非线性微分方程

第六章 非线性微分方程
§6.1 稳定性
李雅普诺夫稳定性 按线性近似决定稳定性 V 函数方法 (李雅普诺夫第二方法)
§6.2 定性
奇点 极限环 平面图貌
*§6.3 混沌
1 第六章 非线性微分方程§6.1
李雅普诺夫稳定性
例 求一阶非线性微分方程 d y Ay By2
dt
的解的图貌。其中A,B为常数且A·B>0，初值条件为y(0)=y0。
• 当A>0,B>0时，微分方 程(9)的零解x=0为渐近稳 定，稳定域为x>-A/B。 • 而对微分方程(4)的特解y2(t)=A/B为渐近稳定，稳定域
为y>0。零解y=0为不稳定。 8 第六章 非线性微分方程§6.1
常系数线性微分方程组稳定性
• 考虑常系数线性微分方程组
d x Ax (8) dt
9 第六章 非线性微分方程§6.1
按线性近似的稳定性 dx Ax (8) dt
现考虑非线性驻定微分方程组 d x Ax R(x), R(0) 0 (11)
右端函数满足条件
dt R(x)
lim
0
x 0 x
显然，方程组有零解x=0。 可以按(11)的线性近似方程组
(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性 态。即
• 如果方程组(5的零解x=0稳定，且存在 0，使当||x0||≤
•
满足初值条件x(t0)= x0的解x(t)均有 则称零解是渐近稳定的。
lim x(t) 0
t
0时，
5 第六章 非线性微分方程§6.1
(续) 稳定性定义
d x f (t, x), dt
f (t,0) 0. (5)
稳定性定义 如果零解x=0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当
dt
• 即y的方程组的特解y= φ(t)变为x的方程组的零解。
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第六章 非线性微分方程§6.1
例 d y Ay By2 (4) dt
例 对方程(4)的特解y2(t)= A/B ，可通过变换 x=y-A/B
• 化为方程
d x Ax Bx2 (7) dt
• 这样，讨论方程(4)的特解y2(t)= A/B的稳定性态 便可化为讨论上方程的零解x=0的稳定性态。
解 •
方程有通解
y(t)

B

A ce At
特解
y1(t)

0,
y2 (t)

A B
• 满足初值条件的解为
y(t)
A
• (a)当A>0,B>0时：
B


A y0

B

e
At

• 满足初值条件y(0)=y0>0的解趋于特解y2(t)= A/B； • 满足初值条件y(0)=y0<0的解y1(t)趋于无穷。 • (b)当A<0,B<0时：
• 满足初值条件y(0)=y0>A/B的解y2(t)趋于无穷； • 满足初值条件的解y(0)=y0<A/B趋于特解y1(t)= 0。
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第六章 非线性微分方程§6.1
李雅普诺夫稳定性
• 一般称当A>0,B>0时的特解
y2(t)和当A<0,B<0时的特解
y1(t)为稳定的。
• 而称当A>0,B>0时的特解y1(t)
• 微分方程（4）右端不含自变量，其右端为零ຫໍສະໝຸດ Baidu到的代数 方程Ay-By2=0的解y1(t)= 0 ,y2(t)= A/B是微分方程（4）的 常数解，称为平衡解。
• 微分方程（7）右端不含自变量时为驻定微分方程。
• 驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解
是微分方程的常数解，也是特解，称为驻定解或平衡解。
和当A<0,B<0时的特解y2(t)
为不稳定的。
• 对方程组
d y g(t, y) dt
• 的某特解 y= φ(t), 可以通过变换 x=y-φ(t)化为方程组
d x f (t, x), f (t, 0) 0
dt
的零解。
其中
f (t, x) g(t, y) d(t) g(t, x (t)) g(t,(t))
定理2 若特征方程(10)没有零根或零实部特征根(特征值)，
则非线性方程组(11)的零解的稳定性态与其线性近似方程(8) 零解的稳定性态一致：当特征方程(11)的根均具负实部根 (包括负根)时，方程组(8)的零解是渐近稳定的；当特征方 程(10)具正实部根(包括正根)时,方程组(11)的零解不稳定。
4 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性定义 d x f (t, x), dt
f (t,0) 0. (5)
假设 方程组(5)的右端函数f(t,x)在包含原点的域G内有连续的 偏导数，从而满足方程组的解的存在唯一性、延拓、连续 性和可微性条件。
稳定性定义 如果对任意给定的 >0，存在 = ( ,t0)，使 当任一x0满足||x0||≤ 时，方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确 定的解x(t)对一切t≥t0均有||x(t)||≤ ，则称方程组(5)的零解 是稳定的。
• 二维情形零解的稳定性态在平面上的示意图如图(6.2)。
6 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性态在平面上的示意图
7 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性态在平面 上的示意图
d y Ay By2 (4) dt
例 对微分方程(4)，当 A<0,B<0时，其零解y=0 为渐近稳定，稳定域为 y<A/B。特解y2(t)=A/B 为不稳定。
x0
D时，满足初值条件x(t0)=
x0的解x(t)均有
lim
t
x(t)

0
则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。
• 若稳定域为全空间，即 0 =+∞，则称零解x=0是全局渐近
稳定的或简称为全局稳定的。
• 当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，
• 即：如果对某给定的 ，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤ ， 使方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确定的解x(t) ，至少存在 某有t1>t0，有||x(t1)||= 。
其特征方程为 det(A E) 0 (10)
由第五章(5.52)式知线性微分 方程组的任一解均可表为形如
li cimt meit , 1 i n
m0
• 的线性组合。其中λi 为特征方程(10)的根，li≥0为由根λi的 重数确定的整数。
定理1 若特征方程(10)的根均具负实部根(包括负根)，则方程 组(8)的零解是渐近稳定的；若特征方程(10)具正实部根(包括 正根)，则方程组(8)的零解是不稳定的；若特征方程(10)没有 正实部根(包括正根)的根，但有零根或零实部的根，则方程 组(8)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或 零实部的根的重数是否等于1而定。