数值分析习题第四章

第四章 习题

1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()⎰--++-≈h

h

h f A f A h f A dx x f 1

1

0；

（2）()()()()⎰

--++-≈h

h h f A f A h f A dx x f 221010；

（3）()()()()[]3/3211

12

1

⎰-++-≈x f x f f dx x f ；

（4）

()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h

'0'2/020

+++≈⎰

解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()2

1

x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得

()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=+=+-=++---3

1121

110132

02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34

31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于

()()

()()

4

443333

333h h h h dx x h h h h dx x h h

h

h

⎰⎰--+-≠+-≈

故

()()()()⎰--++-≈h

h

h f A f A h f A dx x f 1

1

0具有三次代数精度。

（2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2

1

x x x f ，，=准确成立，得()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=+=+-=++---3

11211101316

04h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34316424381011-=-=-===-，

故()()()[]()03

4

3822hf h f h f h dx x f h

h -+-≈

⎰- 因()⎰

-=h

h

dx x f 220

而

()()[]

03

83

3=+-h h h 又[]

44556224

3

8

31652h h h h h dx x h

h +=≠=⎰-

所以求积公式只具有三次代数精度。

（3）求积公式中韩两个待定常数21x x 、，当令公式对()1=x f 准确成立时，得到

()3213

1

21

1

++=

=⎰

-dx 此等式不含有待定量21x x 、，无用，故需令公式对()2

x x x f ，=准确成立，即

()()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++-==⎰⎰--1

1

2

22121

12132131323213

10x x dx x x x xdx 得⎩⎨⎧=+=+1321

322

221

21x x x x 解上述方程组得

⎩⎨

⎧=-=68990.012660.012x x 或⎩⎨⎧-==28990.052660

.01

2x x 故有()()()()[]12660.0368990.0213

1

1

1

-++-≈

⎰

-f f f dx x f 或

()()()()[]52660.0328990.0213

1

1

1

f f f dx x f +-+-≈

⎰

- 将()3

x x f =代入上已确定的求积公式中，

[]

3

2

311

1

33213

1x x dx x ++-≠

⎰

- 故求积公式具有2次代数精度。

（4）求积公式中只含有一个待定系数a ，当()x x f ，1

=时，有 ()⎰++=

4

0112

1h

dx ()()⎰

-++=

4

21102

ah h h

xdx 故令()2

x x f =时，求积公式精确成立，即

()

()⎰+⨯++=

4

2

2420202h ah h h dx x 解得12

1

=a

故有

()()()[]()()[]h f f h h f f h dx x f h

'0'12

022

+++≈⎰

将()3

x x f =代入上述已确定的求积公式中，有

[][]

4

301202442

2340

3

h h h h h h dx x h

=-++≈=⎰

再另()4

x x f =代入求积公式时有

[][]

324

40

3

4012

024h h h h h dx x h

-++≠=⎰

故求积公式具有3次代数精度。

2．分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分dx e x ⎰

1

，并估计各种方法的误差

（要求小数点后至少要保留5位）。 解：运用梯形公式，[]

8591409.12

110

1

=+≈

⎰

e e dx e x 其误差

()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛=-∈=≤--

=⎰1408591.08591409.102265235.012

1011211

03

dx e e e f R x 实际误差为，,1ξξ

运用Simpson 公式，7188612.14611

21

01

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++≈⎰e e e dx e x

其误差为()00094385.02880

1

28801=≤-

=

e e

f R ξ 运用Cotes 公式，718282688.17321232770114

3

214101

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++++≈⎰e e e e e dx e x 其误差为()000001404.04

945241945126

6

=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=e

e f R ξ 3．推到下列三种矩形求积公式;

()()()()()()()()()()()()()()222

24''22

'2'a b f b a f a b dx x f a b f b f a b dx x f a b f a f a b dx x f b

a

b

a b

a -+

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≈---≈-+

-≈⎰

⎰⎰ηηη 解：将()a x x f =在出Taylor 展开，得

()()()()[]x a a x f a f x f ，∈-+=ξξ,'，两边在[]b a ,上积分，得