高三数学一轮复习数系的扩充与复数的引入教案

数系的扩充与复数的引入

A ．a ＝1，b ＝1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝－1，b ＝－1

D ．a ＝1，b ＝－1

解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.

3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i

4－i ＝( )

A ．1－i

B ．－1＋i

C ．1＋i

D ．－1－i

解析：选C 5＋3i

4－i ＝

5＋3i 4＋i 4－i

4＋i ＝20＋5i ＋12i ＋3i 2

16－i 2

＝17＋17i

17

＝1＋i. 4．若复数z 满足z

1＋i

＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．

解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二

5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋i

i ，则|z |＝________.

解析：因为z ＝3＋i

i －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.

答案：17 1.复数的几何意义

除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略

(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.

复数的有关概念

典题导入

(1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b

i 为纯虚数”

的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i

1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相

反数，那么b 等于( )

A ．－2

3

B.23

C. 2

D ．2

(1)若复数a ＋b

i ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝0，a

＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋b

i

为纯虚数”的必要不充分条件． (2)2－b i 1＋2i ＝2－b i 1－2i 1＋2i

1－2i ＝

2－2b －

4＋b i

5

，

依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－2

3.

(1)B (2)A

由题悟法

处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．

以题试法

1．(2012·东北模拟)已知x

1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共

轭复数为( )

A ．1＋2i

B ．1－2i

C ．2＋i

D ．2－i

解析：选 D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1.

x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.

复数的几何意义

典题导入

(2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i

z

(i 为虚部单位)在复

平面内对应的点所在的象限为( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

选 C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝

2－i

－1－2i

－1＋2i

－1－2i

＝－4－3i 5

，因此该复数在复

平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－4

5

，－35，位于第三象限．

由题悟法

复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．

以题试法

2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )

A ．4＋8i

B ．8＋2i

C ．2＋4i

D ．4＋i

(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．

解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.

(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

λ＝－1，μ＝2.

∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1

复数的代数运算