等腰三角形培优导学案

等腰三角形培优导学案知识导引1、等腰三角形的性质：有两条边相等；在同一个三角形中，等边对等角；等腰三角形三线合一（顶角平分线、底边上的高线和底边上的中线互相重合）；是轴对称图形，有一条对称轴。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边相等，三个角都是60°，三条边上都满足三线合一，有三条对称轴。

2、等腰三角形的判定：在同一三角形中，等角对等边；等边三角形的判定定理有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3、解与等腰三角形相关的问题时，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是要思考运用等腰三角形的特殊性质。

这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线限制关系的证明等问题的解决提供了新的理论依据。

4、寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。

实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务。

常用的构造方法有：（1）角平分线＋平行线；（2）角平分线＋垂线；（3）垂直平分线；（4）三角形中的 2 倍关系。

典例精析例1：如图，B D是等腰△ ABC底边AC上的高线，三角形。

例1—1：如图，∠ ABC 的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，（1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。

2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明。

例3：如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠ CDE＝例4：如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠ DAE 的度数为。

例5：老师布置了一道思考题：如图1，点M，N 分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°。

（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“ BM＝CN”与“∠ BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N 分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠ BQM＝60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上” ，是否仍能得到∠ BQM＝60°？例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：对②，③的判断，选择一个给出证明。

②探究活动例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，△ABC中，设∠ A＝，∠B＝，∠C＝。

请探究△ ABC 中个角度有怎样的关系才能被分割成两个等腰三角形，并探究如何分割。

（第 2 题图）（第 3 题图）3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知图中的格点，且使得△ ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是（A、6 个 B 、7 个 C 、8 个 D 4、如图所示，已知△ ABC和△CDE均是等边三角形，点B，C，E在通一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：① AE＝BD；②AG＝BF；③ FG∥BE；④∠ BOC＝∠EOC，其中正确的结论个数是（）A、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个5、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成2： 1 两部分，已知三角形的底边长为5，则腰长为。

学力训练1、已知等腰三角形的一条边长等于A、9 B 、122、如图，在△ ABC 中，AB＝AC，较于点F，则图中的等腰三角形有A 组务实基础6，领一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）、15 D 、12或15CE分别为∠ ABC与∠ACB的角平分线且相（第 4 题图）A，B 是两格点，，如果 C 也是）、9 个∠ A＝36°，BD，6、如图，在△ ABC中，EG∥BC，BF平分∠ ABC，CF平分∠ ACB，AB＝10，AC＝12，△AEG的9、如图所示，把一块直角三角尺延长线上的点E重合。

（1）三角尺旋转了多少度？（2）连结CD，试判断△ CBD 的形状。

10、已知：如图，OA平分∠ BAC，∠ 1＝∠ 2，求证：△ ABC 是等腰三角形。

AC＝AE，8、请在下图的方格中任意画出三个以AB 为腰的等腰三角形ABC。

（要求：三个三角形分别为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形）ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点 A 与CB的11、已知一个等腰三角形的三边长分别是x，2x－1，5x－3，那么这个三角形的周长是多少？12、如图，△ ABC中，∠ACB＝90°，将△ ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）.（1）在图①中画出折痕所在的直线l 。

设直线l 与AB，AC分别相交于点D，E，连结CD。

（画图工具不限，不要求写作法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形（不要求证明）。

13、如图（1）等边△ ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△ EDC，连结AE。

（1）（2）（3）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由。

试说明AE∥BC 的理由。

如图（2），将（1）中动点D 运动到边BA 的延长线上，所作△ EDC 仍为等边三角形，是否仍有AE∥BC？证明你的猜想。

B 组瞄准中考1、（济宁中考）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm，那么此三角形的周长是（）A、15cm B 、16cm C 、17cm D 、16cm 或17cm2、（大庆中考）如图，在△ ABC 中，AC＝BC> AB，点P为△ ABC所在平面内一点，且点P 与△ABC的任意两个顶点构成的△ PAB，△ PBC，△PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（）3、（西宁中考）如图，在等边△ ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ ABC的边长为（）A、9 B 、12 C 、16 D 、184、（宿迁中考）等腰三角形的两边长分别是 3 和7，则其周长为5、（邵阳中考）如图，△ ABC 中，AB＝AC，AD平分∠ BAC，点 E 为AC的中点，请你写出一个正确的结论：6、（无锡中考）如图，OB＝OC，∠B＝80°，则∠ AOD＝7、（宁波中考）（1）如图1，△ABC 中，∠ C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ ABC 分割成两个等腰三角形。

（不写作法，但须保留作图痕迹）（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图 3 所示，请你判断：能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。

8、（株洲中考）如图，△ ABC 中，AB＝AC，∠ A＝36 垂足，连结CE。

（1）求∠ ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC的长。

、7个A、 3个（第 3 题图）第 5 题图）第 6 题图）9、（玉溪中考）将两个等边△ ABC 和△DEF（DE>AB）按如图所示摆放，点D是BC上一点（除点B，点 C 外）。

把△ DEF 绕顶点 D 按顺时针方向旋转一定的角度，使得边DE，DF 与△ABC的边（边BC除外）分别相交于点M，N。

（1）∠BMD和∠CDN相等吗？（2）画出使∠ BMD和∠ CDN相等的所有情况的图形。

（3）在题（2）中任选一种图形说明∠ BMD 和∠ CDN相等的理由。

10、（沈阳中考）已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连结BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点。

（1）求证：① BE＝CD；②△ AMN是等腰三角形。

（2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形，请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立。

11、（绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目：小敏同桌小聪讨论后，进行解答：（1）特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出结论：AE BD（2）特例启发，解答题目：题目中，AE与BD的大小关系是：AE BD （填“>”，“<”或“＝”）。

理由如下：如图2，过点 E 作EF∥BC，交AC 于点F。

（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且DE＝CE。

若△ ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长。

（请你直接写出结果）12、（杭州中考）如图，在等腰△ ABC 中， CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点 重合的任意一点，连结 AP 交 BC 于点 E ，连结 BP 交 AC 于点 F 。

（ 1）证明：∠ CAE ＝∠CBF ； （ 2）证明： AE ＝BF ； （3）以线段 AE ，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG （点 E 与点 F 重合于点 G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为 S △ABC 和S △ABG ，如果存在点 的取值范围。

P ，能使得 S △ ABC ＝ S △ABG ，求∠ ACB C 组 冲击金牌1、将一根长度为 11 的铅丝折成三段，再首尾相接围成一个等腰三角形，如果要求所围成 的等腰三角形的边长都是整数，那么其底边可取的不同长度有（ A 、 2 个 B 、 3 个 、4个2、意识△ ABC 的三边长分别为b 、c ，且 a b 、 5个 bc bca 定是（ ） 等边三角形 B 底边长为 a 的等腰三角形 如图，若 AB ＝AC ， BG ＝BH ， 30° B 、32° C 有 三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 A 、 C 、 3、 A 、 4、 、腰长为 a 的等腰三角形 、等腰直角三角形 D AK ＝KG ，则∠ BAC 的度数为（ D 等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰 、36° 、40° 度。