基于直觉模糊集多属性决策的灰色关联分析法(精)

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基于直觉模糊集多属性决策的灰色关联分析法
卫贵武1,2
1. 西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031）
2. 川北医学院数学系，四川南充（637007
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摘要：基于直觉模糊集理论, 提出了一种新的灰色关联分析方法来研究模糊多属性决策问题。

首先, 根据直觉模糊集的几何意义, 引入了两个直觉模糊集之间的距离, 且每个备选方案的评价值用直觉模糊值表示。

其次, 依据传统灰色关联分析方法的基本思想, 通过计算每个方案对直觉模糊正、负理想方案的灰色关联度。

然后计算备选方案对直觉模糊正理想方案的相对关联度, 来确定备选方案的综合评价指数, 最终确定最优方案, 使该方案对正理想方案具有最大的灰色关联度和对负理想方案具有最小的灰色关联度。

最后, 通过一个具体实例说明该方法的有效性和具体应用过程。

关键词：模糊多属性决；灰色关联分析；直觉模糊集；直觉模糊距离中图分类号: C934 文献标志码: A
1. 引言
自从1965年Zadeh 教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题拓展到了模糊现象的领域。

1986年保加利亚学者Atanassov 进一步拓展了模糊集，提出了直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊集的特殊情形[2-3]。

1993年Gau 和Buehrer 定义了Vague 集[4]，Bustince 和Burillo 指出Vague 集的概念与Atanassov 的直觉模糊集是
相同的[5]。

由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具有更强的表现能力。

因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。

文献[6]基于直觉模糊集的理论，把直觉模糊集与TOPSIS 方法结合起来用于研究模糊多属性决策问题。

灰色关联分析法由邓聚龙教授首先提出[7]，并在多属性决策中得到了广泛的应用。

文献[8-10]进一步将灰色关联分析方法推广到区间数环境，给出了区间数多属性决策的灰色关联分析法。

本文将利用直觉模糊集的理论，把直觉模糊集与灰色关联分析方法结合起来用于研究模糊多属性决策问题。

2. 直觉模糊集基本理论
直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets由Atanassov 提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和发展。

直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数, 它能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质。

定义1 设X 是一个非空经典集合，(12, , , n X x x x =L ，X 上形如
((
{}, , A
A A x x x x X
µ
ν=
∈的三重组称为
X 上的一个直觉模糊集。

其中
[]:0,1A X µ→和[]:0,1A X ν→均为X 的隶属函数，且((01A A x x µν≤+≤，这里((, A A x x µν分别是X 上元素x 属于A 的隶属度和非隶属度，表示为支持元素x 属
于集合
A 的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素x 属于集合A 的证据所导出
的否定隶属度
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的下界。

例如(([], 0.5,0.2A A x x µν=⎡⎤⎣⎦，在投票模型中这可解释为在10
人中，有5人赞成，2人反对，3人弃权。

令[]IFS X 表示X 上所有直觉模糊集构成的集合。

对于X 上的每一个直觉模糊集，称(((1A A A x x x πµν=−−为直觉模糊集A 中
元素
x 的直觉指数，表示元素x 属于A 的犹豫度。

显然，(01A x π≤≤，x X ∈。

每一个模糊集A ′与下述的直觉模糊集A 对应
((
{}
, ,1A A A x x x x X µ
µ′
′=
−∈
对每一个模糊集A ′，有(0A x π′=，x X ∈。

定义2 设X 是非空经典集合，(12, , , n X x x x =L ，[], A B IFS X ∈，且
((
{}, , A
A A x x x x X µ
ν=
∈，((
{}
, , B
B B x x x x X µ
ν=
∈
规定：(1 A B =，当且仅当((A B x x µµ=和((A B x x νν=，x X ∈； (2 A B ≤，当且仅当((A B x x µµ≤且((A B x x νν≥，x X ∈； (3 (((({}, , A
B A B A B x x x x x x X µ
µνν=
∧∨∈I ；
(4 ((((
{}, , A
B A B A B x x x x x x X µ
µνν=∨∧∈U 。

定义3 设X 是非空经典集合，(12, , , n X x x x =L ，[], A B IFS X ∈，且
((
{}, , A
A A x x x x X µ
ν=
∈，((
{}
, , B
B B x x x x X µ
ν=
∈, 1A A A πµν=−−，
1B B B πµν=−−, 则直觉模糊集, A B 之间的距离定义为[6]:
(
, IFS d A B =
(1 容易证明，上述直觉模糊集, A B 之间的距离(, IFS d A B 具有以下性质： (1 (, 0IFS d A B ≥;
(2 ((, , IFS IFS d A B d B A =;
(3 (, 0IFS d A A =, (, 0IFS d A B =当且仅当A B =；
(4 (((, , , IFS IFS IFS d A C d A B d B C ≤+, 其中[], , A B C IFS X ∈；
(5 设X 是非空经典集合, [], , A B C IFS X ∈，当B 比C 更靠近A ，当且仅当
((, , IFS IFS d A B d A C ≤。

3. 基于直觉模糊集多属性决策的灰色关联分析法
依据传统的灰色关联分析法的基本思想[7]，下面给出解决具有直觉模糊集多属性决策问题的灰色关联分析法的计算步骤。

步骤1对于直觉模糊集多属性决策问题，方案(1, 2, , i A A i m ∈=L 关于属性
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(1,2, , j G G j n ∈=L 进行测度，得到i A 关于属性j G 的直觉模糊值ij r
%。

直觉模糊集多属性决策问题可表示为如下的直觉模糊集决策矩阵
[]1112
1212221
212, n n n m m mn r r r r r r R w w
w w r r r
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦%%%L %%%L %L L L L L %%%L (2
其中，(
, ij ij ij r
µν=%，1, 2, , ; 1, 2, , i m j n ==L L ，且01ij µ≤≤，01ij ν≤≤，
01ij ij µν≤+≤。

并设1ij ij ij πµν=−−。

j w 表示评价属性(1,2, , j G j n =L 的权重，
1
1n
j
j w
==∑。

由直觉模糊集的定义可知，直觉模糊集决策矩阵已是规范化了的决策矩阵。

步骤2 定义直觉模糊正理想方案和负理想方案。

直觉模糊正理想方案为：(12, , , n
A r r r +
+++
=%%%L (3
直觉模糊负理想方案为：(1
2, , , n A
r
r
r −
−
−−=%%%L (4
其中
(
(
, max , min j j j ij ij i
i
r µνµν+++
==%，1, 2, , i m =L ，1, 2, , j n =L . (5
((, min , max j j j
ij
ij
i
i
r µνµν−−−==%，1, 2, , i m =L ，1, 2, , j n =L . (6
由上述确定直觉模糊正理想方案和负理想方案的过程，容易证明( , j j j r µν+++
=，(, j j j
r µν−−−
=都是直觉模糊值，其中01j j µν++≤+≤，01j j µν−−≤+≤。

步骤3 计算每个备选方案对直觉模糊正、负理想方案的关联系数。

根据直觉模糊集的距离计算公式(1，得到每个方案对直觉模糊正、负理想方案的关联系数分别为
min min max max max max ij j ij j i
j
j
i
ij ij j ij j
j
i
r
r r r r
r r r ρξρ++++
+−+−=
−+−%%%%%%%% (7
min min max max max max ij j ij j i
j
j
i
ij ij j
ij j
j
i
r
r r r r
r r r ρξρ−−−−
−−+−=
−+−%%%%%%%% (8
1j j j πµν+++=−−，1j j j πµν−−−
=−−
式中, ij ξ+和ij ξ−
分别表示备选方案对直觉模糊正、负理想方案的灰色关联系数。

ρ为分辨系
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数，[]0,1ρ∈，一般取0.5ρ=。

步骤4 计算每个备选方案对直觉模糊正、负理想方案的关联度。

1n
i
ij j j w ξξ++==∑，1, 2, , i m =L . (9
1
n
i
ij j j w ξξ−−==∑，1, 2, , i m =L . (10
式中, i ξ+和i ξ−
分别表示备选方案对直觉模糊正、负理想方案的关联度。

步骤5 计算备选方案对直觉模糊正理想方案相对关联度。

为了确定最优方案，希望其对直觉模糊正理想方案的关联度最大，而对直觉模糊负理想
方案的关联度最小。

为此，将每个方案i A 对直觉模糊正理想方案的关联度i ξ+
和对直觉模糊负理想方案的关联度i ξ−
综合，得到方案对直觉模糊正理想方案相对关联度，即
i i i
i
ξξξξ
++
−=
+，1, 2, , i m =L . (11
步骤6 方案排序。

依据相对关联度i ξ对所有方案进行排序，即i ξ越大，相应的方案越优。

4. 实例分析
现用文献[6]的算例数据来说明本文提出的方法。

假定有3个备选方案123, , A A A ,3个评价属性123, , G G G 。

为简单起见，备选方案的评价属性都是效益型属性，每个备选方案对属性的满足程度用直觉模糊集表示，如表1所示。

表1 备选方案直觉模糊集决策表
G 1 2 3 (0.2 A 1
(0.5,0.3,0.2
(0.2,0.6,0.2(0.3,0.5,0.2A 2(0.3,0.3,0.4(0.9,0.0,0.1A 3(0.5,0.2,0.3
(0.8,0.2,0.0
为了确定最优方案，可采用前面给出的直觉模糊集多属性决策灰色关联分析法进行分析。

步骤1 由表1的数据建立直觉模糊决策矩阵
(
((((((((0.5,0.3,0.20.2,0.6,0.20.3,0.5,0.20.4,0.4,0.20.3,0.3,0.40.9,0.0,0.10.4,0.2,0.40.5, 0.2,0.30.8,0.2,0.0R ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
% 步骤2 根据式(3-6确定直觉模糊正、理想方案。

((((0.5,0.2,0.3, 0.5,0.2,0.3, 0.9,0.0,0.1A += ((((0.4,0.4,0.2, 0.2,0.6,0.2, 0.3,0.5,0.2A −=
步骤3根据式(7-8计算每个备选方案对直觉模糊正、负理想方案的关联系数。

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(
33
0.73570.43570.33330.61650.61651.00000.73571.00000.6165ij ξ+
×⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, (33
0.73571.00001.00001.00000.51270.33330.58190.43570.3897ij ξ−×⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
步骤 4 根据式(9-10计算每个备选方案对直觉模糊正、负理想方案的关联度。

1230.565,, 0.693, 0.791ξξξ+++=== 1230.868,, 0.720, 0.500ξξξ−−−===
步骤 5 根据式(11计算每个备选方案对直觉模糊正理想方案的相对关联度。

1230.394, 0.490, 0.613ξξξ===
步骤6 利用(1, 2,3i i ξ=对决策方案进行排序。

方案排序结果为：321A A A f f 。

可见备选方案3A 为最优方案。

从而和文献[6]的排序结果一致。

5. 结论
直觉模糊集作为模糊集的扩展及一般化形式，运用此理论，使模糊多属性决策问题的研究更加合理、科学。

为了解决直觉模糊集多属性决策问题，本文把传统的灰色关联分析法与直觉模糊集结合起来研究模糊多属性决策问题，在模糊环境下进一步扩展了灰色关联分析法的应用范围，最后通过实例分析说明了该方法的有效性。

参考文献 [1] Zadeh L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control, 1965, 8: 338- 356. [2] Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20: 87-96. [3] Atanassov K. More on intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989, 33: 37- 46. [4] Gau W L, Buehrer D J. Vague sets[J]. IEEE Transactions on Systems,M an and Cybernetics, 1993, 23 (2 : 610-614. [5] Bustine H, Burillo P. Vague sets are intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and System s, 1996, 79: 403-405. [6] 谭春桥,张强. 模糊多属性决策的直觉模糊集方法[J]. 模糊系统与数
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based on intuitionistic fuzzy sets Wei Guiwu1,2 1. School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University,Chengdu, China (610031 2. Department of Mathematics, North Sichuan Medical College, Nanchong, China (637007 Abstract The aim of this paper is to extend the grey relational analysis(GRA method to deal with multiple attribute decision making problems in fuzzy environments. This paper presents a novel GRA method for multiple attribute decision making (MADM based on intuitionistic fuzzy sets theory. The rating of each alternative is expressed in intuitionistic fuzzy value. Then, the distance between two intuitionistic fuzzy sets is introduced. According to the traditional ideas of grey relational analysis, the optimal alternative(s is determined by calculating the relative relational degree of every alternative and positive ideal solution which based on the concept that the optimal alternative should have the largest degree of grey relation from positive ideal solution and the smallest degree of grey relation from the negative ideal solution simultaneously. Finally, an example is shown to high light the procedure of the proposed method at the end of this paper. Keywords: fuzzy multiple attribute decision making; grey relational analysis (GRA; intuitionistic fuzzy sets; intuitionistic fuzzy distances 作者简介：卫贵武（1973-），男，四川梓潼人，博士研究生，讲师，从事决策分析，公司理财及金融工程等研究。

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