如把()a b +看成一个整体：4()3()(43)()7()a b a b a b a b +++=++=+，请应用整体思想解答下列问题：（1）化简：2225()7()3()m n m n m n +-+++；（2）已知22a b -=，25b c -=-，9c d -=，求()(2)(2)a c b d b c -+---的值．30．（2021秋•柘城县期中）整体代换是数学的一种思想方法．例如：20x x +=，则22021x x ++=，我们将2x x +作为一个整体代入，则原式020212021=+=．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若210x x +-=，则22020x x ++=；（2）如果5a b +=，求2()4421a b a b +--+的值；（3）若2220a ab +=，228b ab +=，求22232a b ab --的值．。

7年级上册数学代数式整体思想求值速解题

整体思想速解题一、缩小已知型即要求值的式子中含有字母的项是已知中含有字母的项缩小一个倍数得到【例】代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2﹣4x+6＝．二、扩大已知型【解析】利用等式的基本性质把已知扩大相同的倍数转化成与求值式子相同的形式，再整体代入求值．将x﹣3y＝4等式两边同乘以（﹣2）可得（﹣2）×（x﹣3y）＝（﹣2）×4；即﹣2x+6y＝﹣8．将5﹣2x+6y变形为﹣2x+6y+5，再把﹣2x+6y＝﹣8整体代入得：原式＝(﹣（4）已知2x+y＝3，则1﹣4x+2y＝．三、直接添括号型适用于已知与求值式子是互为相反数的题型【例】（2011•十堰）已知x﹣2y＝﹣2，则3﹣x+2y的值是A．0 B．1 C．3 D．5【解析】根据已知可观察出﹣x+2y与x﹣2y互为相反数可添括号将原式变形为3﹣x+2y＝3﹣（x﹣2y）利用“整体代入法”把x﹣2y＝﹣2代入代数式，求出式子的值为5．故选D．【小结】分析式子特征和整体代入法是解题关键先阅读下面例题的解题过程，再解决后面的题目．例已知9﹣6y﹣4y2＝7，求2y2+3y+7的值．解：由9﹣6y﹣4y2＝7，得﹣6y﹣4y2＝7﹣9，即6y+4y2＝2，所以2y2+3y＝1，所以2y2+3y+7＝8．题目：已知代数式14x+5﹣21x2的值是﹣2，求6x2﹣4x+5的值．【分析】根据已知条件可得到一个等式，对等式变形，可求出3x2﹣2x的值，再整体代入所求代数式即可．【解答】∵14x+5﹣21x2的值是﹣2，∴14x﹣21x2＝﹣7，即2x﹣3x2＝﹣1，∴3x2﹣2x＝1，则6x2﹣4x+5＝2×（3x2﹣2x）+5＝7．【小结】做此类题的时候，先化简得到只含未知字母的代数式的值为多少，把要求值的式子转化成包含化简得到的代数式的相同的形式．练习：已知代数式5x2﹣8+15x＝﹣3，求2x2+6x﹣3的值．解：∵5x2﹣8+15x＝﹣3，∴5x2+15x＝﹣3+8，∴5x2+15x＝5，x2+3x＝1，∵2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3，∴原式＝2×1﹣3＝﹣1．。

初中数学整体代入思想

少需米．
解析仔细观察已知式所求式，它们当中都含有０；２一ｎ，可以将ａ２一ｎ一４＝０转化为０；２一ｎ＝４，再把０；２一。的值直接代
入所求式即可．
１
一
５．若买铅笔４支，日记本３本，圆珠笔２支共需１１元，若买铅笔９支，日记本７本，圆珠笔５支共需２５元，则购买
二、转化已知式后再代入
椤０２已知０；２一ｎ一４＝０，求０，２ —２（一０＋３）一— （一。一
４）一０的值．
时，代数式似＋ｂｘ＋７的值为
—
—
４．如图，在高２米，底为３米
的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至
三、综合题１．已知（一１）一（一Ｙ）＝一３，求＋一２ｘｙ的值．
２．已知ｒｚ＝２００ｘ＋２００７，ｂ＝２００ｘ＋２００８，ｃ＝２００ｘ＋
却存在着非常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的
的值是．
．
１
２．若３ｎ一２ｂ＝９，则代数式争６一３；０－Ｉ－２的值是 — —．
３．当＝３时，代数式鲫－４４－７的值为５，则＝一３当
２．已知３ｘ＝０，３ｙ＝６，么３＋Ｙ＝
２倍．我们可作简单的变形：由ＰＣ一３ｘ＝６，可得３一３ｘ＝一６，两边再乘以２，即得一２ｘ＝一１２．

初中数学专题训练——整体代入法综合练习及试题解析

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n =2(m +n) =2×(−1) =−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识． (1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( )A. 2B. −2C. −4D. −312【答案】B【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3， ∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2 故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( )A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=ca .也考查了一元二次方程解的定义．根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根， ∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1， ∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根， ∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12．故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3 【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+nmn 是解题的关键．原式通分后可得出m+nmn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ， ∴原式=m+n mn=3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2； (2)yx +xy ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1， ∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1， ∴原式=x 2+y 2xy=61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可； (2)将所求式子变形为x 2+y 2xy，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0． ∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②．【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③ 把方程①代入③得2×3+y =5 ∴y =−1把y =−1代入①得x =4 ∴方程组的解为{x =4y =−1 请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19②(2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值；【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2；(2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy5，由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy5−xy =32，整理得：xy =4， ∴x 2+4y 2=82+2xy5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。

七年级数学上册整体求值思想专项练习

七年级数学上册整体求值思想专项练习一、整式回顾1、利用同类项求未知数的值【例1】⑴若27m x y +-与33n x y -是同类项，则m=_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.2、整式加减的化简求值【例2】⑴化简：()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦.⑵化简求值：()22118444144x x x x ⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭，其中12x =-．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.3、化简并说明结果与字母取值无关【例3】⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．变式1.已知多项式A 和B ，()()251323A m x n xy x y =+++-+，26521B x xy x =+--，当A 与B 的差不含二次项时，求()()31m nmm n n +⎡⎤-⋅-+--⎣⎦的值．变式：、已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b-+-二、整体思想1、整体思想之整式加减运算【例4】⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---=．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-=．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+2、整体思想之代入求值【例5】⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为.⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为.⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32ca b=-，求代数式22523c a b a b c ----的值.3、整体思想之构造整体【例6】⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．4、整体思想之赋值【例7】⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值.课后作业：利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】已知5+43a x y 与315b x y +-是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算()()()32232332323223xx y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（）A ．()2a b -B ．()2a b -- C ．()22a b --D ．0整体思想之代入求值【练习4】⑴如果36a b -=，那么代数式53a b-+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____．⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝．整体思想之构造整体【练习5】如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为．整体思想之赋值【练习6】⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．。

专题05 代数式求值的四种考法(原卷版)(北师大版)

例．已知 x 1 21 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a2021x2021 ，则 a1 a2 a2021
．
【变式训练 1】设 x 13 ax3 bx2 cx d ，则 a b c d 的值为（
）
A．2
B．8
C． 2
D． 8
【变式训练 2】 (2x 1)5 a5x5 a4x4 ... a1x a0 ，则 a2 a4 ___________．
5．若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数， | m | 2 ，求 a b m2 5cd 6m 的值． 3m
类型四、含绝对值的求值
例．若 a 19, b 97 ，且 a b a b ，则 a b 的值是________
【变式训练 1】若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则 m cd a b 值
为
.
【变式训练 2】若|a|＝2，|b|＝5，且 ab＜0，则 a+b＝_______．
专题 05 代数式求值的四种考法
类型一、整体思想求值
例 1．当 x 2 时，代数式 ax3 bx 1的值为 45 ，则当 x 2 时，代数式 ax3 bx 1的值
为
．
例 2.已知 x2 - x - 4 = 0 ，则 2 3x2 3x 的值
例 3.已知 m n 2 ，则 m n2 m n 的值为
．
例 2．若 x2 x 1 0 ，则代数式 x3 2x2 2023 的值为
．
【变式训练 1】若 x2 x 1 0 ，则1998x3 3996x2 25 ．
【变式训练 2】已知 x 2 2 x 1 0 ，则 3x3 10x2 5x 2027 的值等于
．
类型三、赋值法求值

【同步讲练】整体思想在整式求值中的运用(电子版可下载)

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

类型1整体代入求值在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化繁为简.例1 已知a-2b=3,求（a-2b）2+1的值.解：当a-2b=3时，（a-2b）2+1=32+1=10.变式1 已知a-2b=3,则2a-4b+1的值为.变式2 已知a-2b=3,则1-a+2b的值为.变式3 已知a-2b=3,则8-3a+6b的值为.变式4 已知a-2b=3,则b-a/2+1的值为.【方法总结】整体代入求值:我们将已知条件看成一个整体，根据关键因素进行倍数提取及括号添加，从而将所求代数式与已知条件建立关系。

类型2整体加减求值在求代数式的值时，先将所给的2个及以上条件进行适当的变形，然后通过加减转化为所要求的代数式。

例2 m2-mn=3,mn-n2=5,求下面式子的值.（1）m2-n2;（2）m2-2m n+n2;（3）2m2+m n-3n2;解：（1）原式=（m2-m n）+（m n-n2）=3+7=10.（2）原式=（m2-m n）-（m n-n2）=3-7=-4.（3）原式=2（m2-m n）+3（m n-n2）=2×3+3×7=27.【方法总结】整体加减代入求值一般有两个条件，我们将两个条件看成两个整体，根据所求代数式各项的系数进行适当变形，然后进行加减.从而将所求代数式与已知两个条件建立关系。

【针对训练】已知a2＋b2＝6，a b＝－2，求(4a2＋3a b－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．类型3整体构造法求值在求多项式的系数相关数值时，我们通常令x等于某一特殊值，从而求出部分系数和的值.例3：已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则a=.【分析】令x=0,则（1+0）4=a,则a=1.变式1已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则a+b+c+d+e=.变式2已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则a-b+c-d+e=.变式3已知（x+1）4=a+b x+c x2+d x3+e x4,则b+d=.【方法总结】整体构造法求值一般为代数式的展开式，根据所求系数，可以令x为适当的值，从而将所求系数和与左侧代数式的值建立关系.若对x赋值一次无法直接求出部分系数之和，我们可进行两次赋值，然后利用整体加减法进行处理.1．已知x－2y＝5，那么5(x－2y)2－4(x－2y)－60的值为( ) A．55 B．45 C．80 D．402．已知式子3y2－2y＋6的值是8，那么y2－y＋1的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．43．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－14．若式子2x2＋3x＋7的值是8，则式子4x2＋6x－9的值是( ) A．2 B．－17 C．－7 D．75．已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝．6．如果m，n互为相反数，那么(3m－2n)－(2m－3n)＝．7．(广东中考)已知x＝2y＋3，则式子4x－8y＋9的值是．8．若2a－b＝2，则6＋4b－8a＝．9．若a2－5a－1＝0，则5(1＋2a)－2a2的值为．10．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．。

代数式求值中的整体思想训练精品教学内容

例6、(08烟台)已知()()213x x x y ---=-，求222x xy y -+的值（提示：已知存在()2222x y x xy y +=++恒成立）课内练习与训练一、填空题1、已知代数式6432+-x x 的值为9，则6342+-x x 的值为 2、若923=-b a ，则代数式24321+-a b 的值是 3、当3=x 时，代数式73++bx ax 的值为5，则当3-=x 时，代数式73++bx ax 的值为4、如图，在高2米，底为3米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米。

5、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需11元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需元。

6、已知代数式2)(24352++++dx x cx bx ax x ，当1=x 时，值为3，则当1-=x 时，代数式的值为7、8、9、()()()()2422121212+1=n +++… 二、计算1111111111111111(+)(1+)(1+)(+)2342008234200723420082342007+++++++-+++++++…………2、已知()()215x x x y +--=，求222x xy y ++的值四、综合题1、已知3)()1(2-=---y x x x ，求xy y x 222-+的值。

2、已知2009200,2008200,2007200+=+=+=x c x b x a ，求ac bc ab c b a ---++222的值。

_____________1234567901234567881234567892=⨯-_____________12979899100222222=-+⋯⋯+-+-。

代数式求值中的整体思想大题培优专练七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】(原卷版)

2023-2024学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.7代数式求值中的整体思想大题培优专练一．解答题（共30小题）1．（2022秋•沁县期末）我们知道：4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，若我们把（a+b）看成一个整体，则有4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题：（1）把（a﹣b）看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2；（2）已知：x2+2y＝5，求代数式﹣3x2﹣6y+21的值；（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．2．（2022秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关．（1）求a，b的值．（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．3．（2022秋•利川市校级期末）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a﹣b）看成一个整体，则4（a﹣b）﹣2（a﹣b）+（a﹣b）＝（4﹣2+1）（a﹣b）＝3（a﹣b）．【尝试应用】（1）化简4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）的结果是．（2）化简求值，3（x+y）2+5（x+y）+5（x+y）2﹣3（x+y），其中x+y=1 2．【拓展探索】（3）若x2﹣2y＝4，请直接写出﹣3x2+6y+10的值．4．（2022秋•启东市校级期末）（1）先化简，再求值：2(a2+ab)−3(23a2−ab)，其中a＝2，b＝﹣3．（2）已知2x+y＝3，求代数式3（x﹣2y）+5（x+2y﹣1）﹣2的值．5．（2022秋•香洲区期中）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试：（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是．（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x﹣10的值；（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．6．（2022秋•鄞州区校级期中）理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？“小明是这样来解的：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b把式子5a+3b＝﹣4两边同乘以2，得﹣10a+6b＝﹣8．仿照小明的解题方法，完成下面的问题：（1）如果a2+a＝0，则2a2+2a+2015＝；（2）已知a﹣2b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣7a+11b+5的值；（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2+72ab+12b2的值．7．（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值．小明采用的方法如下：由题意得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5．所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x2+x+1的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值．（2）当x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为9，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值．[拓展应用]若a2﹣ab＝26，ab﹣b2＝﹣16，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．8．（2022秋•郫都区校级期中）整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如x2+x＝1，求x2+x+2022的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2022＝2023．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若x2+2x﹣1＝0，则x2+2x﹣2022＝．（2）若a2+2ab＝﹣5，b2+2ab＝3，求2a2﹣3b2﹣2ab的值．9．（2021秋•虎林市期末）先化简，再求值．若m2+3mn＝﹣5，则代数式5m2﹣[5m2﹣（2m2﹣mn）﹣7mn+7]的值．10．（2021秋•宜城市期末）阅读理解：如果式子5x+3y＝﹣5，求式子2（x+y）+4（2x+y）的值．小花同学提出了一种解法如下：原式＝2x+2y+8x+4y ＝10x+6y＝2（5x+3y），把式子5x+3y＝﹣5整体代入，得到原式＝2（5x+3y）＝2×（﹣5）＝﹣10．仿照小花同学的解题方法，完成下面的填空：（1）如果﹣x2＝x，则x2+x+1＝；（2）已知x﹣y＝﹣3，求3（x﹣y）﹣5x+5y+5的值；（3）已知x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4，求4x2+7xy+y2的值．11．（2021秋•惠州期末）阅读材料；我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用整体思想解决下列问题：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣（a﹣b）2+2（a﹣b）2．（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．12．（2021秋•江陵县期末）化简求值：（1）3（2x2y﹣4xy2）﹣（﹣3xy2+x2y），其中x=−12，y＝1；（2）先化简，再求值：已知a2﹣a﹣5＝0，求（3a2﹣7a）﹣2（a2﹣3a+2）的值．13．（2021秋•鲤城区期末）阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．例如：计算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）时可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得﹣2（2m+n），再利用分配律去括号得﹣4m﹣2n．（1）若已知2m+n＝2，请你利用整体思想求代数式1﹣6m﹣3n的值；（2）一正方形边长为2m+n，将此正方形的边长增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m+n 的值．14．（2021秋•浉河区期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+7（a﹣b）2的结果是；（2）拓广探索：已知x2+2y=−13，求﹣6y﹣3x2+2021的值．15．（2021秋•汕尾期末）先化简，再求值：已知2a﹣b＝﹣2，求代数式3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b的值．16．（2021秋•通州区期末）先化简，再求值：已知a2﹣a＝5，求（3a2﹣7a）﹣2（a2﹣3a+2）的值．17．（2021秋•吉林期末）数学中，运用整体思想方法在求整式的值时非常重要．例如：已知m2+3m＝1，则2m2+6m+1＝2（m2+3m）+1＝2×1+1＝3．请你根据上面材料解答以下问题：（1）若n2﹣2n＝3，求2﹣n2+2n的值；（2）当x＝1时，px3+qx﹣1＝4，当x＝﹣1时，求px3+qx﹣1的值；（3）当x＝2021时，ax5+bx3+cx+2＝k，当x＝﹣2021时，直接写出ax5+bx3+cx+2的值（用含k的式子表示）．18．（2021秋•海沧区校级期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，若把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果为；（2）已知x+2y＝3，求代数式3x+6y﹣8的值；（3）已知xy+x＝﹣6，y﹣xy＝﹣2，求代数式2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy﹣y）2﹣y]﹣xy的值．19．（2020秋•宽城区期末）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要．例如：已知a2+2a＝2，则代数式2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×2+3＝7．请你根据以上材料解答以下问题：（1）若x2﹣3x＝4，求1﹣x2+3x的值．（2）当x＝1时，代数式px3+qx﹣1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx﹣1的值．（3）当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值为m，直接写出当x＝﹣2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值．（用含m的代数式表示）20．（2022秋•大余县期末）先化简，再求值：已知多项式A＝3a2﹣6ab+b2，B＝﹣2a2+3ab﹣5b2，当a＝1，b＝﹣1时，试求A+2B的值．21．（2022秋•射洪市期末）已知A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．22．（2022秋•滕州市校级期末）已知A＝2a2﹣3ab+2a﹣1，B＝3a2+ab﹣2，（1）化简3A﹣2B；（2）若3A﹣2B的值与a无关，求b的值．23．（2022秋•洪山区校级期末）已知A＝x3+ax，B＝2bx3﹣4x﹣1．（1）若多项式2A﹣B的值与x的取值无关，求a，b的值；（2）当x＝2时，多项式2A﹣B的值为21，求当x＝﹣2时，多项式2A﹣B的值．24．（2022秋•黄石期末）已知M＝2x2﹣xy+y2，N＝x2﹣2xy+y2．（1）化简：2M﹣N；（2）当x为最大的负整数，y取m2﹣3的最小值时，求2M﹣N的值．25．（2023•清苑区二模）已知整式2a2﹣3a+2 的值为P，a2﹣a﹣3 的值为Q．【发现】（1）当a＝0时，P＝2，Q＝，P Q（填“＞”“＝”或“＜”）；当a＝3时，P＝，Q＝3，P Q．【猜想与验证】（2）无论a为何值，P Q始终成立，并证明该猜想的结论．26．（2023春•新市区期末）先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．例：已知代数式6y+4y2的值为2，求2y2+3y+7的值．解：由6y+4y2＝2得3y+2y2＝1，所以2y2+3y+7＝1+7＝8．问题：（1）已知代数式2a2+3b的值为6，求a2+32b﹣5的值；（2）已知代数式14x+5﹣21x2的值为﹣2，求6x2﹣4x+5的值．27．（2023•龙凤区校级模拟）已知（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7．（1）求a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7的值．（2）求a0+a2+a4+a6的值．28．（2022秋•内乡县期末）已知有下列两个代数式：①a2﹣b2；②（a+b）（a﹣b）．（1）当a＝7，b＝3时，代数式①的值是；代数式②的值是．（2）当a＝﹣2，b＝﹣5时，代数式①的值是；代数式②的值是．（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的关系为．（4）利用你发现的规律，求20222﹣20212的值．29．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）已知2y2+y﹣2的值为3，求4y2+2y+1的值．（2）已知当x＝﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，求9b﹣6a+2的值．30．（2022秋•祁阳县期末）图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．明明同学在做作业时采用的方法如下：由题意得3（a2+2a）+2＝3×1+2＝5，所以代数式3（a2+2a）+2的值为5．【方法运用】：（1）若代数x2﹣2x+3的值为5，求代数式3x2﹣6x﹣1的值；（2）当x＝1时，代数式ax3+bx+5的值为8．当x＝﹣1，求代数式ax3+bx﹣6的值；（3）若x2﹣2xy+y2＝20，xy﹣y2＝6，求代数式x2﹣3xy+2y2的值．。

整式加减之整体思想求值.学生版

题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1 整式加减的化简求值例2；练习1 化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2 整体思想之整体化简例4；练习3 整体思想之代入求值例5：练习4 整体思想之构造整体例6；练习5 整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质： ⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项. 整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法： ⑴由内向外逐层进行； ⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．整体思想求值⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. ⑴ 下列说法正确的是（）A ．单项式23x -的系数是3- B ．单项式3242π2ab -的指数是7C ．1x 是单项式 D ．单项式可能不含有字母⑵ 多项式2332320.53x y x y y x ---是次项式，关于字母y 的最高次数项是，关于字母x 的最高次项的系数，把多项式按x 的降幂排列．A B C DEF⑶ 已知单项式4312x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数相同，求m 的值．⑷ 若A 和B 都是五次多项式，则（）A ．AB +一定是多项式 B ．A B -一定是单项式C ．A B -是次数不高于5的整式D ．A B +是次数不低于5的整式⑸ 代数式()()()22241332xyz xy xy xyz xyz xy +-+-+--+的值（）A ．与x y z ，，的大小无关B ．与x y z ，，大小有关C ．仅与x 的大小有关D ．仅与x y ，的大小有关⑹ 当m = 时，212323mx y xy --是五次二项式.训练2. 用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数——整体．试按提示解答下面问题．⑴ 已知2351A B x x +=-+，2235A C x x -=-+-，求当2x =时，B C +的值．.⑵ 若代数式2237x y ++的值为8，求代数式2698x y ++的值．训练3. 正方体六个面展开如图所示，六个面分别用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 表示，已知：2243A x xy y =-+，1()2B C A =-，2232C x xy y =--，2E B C =-，若正方体相对的两个面上的多项式的和相等，求D 、F. (用含y x ,的多项式表示)训练4. ⑴设()5543254321031x a x a x a x a x a x a -=+++++，求024a a a ++的值．⑵已知()5543254321021x a x a x a x a x a x a -=+++++，则24a a +的值为 .利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝．整体思想之构造整体【练习5】如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

七年级上培优专题——整体思想求值(附答案)

七年级上培优专题——整体思想求值（附答案）题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；⑷ a c e ++的值．训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为． ⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝．整体思想之构造整体【练习5】如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

第2章专题二整式运算中的思想方法

10.已知多项式(2x2＋mx－21y＋3)－(3x－2y＋1－nx2)的值与字母 x 的取值无关，求多项式(m＋2n)－(2m－n)的值. 解：原式＝2x2＋mx－21y＋3－3x＋2y－1＋nx2＝(2＋n)x2＋(m－3)x＋32y＋2， ∵多项式值与字母 x 无关，∴2＋n＝0，m－3＝0，∴n＝－2，m＝3，∴(m ＋2n)－(2m－n)＝m＋2n－2m＋n＝3n－m＝3×(－2)－3＝－9.
项为( A )
13.已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|－|a＋b|＋|c－ a|＋|b－c|.
解：由图可知 b＜a＜0＜c，∴原式＝－a－[－(a＋b)]＋(c－a)＋[－(b－c)] ＝2c－a.
四、从一般到特殊的规律探究
14.给定一列按规律排列的数：1，34，23，58，…，则这列数的第 9 个数是( B )
8.已知 a2＋. 解：a2－b2＝a2＋ab－(ab＋b2)＝4－(－1)＝5，a2＋3ab＋2b2＝a2＋ab＋2(ab ＋2b2)＝4＋(－1)×2＝2.
二、利用“无关”求值 9.已知 M＝2x2＋4xy－2x－3，N＝－x2＋xy＋2，且 2M＋4N 的值与 x 无关，求 y 的值. 解：2M＋4N＝2(2x2＋4xy－2x－3)＋4(－x2＋xy＋2)＝12xy－4x＋2＝(12y－ 4)x＋2，∵2M＋4N 与 x 值无关，∴12y－4＝0，∴y＝13.
解：原式＝xy＋8x＋8y，∵xy＝2，x＋y＝3，∴上式＝2＋8×3＝26.
7.当 x＝1 时，多项式 ax3＋bx＋1 的值是 5，则当 x＝－1 时多项式12ax3＋21bx ＋1 的值是多少？
解：∵a＋b＋1＝5，∴a＋b＝4，∴原式＝－12a－21b＋1＝－21(a＋b)＋1＝－ 2＋1＝－1.

整体思想解题专题练习

整体思想解题专题练习
姓名考试时间 30分钟得分
一、整体直接代入
将已知的式子直接代入求式中求值
二、变形已知
已知变形的方法有：移项、等于两边同时乘除同一个数（式），两边平方
三、变形求式
（一）添加括号
（二）求式变形
四、变形已知求式
将已知条件与求式都变形，直到能求值为止
五、添加括号
通过添加括号，达到将只有符号差异的式子转化成已知式子
六、整体加减
方法运用
1、如果a+b=5,那么())(42
b a b a +-+的值为 2、已知6432+-x x 的值等于9，则42-x ＝
3、已知5242+-y y 的值等于7，则122+-y y ＝
4、已知0232=--a a ，则2625a a -+＝
5、已知9﹣6y ﹣4y 2＝7，则2y 2+3y+7的值为
6、已知代数式5x 2﹣8+15x ＝﹣3，则2x 2+6x ﹣3的值为
7、若x ＋2y+3z ＝10,4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值是_____________。

8、若方程组⎩⎨⎧=++=+3
313y x k y x 的解x ，y 满足10<+<y x ，k 的取值范围是为 9、已知x ﹣2y ＝﹣2，则3﹣x+2y 的值是
10、已知43=-y x ，则5－2x+6y 的值是
11、已知2122=+-x x ，则x x 1+
的值为。

思维特训(八) 整体法求整式的值

思维特训(八)整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2019＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1类型二已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m＋n＝－2，mn＝－4，则2(mn－3m)－3(2n－mn)的值为________．4．若a＋c＝2019，b＋d＝－2019，则(a＋b＋c－d)＋(a＋b＋d－c)＋(a＋c＋d－b)－(a －b－c－d)＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m－n＝100，x＋y＝－1，求(n＋x)－(m－y)的值．解：(n ＋x)－(m －y)＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n)＋(x ＋y)＝－100－1＝－101.问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值． 6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)．根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn ＋3m ＋10，把mn ＝m ＋3代入，得原式＝－3m －9＋3m ＋10＝1.2．解：(1)a 2＋a ＋2019＝0＋2019＝2019.(2)由14x －21x 2＝－14，得21x 2－14x ＝14，即3x 2－2x ＝2，则原式＝3(3x 2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a －b)－5a ＋5b ＋5＝3(a －b)－5(a －b)＋5＝－2(a －b)＋5.当a －b ＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S 1－S 2＝4(5a －2b)－3(6a －2b)＝20a －8b －(18a －6b)＝2a －2b ＝2(a －b)．当a －b ＝4时，S 1－S 2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m ＋n ＝－2，mn ＝－4，所以原式＝2mn －6m －6n ＋3mn ＝5mn －6(m ＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2 [解析] 因为a ＋c ＝2019，b ＋d ＝－2019，所以原式＝a ＋b ＋c －d ＋a ＋b ＋d －c ＋a ＋c ＋d －b －a ＋b ＋c ＋d ＝2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝2(a ＋b ＋c ＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)＝3ab ＋6a ＋4b －2a ＋2ab＝5ab ＋4a ＋4b＝5ab ＋4(a ＋b)．当a ＋b ＝－7，ab ＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a 2＋2ab ＝－2左右两边同乘2，得2a 2＋4ab ＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12，得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，所以B ＋C＝(A ＋B)－(A －C)＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.。

代数式求值(整体思想)

代数式求值（整体思想）一．填空题（共30小题）1．若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为．2．已知a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣3的值是．3．若a﹣3b=4，则8﹣2a+6b的值为．4．若a2﹣3a=4，则6a﹣2a2+8=．5．已知x2=2x+5，则2x2﹣4x﹣3的值为．6．已知﹣x2+4x的值为6，则2x2﹣8x+4的值为．7．已知a﹣b=1，则代数式2a﹣2b+2014值是．8．若a+b=1，b﹣c=2，则﹣3a﹣3c的值为．9．若x﹣2y=4，则2（2y﹣x）2+2x﹣4y+1的值是．10．若y﹣2x=1，则6x﹣3y+2=．11．已知a﹣2b=，则2017﹣2a+4b的值是．12．若a﹣2b=3，则9﹣2a+4b的值为．13．代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2﹣+6=．14．如果（x ﹣）3=ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d=．15．（x+2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0=．16．当x=1时，px3+qx+6的值为2015，当x=﹣1时，px3+qx+6的值为．17．若m2+3n﹣1的值为5，则代数式2m2+6n+5的值为．18．如果a﹣b=3，ab=﹣1，则代数式3ab﹣a+b﹣2的值是．19．若a﹣b=2014，则式子a﹣（b﹣2）的值为．20．己知a﹣b=1，b﹣c=2，则（a﹣b）2﹣2（a﹣c）+1的值为．21．已知a+2c=5，5c﹣2b=7，则a+2b﹣3c=．22．若b﹣2a=5，则b+5﹣a=．23．若x=3时，代数式ax3+bx的值为12，则当x=﹣3时，代数式ax3+bx+5的值为．24．已知当x=1时，ax3﹣2bx=3，求当x=﹣1时，代数式10+2ax3﹣4bx的值为．25．已知当x=3时，多项式ax3+bx+3的值为20，则当x=﹣3时，多项式ax3+bx+3的值为．26．已知（x﹣1）3=ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d的值为．27．若（x+3）3=x3+ax2+bx+c，则a﹣b+c的值等于．28．若（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，那么a1+a2+a3+a4=．29．已知x2+xy=2，y2+xy=5，则=．30．已知（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a，则a1+a3+a5=．第1页（共1页）。

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有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。

下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。

一、直接代入
例1、如果 a b 5，那么(a+b) 2-4 (a+b)= .
解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a、b的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有(a b)，只要把式中的a b的值代入到要求的式子中，即可得出结果5.
2 2
(a+b) —4 (a+b) =5 -4X 5=5。

练习：1.当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是_________
2. 已知3x=a, 3y=b, 那么3x+y=
2（x2 3x 7）23 2X 8 —23=—7。

本题也可将已知式进行转化，由2x2 3x 7的值为8,得2x2 3x 1 ,两边再乘以2, 得4x2 6x 2，于是4x2 6x 9 —7。

习题练习：
1. 已知x2 x y ,贝U方程X2 X 2 2 X2 X 1 0可变形为（）
A. 2y 2y 1 0 B . 2
y 2y 1 0
2
解析：仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a2—a，可以将a2—a —4=0转化为a2—a=4,
再把a2—a的值直接代入所求式即可。

2 2 1 2
a —2(a —a+3) —- (a —a —4) —a
2
2 2 1 2
=a —a —2(a —a+3) —(a —a —4)
2
=(a2—a) —2(a2—a) —6—1 (a2—a)+2
2
=—3 (a2—a) — 4.
2
课内练习与训练
一、填空题
1、已知代数式3x3 4x 6的值为9,则x2 4x 6的值为
3 ----------------
1 3
2、若3a 2b 9，则代数式b 4 a 2的值是
2 4 -----------------
3、当x 3时，代数式ax3 bx 7的值为5,则当x 3时，代数式ax3 bx 7的值为
4、如图，在高2米，底为3米的楼梯表面铺地毯，
则地毯长度至少需米。

5、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需11元，
若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，贝U 购
买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需元。

6、已知代数式x^ax： bx： ex) ?，当x 1时，值为3，
x dx
则当x 1时，代数式的值为
2
7
、123456789 123456788 123456790 ____________
8、1002992982 2 ^2 ,2
97 2 1
9、2 122 1 242n /
1 …
2 +1 =
二计算
.1 1 11…1 1 1 1 、.1111..1111 111 1111 1 、“ 1 1 1 1111 1 、
2 3 4 2008 2 3 4 2007 2 3 4 2008 2 3 4 2007
2、已知x x 1 x2y 5，求x2 2xy y2的值
四、综合题
1、已知x(x 1) (x2 y) 3，求x2 y22xy 的值。

3已知a 200x 2007, b 200x 2008,e 200x 2009，求a2b2 e2ab be ae 的值。

2 2
4已知(x 2005)(x 2001) 7，求(x 2005) (x 2001)的值。

1 1 1
1 1 1 22
32
42
(2)求：x 4 y 4
5、已知
（x y ）2
6|5
，x y 6,求xy 的值。

bx 7的值为4,则当x= — l 时，代数式ax 3 bx 7的值为
二、转化已知式后再代入
例 2、已知 a 2— a — 4=0,求 a 2— 2(a 2 — a+3) — — (a 2— a — 4) — a 的值.
4、已知、x y 6且xy （1）求：x 2 y 2
4
,（已知x
x 2 2xy y 2恒成立）
&当x=1时，代数式 ax 3 7、计算1
1 1-
19992
1
2
2000的值。

已知有
1 1 1
1 1 1
22
32
42
3
所以当 a 2 — a=4时，原式=——X 4— 4=— 10.
2 三、转化所求式后再代入例 3、若 x 2 3x 6，则 6x 2x 2
________
解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的2倍•我们可作简单的变形：由x 2 3x 6，可得3x x 2
6
，两
边再乘以2，即得6x 2x 2
— 12.
例 4、2x 2 3x 7 的值为 8，则 4x 2 6x 9 ______________
解析：将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，即由
4x 2 6x 9
得。