2007年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2007年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解
Y 的概率密度，则在 Y = y 的条件下， X 的条件概率密度 f X Y (x y) 为（ A ）。
（A） f X (x)
(B) fY ( y)
(C) f X (x) fY ( y)
(D) f X (x) fY (y)
【解析与点评】由于 ( X ,Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，所以 X 与 Y 相互独立，
（13）二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′ − 4 y′ + 3y = 2e2x 的通解为 y = __________。
【 解 】 齐 次 解 为 y = C1e x + C2e3x ， 设 特 解 为 y = Ae2x ， 由 待 定 系 数 法 得 到
4 Ae2x − 8Ae2x + 3Ae2x = 2e2x ， A − 2 ， 答案： y = C1e x + C2e3x − 2e2x 。
（A）若 lim f (x) = 0 ，则 f (0) = 0 x→0 x
（B）若 lim f ( x) + f (− x) = 0 ，则 f (0) = 0
x→0
x
（C）若 lim f (x) 存在，则 f ′(0) 存在 x→0 x
（D）若 lim f (x) − f (−x) 存在，则 f ′(0) 存在
（D）若 u1 < u2 ，则 {un }必发散
【解】答案 D。画出草图，结论显见。下面证明 D：
u1 < u2 ，则 u2 − u1 > c > 0 ,其中 c 是某个确定的正数，于是存在 ξ1 ∈ (1,2) 使得
u2 − u1 2 −1
=
f (2) − f (1) = 2 −1
f ′(ξ1 ) > c > 0 ，
2007考研数一真题答案及详细解析
h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与 之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在 名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解 如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与 一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解 因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。 。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得
07年考研数一及解析解析
2007年数学一试题分析详解一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-. 【 】【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). 【评注】本题直接找出ln但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。
事实上，2000ln(1)ln(1)limlim lim t x x t t t t +++→→→+--= =22200212(1)111lim lim 1.1(1)(1)t t t t t t t t t t ++→→+-+++-==+- (2)曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x→+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+，1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞不存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。
2007年数一真题试题+答案
2007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题： 1～ 10 小题 , 每小题 4 分, 共 40 分, 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合题目要求 , 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上．．．．(1) 当 x 0 时 , 与 x 等价的无穷小量是 ( )(A)1 e x.(B)ln1x . (C)1x1. (D)1 cos x .1x答案： (B) .(2) 曲线 y1 ln(1 e x ) 渐近线的条数为 ( )0 x1.23(A) . (B)(C).(D).答案： (D) .(3) 如图 , 连续函数 yf ( x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周 , 在区2,0 ,0,2 上的图形分别是直径为xf (t)dt , 则下列结论正确间2 的上、下半圆周 , 设 F ( x)的是( )(A) F (3)3 F( 2).(B)F (3)5F(2) .44(C) F( 3)3F(2).(D)F( 3)5F ( 2) .44答案： (C) .(4) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续 , 则下列命题错误 的是 ( )．．(A) 若 limx 0(C) 若 limx 0答案： (D) .(5) 设函数 f ( x) 确的是() f ( x) 存在 , 则 f (0) 0 .(B)若 lim f ( x)f ( x)存在 , 则 f (0)0 .xx 0xf ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .(D)若 lim f (x)f ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .xx 0x在 (0, ) 上具有二阶导数 , 且 f ( x)0 , 令 u n f (n) (n 1,2, ) , 则下列结论正(A)若 u 1 u 2 , 则 u n 必收敛 .(B) 若 u 1 u 2 , 则 u n 必发散 . (C) 若 uu , 则 u 必收敛 .(D)若 uu , 则 u必发散 .12n12n答案： (D) .(6) 设曲线 L : f ( x, y)1( f ( x, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点 N , 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 , 则下列积分小于零 的是 ( )．．．(A)f (x, y)dx . (B)f ( x, y)dy .(C)f (x, y)ds .(D)f x (x, y)dx f y (x, y) dy .答案： (B) .(7) 设向量组1,2,3线性无关 , 则下列向量组线性相关 的是( )．．．． (A)(C)12 ,23,31 . (B) 12 ,23 ,31 .12 2 ,223 ,32 1 .(D)12 2 ,223 ,32 1 .答案： (A) .21 1 1 0 0(8) 设矩阵 A12 1 , B 0 1 0 ,则 A 与B ( ) 1120 0 0(A) 合同, 且相似 .(C) 不合同 , 但相似 . (B) 合同 , 但不相似 . (D)既不合同 , 也不相似 .答案： (B) .(9) 某人向同一目标独立重复射击 , 每次射击命中目标的概率为p(0p 1) , 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )(A)3 p(1 p) 2 . (B)6 p(1 p)2 .(C)3p 2 (1p)2 .(D)6p 2 (1 p)2 .答案： (C) .(10) 设随机变量 ( X ,Y) 服从二维正态分布 ,且 X 与Y 不相关 , f X ( x), f Y ( y) 分别表示 X , Y 的概率密度,则在Yy 条件下 , X 的条件概率密度 f X Y ( x y) 为 ( )(A)f X ( x) . (B)f Y ( y) .(C)f X ( x) f Y ( y) . (D)f X( x).f Y ( y)答案： (A) .二、填空题： 11～ 16 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 , 请将答案写在答题纸 指定位置上 .．．． 21 1 .(11)x 3e xdx1答案： e .2(12)设 f (u, v) 为二元可微函数,z f ( x y , y x ), 则z.z x答案：f1 ( x y , y x ) yx y1f2 (x y , y x ) y x ln yx.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案：非齐次线性微分方程的通解为y C1e x C2e3 x2e2 x.(14)设曲面: x y z1,则( x y )dS.答案：( x y )dS1443. y dS3330 1 00(15)设距阵 A00 1 0,则A3的秩为.000 1000 0答案： r A3 1.(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1的概率为. 23答案：.三、解答题：17～ 24 小题 , 共 86 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.(17)( 本题满分 11 分)求函数 f (x, y) x22y2x2 y2, 在区域 D (x, y) x2y24, y0 上的最大值和最小值.答案：函数在 D 上的最大值为 f (0, 2) 8 ,最小值为 f (0,0)0 .(18) (本题满分10分)计算曲面积分 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy, 其中为曲面 z 1 x2 y2(0 z 1)的上侧.4答案：I.(19)( 本题满分 11 分)设函数 f ( x) , g (x) 在a, b 上连续,在(a, b)内二阶可导且存在相等的最大值, 又f ( a)＝g (a) , f (b) ＝ g(b) ,证明：存在(a,b), 使得 f ''( )g ''( ).证明：设(x) f (x) g( x) ,由题设 f ( x), g ( x) 存在相等的最大值, 设x1(a,b) ,x2(a, b)使 f ( x1 ) max f ( x) g( x2 ) max g( x) .[ a .b][ a.b ]若x1x2,即f ( x)与g( x)在同一点取得最大值, 此时 , 取x1,有f ( )g ( ) ；若 x1x2,不妨设 x1x2,则( x1 ) f (x1) g (x1) 0 ,(x2 ) f (x2 ) g( x2 ) 0 ,且( x) 在a,b 上连续,则由零点定理得存在(a, b), 使得( ) 0 ,即 f ( ) g( ) ；由题设 f (a) ＝ g (a) , f (b) ＝ g (b) ,则(a) 0(b) ,结合( ) 0 ,且(x) 在a, b 上连续 , 在(a, b)内二阶可导 , 应用两次使用罗尔定理知：存在1(a, ), 2 ( , b),使得( 1)＝0, ( 2)0.在[ 1,2 ] 再由罗尔定理,存在( 1, 2)，使( )0 .即 f ( ) g ( ) .(20)( 本题满分 10 分)设幂级数a n x n在 (,)内收敛,其和函数 y(x) 满足 y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.n 0(I) 证明a n22a n , n1,2, .n1(II)求 y( x) 的表达式.答案： (I)证明：对 y ax n n , 求一阶和二阶导数, 得y na n x n 1, y n(n 1)a n x n 2 ,n 0n 1n 2代入 y2xy 4 y 0 ,得n( n 1)a n x n 22x na n x n 1 4 a n x n0 .n 2n 1n 0即(n 1)(n 2) a n 2 x n2na n x n4a n x n0 .n 0n 1n 0于是2a 2 4a 0 00, n 1,2,,从而an 22a n , n 1,2, .1)a2an 1 (nn 2 n(II) yxe x 2.(21) ( 本题满分 11 分 )x 1 x 2 x 3 0设线性方程组x 1 2x 2 ax 30 (1) 与 方程 x 12x 2 x 3a 1 (2) 有公共解 , 求 a 得x 14x 2 a 2 x 3 0值及所有公共解 .1 1 1 0答案：当 a 1 时, ( A b)0 1 0 0 , 所以方程组的通解为 k (1,0, 1)T , k 为任意常数 , 此即为0 0 0 00 0 0方程组 (1) 与 (2) 的公共解 .1 11 0当 a2 时 , ( A b)1 1 0 , 此时方程组有唯一解(0,1, 1)T , 此即为方程组 (1) 与1 10 00 0(2) 的公共解 .(22) ( 本题满分11 分)设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1, 1,1)T是 A 的属于1 的一个特征向量 .记 BA 5 4 A 3 E ,其中 E 为3 阶单位矩阵 .(I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量 , 并求 B 的全部特征值与特征向量； (II)求矩阵 B .答案：(I) 由 A 11 , 可得 A k1A k 1 ( A 1)A k 1 11 , k 是正整数 , 则B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 14A 31E 114112 1 ,于是 1 是矩阵 B 的属于特征值12特征向量 .所以 B 的所有的特征向量为：对应于12 的全体特征向量为 k 11 ,其中k 1 是非零任意常1k , k200011 (II)BP010P 110 1 .001110 (23) (本题满分11 分 )设二维随机变量( X ,Y) 的概率密度为 f ( x, y)2x y,0 x 1,0 y 1, 0,其他 ,(I)求PX 2Y；(II)求 Z X Y 的概率密度f Z(z).答案：111 5 x7(I)P X2Y dx xx y)dy2 ) dx.2 (2( x008242z z2 ,0z1,(II) f Z (z)z24z4,1z2,0,其他 .(24) (本题满分11 分)1,0 x,2设总体 X 的概率密度为 f (x; )1,x 1, 其中参数 (01) 未2(1)0,其他知,X1, X 2 ,... X n是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(I)求参数的矩估计量；(II)判断 4X 22的无偏估计量 , 并说明理由 .是否为答案：(I)12X；222是否成立即可 .(II) 只须验证E(4 X )E(4X ) 4E(X ) 4(DX (EX )2) 4( 1DX (EX )2) ,22nE(X )1 1 , E(X 2)1(12 2),4 2 6D(X) E(X 2) (EX )25 12 1 2 ,代入得 E(4 X)5 3n 3n 14812 ,所以4X 不是2的无偏估计量 .3n 1 2 22212n 3n3n。
2007年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与（A ）1-（B ）ln（C 1 （D ）1-（2）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （5）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（6）设曲线:(,)1L f x y =（(,)f x y 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （A ）(,)d Tf x y x ⎰. （B ）(,)d Tf x y y ⎰（C ）(,)d Tf x y s ⎰. （D ）(,)d (,)d x y Tf x y x f x y y ''+⎰. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++.[ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] （10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）12211e d x x x=⎰=__________. （12） 设(,)f u v 是二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ __________. （13） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（14） 设曲面:||||||1x y z ∑++=，则()||d x y S ∑+=⎰⎰Ò（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分） 计算曲面积分 d d 2d d 3d d Ixz y z yz z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤ 的上侧. （19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===.（Ⅰ）证明：22,1,21n n a a n n +==+L ； （II ）求()y x 的表达式.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求ZX Y =+的概率密度.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ)；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学试题答案解析（数学一）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→ (B)A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D)(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
2007数学考研真题(一)
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x→+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+， 1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年考研数学一真题及答案解析
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（1） 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是 ( )
A. 1 e x
B. ln 1 x 1 x
C. 1 x 1 D.1 cos x
x0
x
C. 若 lim f (x) 存在，则 f ' (0) =0 x0 x
D. 若 lim f (x) f (x) 存在，则 f ' (0) =0
x0
x
(5)设函数 （f x）在（0, + ）上具有二阶导数，且 f "(x) o , 令 un =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )
-2-
(19)(本题是11分) 设函数f (x), g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值，
f (a) g(a), f (b) g(b)证明：存在 (a,b)，使得f ''( ) g ''( ).
(20)(本题满分10分)
设幂级数 an xn在(, )内收敛，其和函数y(x)满足 n0
A.若 u1 u2 ，则{ un }必收敛
B. 若 u1 u2 ，则{ un }必发散
C. 若 u1 u2 ，则{ un }必收敛 D. 若 u1 u2 ，则{ un }必发散
(6)设曲线 L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点 N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是 ( )
(2) 曲线 y= 1 ln(1 ex ), 渐近线的条数为 ( ) x
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）()f x 在D 上的最大值为8，最小值为0 （18）I π= （19）略（20）（Ⅰ）略；（Ⅱ）2()x y x xe =（21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,kk 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B-⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭（23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2(2),01,()(2),12,0,Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他（24）（Ⅰ）1ˆ=22X θ-;（Ⅱ）24()X 不是2θ的无偏估计量 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ）【解析】方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小， 有：0x +→时，1(1-::211,2-:所以选（B ）.方法2：当0x +→时，ln[1~~~x =+选（B ）.方法3：00lim lim 11x x x →→+⎡⎤=⎢+⎣，选（B ）. （2）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)lim lim lim lim 1,1x x xx x x x x y e e e x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫++=+== ⎪+⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】 (D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim 0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （5）【答案】 (D)【解析】由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==L12n .ξξξ<<<<L L由''()0,f x >知'()f x 严格单调增，故12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<L L由于121'()0,f u u ξ=->所以1111k 1111()'()'().n nn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数.于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散.选（D ）（6）【答案】 (B)【解析】记1122(,),(,),M x y N x y 由条件11220,0,0,0,x y x y <>><并注意到在积分的弧段上(,) 1.f x y =于是212121212211(A)(,)0.B (,)0.D (,),0.(,)D (,)(,)(,)(,)(,)x x y y x y f x y dx dx dx x x f x y dy dy dy y y f x y ds ds l l l x y f x y dx f x y dy df x y f x y x y ΓΓΓΓΓΓΓΓ===->===-<==Γ>''+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）（）为弧的长，（）2211(,)(,)110.f x y f x y =-=-=所以选择(B) （7）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. （8）【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）. （9）【答案】(C)【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -=-g 所以应选（C ）（10）【答案】(A)【解析】由于二维正态的(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此()().X X Y f x y f x = 应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】2【解析】令1t x=，有211,,x dx dt t t ==-111222311112t t t x e dx te dt te e x ⎡⎤=-=--=⎣⎦⎰⎰ （12）【答案】112ln y x yxf y y f -''+g【解析】求复合函数的偏导数112()()ln y xy x z f f x y yx f y y f x u x v x-∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂g （13）【答案】32122xx x C eC e e +-【解析】特征方程为2430,r r -+=特征根121,3,r r ==对应齐次方程的通解312.x x Y C e C e =+设该齐次方程的一个特解为*2,xy Ae =代入原方程，可求得*22.xy e =-故得原方程的通解为32122xx x y C eC e e =+-.（14）【答案】【解析】曲面∑对称于yOz 平面，x 为x 的奇函数，所以0.xdS ∑=⎰⎰Ò又因∑关于,,x y z 轮换对称，所以,xdS ydS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙?()1133y dS x y z dS dS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙?()1.3=⨯∑的面积而∑为8，所以∑的面积218sin23π=⋅=所以()x y dS ∑+=⎰⎰Ò（15）【答案】 1 【解析】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然()31.r A=(16)【答案】34【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，12X Y -<。
2007-数一标准答案及解析
（7）设向量组 α 1 ， α 2 ， α 3 线形无关，则下列向量组线形相关的是： （A） （C）
α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1
（B）
α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1
α 1 − 2α 2, α 2 − 2α 3, α 3 − 2α 1 （D） α 1 + 2α 2, α 2 + 2α 3, α 3 + 2α 1
− ∫∫ xzdydz + 2 zydzdx + 3 xydxdy ∑1
= Gauss公式 ∫∫ xzdydz + 2 zydzdx + 3 xydxdy + ∑ ∑1 = = 3 zdxdydz 3∫ dz = ∫∫∫ ∫∫ zdxdy
Ω 0 x2 + y = 1− z 4
2
∫∫∫ ( z + 3z )dxdydz
1 0 0 2 − 1 − 1 （8）设矩阵 A= −1 2 − 1 ，B= 0 1 0 ,则 A 于 B， 0 0 0 −1 − 1 2
(A) 合同，且相似 (C) 不合同，但相似 (B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似
∫∫
∑
( x + | y |)ds ＝
4 3 . 3
0 0 (15)设矩阵 A＝ 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 ，则 A 的秩为１. 1 0
（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于
1 3 的概率为 . 2 4
三、解答题：17~24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。
2007考研数一真题及解析
1 x
1 2 x
1 x
2
1 x
1 2 x
lim
x 0
2 x 2 x 1 x
1 x 1
x
设
2 x 2 x 1 x
1 x 1
x
A B ，则 A 1 x B 1 x 4x 2 x 2x x 1 x 1 x
对应系数相等得： A 2 x ,B 1 ，所以
原式 lim
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e x 1 x; 1 x 1 1 e
x
f (t )dt , 则下列结论正确的是(
)
y
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
3 A. F (3) F (2) 4 3 C. F (3) F (2) 4
B. F (3) F (2)
5 D. F (3) F (2) 4
)
5 4
(4) 设函数 f ( x) 在 x 0 连续，则下列命题错误的是(
f ( x) 存在，则 f (0) 0 x 0 x f ( x) C. 若 lim 存在，则 f (0) 存在 x 0 x
A. 若 lim
B. 若 lim
f (x) f ( x) 存在，则 f (0) 0 x 0 x f (x) f ( x) D. 若 lim 存在，则 f (0) 存在 x 0 x
2007年数学考研真题及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
07考研数一真题及答案
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】 先作变量代换，再分部积分。
【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。
2007考研数学一真题解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1−(B)ln1(D)1−【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小 【求解过程】：◼ 方法一：利用等价无穷小0x +→时，()11~−=−−()12111~=+−2111~22x −=，(ln 1~=+◼ 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解 验证极限,,lim x A B C D +→是否等于1，其中(),,A B C D 表示A ，B ，C ，D 四个选项中的式子。
故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。
来说明两个无穷小之间的比较。
应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0α≠，lim βα也是在这个变化过程中的极限。
定义：如果lim0βα=就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小。
如果lim 0c βα=≠，就说β与α是同阶无穷小；如果lim 0,0k c k βα=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小。
如果lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作αβ。
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c =的情形。
常用等价无穷小，当0x →时，1~ln(1)~sin ~tan ~xe x x x x −+()11~x x αα+−， 211cos ~2x x −(2)曲线()1ln 1x y e x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数 【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0x x =处的极限，若为∞则存在垂直渐近线0x x =函数只有间断点0x =，()001lim lim ln 1x x x y e x →→=++=∞⎪⎝⎭，故存在垂直渐近线0x =计算水平渐近线：求函数在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，则有水平渐近线y a =()1lim lim ln 10x x x y e x →−∞→−∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故存在水平渐近线0y = 计算斜渐近线：求yx在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，且0a ≠，求出y ax −在相应处的极限b ，则有斜渐近线y ax b =+()2ln 11lim lim 0lim 11x xx x x x e y e x x x e→+∞→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪=+=+= ⎪+⎝⎭()()111lim lim ln 1lim ln 0x xx x x x e y x e x x x e →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+⎛⎫−=++−=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故存在斜渐近线y x = 选D 。
2007考研数学一试题及答案解析
因 1, 2 , 3 线性无关，所以
x1
x3 0,
x1 x
0, 又
2x2 x3 0.
10 1 1 1 0 0， 0 11
故上述齐次线性方程组有非零解, 即 1
线性无关的.
(8) 设矩阵 A
2 11 1 2 1,B 1 12
2 , 2 3 , 3 1 线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是
3, 3
1 . (B) 1
2, 2
3, 3
1.
(C) 1 2 2 , 2 2 3, 3 2 1 . (D) 1 2 2 , 2 2 3 , 3
【详解】用定义进行判定:令
x1( 1 2 ) x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0 ，
2 1.
[A]
得
(x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0 .
,| x y | 12}.
3
故
P( A) S A S
4 1
3 4
，其中
S
A
,
S
分别表示 A 与
的面积.
三、解答题：(17－24 小题，共 86 分. ) (17) (本题满分 11 分)
求函数 f (x, y) x2 2 y2 x2 y2
D {(x, y) x2 y2 4, y 0}上的最大值和最小值。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0.
若 lim f (x) 存在，则 f (0) x0 x
0, f (0)
lim
x0
f
(x) x
f (0) 0
lim f (x) x0 x
2007年数一真题试题+答案
2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1〜10小题，每小题4分，共40分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题.纸..指定位置上.⑴当X 0时,与JX等价的无穷小量是()(A) 1 e x. (B) 上；一％. (C) . 1 . x 1. (D) 1 cos、.X.答案：(B).⑵曲线y 1ln(1 e x)渐近线的条数为() x(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.答案：(D).(3)如图，连续函数y f (X)在区间3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区X间2,0 , 0,2上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x) ° f(t)dt，则下列结论正确的是()(A) F(3) 3F( 2). (B) F(3) 5F ⑵.4 4(C) F( 3) 3F (2) . (D) F( 3) -F( 2).4 4答案：(C).(4)设函数f (x)在x 0处连续，则下列命题错误.的是()(A)若lim 土也存在，则f (0) 0. (B)(C)若既旦次存在，则f (0)存在. (D) 答案：(D).(5)设函数f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f (x) 确的是()(A)若U1 U2 ,则U n必收敛. (B)答案：(D).若lim f(x) f( x)存在，则f (0) 0.若l-m f(x) /( x)存在，则f (0)存在.0,令U n f(n) (n 1,2川)，则下列结论正若U1 U2 ,则U n必发散.(C)若U1 U2,则U n必收敛. (D) 若U1 U2,则U n必发散.⑹设曲线L: f (x,y) 1( f (x, y)具有一阶连续偏导数),过第口象限内的点 M 和第W 象限内的 点N , 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零 的是()(A) f (x ，y)dx . (B)f (x ，y)dy .(C)f (x ，y)ds .(D)f x (x ，y)dx f y (x ，y)dy答案：(B).(7)设向量组1， 2，3线性无关，则下列向量组线t 生明为.的是()(A) 1 2， 23， 31.(B)1 2， 23， 31 .(C)1 2 2， 22 3,32 1.(D)12 2， 22 3，32答案： (A).2 11 1 0 0(8)设矩阵A1 2 1 ，B 0 1 0 ，则A 与B ()11 20 0 0(A) 合同，且相似.(B)合同，但不相似.(C) 不合同，但相似 . (D)既不合同， 也不相似.答案：(B). (9) 某人向同一目标独立重复射击 ，每次射击命中目标的概率为 p (0 p 1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()22 2 2 2 2(A) 3p(1 p) . (B) 6p(1 p) . (C) 3p (1 p) . (D) 6p (1 p).答案：(C).(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，f x (x), f Y (y )分别表示X,Y 的概率 密度，则在Y y 条件下，X 的条件概率密度 f XY (x y)为()(A) f X (x). (B)f Y (y).(C)f X (x)f Y (y).(D)答案：(A).二、填空题：11〜16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上f X (x) f Y (y)2 1(11)p x dx _______ : __1x答案:(12)设f(u,v)为二元可微函数，z f(x y ,y x ),则—^x柘 *Z y x y 1y x x答案：一 f 1(x , y )yxf 2 (x , y )y In yx答案：函数在D 上的最大值为f(0,2) 8,最小值为f(0,0) 0.(18) (本题满分10分)计算曲面积分I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy 其中 为曲面z 1 x 2 — (0 z 1)的上侧.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e 2x 的通解为y 答案：非齐次线性微分方程的通解为yz 1,则仰(x |y)dSV(14)设曲面 ：x x3x 2xC 〔e C 2e2e答案：C\xy)dsQ yds3活3妊(15)设距阵A0 (3)，则A 的秩为1答案：r A 31.1 ,, (16)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于 一的概率为23答案：3.4三、解答题:17〜24小题,共86分.请将解答写在答题纸 证明过程或演算步骤. (17)(本题满分11分)求函数f (x,y) x 2指定的位置上•解答应写出文字说明、22 2.—.2y x y ,在区域 D (x, y) x 2y 4,y 0上的最大值和最小值.答案：I ^(19) (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a) = g(a), f(b) = g(b),证明：存在(a,b),使得f''( ) g''().证明：设(x) f (x) g(x),由题设f(x), g(x)^在相等的最大值，设x〔(a,b), x2 (a,b)使f (x1)max f (x) g(x2) maxg(x).[a .b] [ a.b]若x1x2,即f (x)与g(x)在同一点取得最大值，此时,取X,有f ( ) g()；若x1x2,不妨设x〔x2 ,则(x〔)f(x〔)g(x〔)0, (x2) f(x2) g(x2) 0,且(x)在a,b上连续，则由零点定理得存在(a,b),使得()0,即f( ) g()；由题设f (a) = g(a) , f (b) = g(b),则(a) 0 (b),结合()0 ,且(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导，应用两次使用罗尔定理知：存在 1 (a, ), 2 ( ,b),使得(0, ( 2) 0.在［1, 2］再由罗尔定理，存在(1, 2),使()0.即f ( ) g ().(20) (本题满分10分)设备级数a n x n在(，)内收敛，其和函数y(x)满足y 2xy 4y 0,y(0) 0, y (0) 1.n 0⑴证明a n 2 -^-a n,n 1,2，川.n 1(II)求y(x)的表达式.答案：(I)证明：对y a n x n,求一阶和二阶导数，得y na n x n1, y n(n 1)a n x n 2,n 0n 1n 2代入y 2xy 4y 0,得n(n 1)a「x n2x na n X n 4 a「x n 0 -n 2 n 1 n 0即(n 02a2 4a0 0n(n 1)a n 2 2a n 0,(ii) y xe'.(21) (本题满分11分)x i x2 x3设线性方程组x1 2x2 ax1 4x2 a 值及所有公共解.1 1答案：当a 1时，(Ab) 0 1 0 00 0方程组⑴与⑵的公共解.1 1当a 2时，(Ab) 0 1 0 00 0⑵的公共解.(22) (本题满分11分)设3阶实对称矩阵A的特仙n nn 1)(n 2)a n 2x 2na「xn 11,2,III，从而a n 2 -^a n,nn 10 (1)与方程x1 2x21 00 0，所以方程组的通解为0 00 01 01 0，此时方程组有唯一解1 10 01 1,2 2,3 2, 1n4a「x 0.n 0121#x3 a 1 (2)有公共解，求a得(0,1, 1)T，此即为方程组(1)与(1, 1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记B A54A3E,其中E为3阶单位矩阵.⑴ 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B.答案：⑴ 由A 1 1,可得A k1 A k1(A 1) A k 11 1 , k是正整数，则B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 1 4A 3 1 E 114 112 1,是1是矩阵B 的属于特征值 12特征向量.2的全体特征向量为 k 1 1,其中k 1是非零任意常知，X 〔，X 2,...X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 是样本均值⑴求参数的矩估计量⑴ P X 2Y11xdx 2(21x y)dy 0(x 5x 2)dx 82z z 2,0 z 1,(II )f Z (z)z 2 4z 4, 1 z 2,0,其他.答案:(24)(本题满分11分)7 24所以B 的所有的特征向量为：对应于 k 3 3,其中k 2,k 3是不同时为零的任意常数2 0 00 1 1 (II) B P 0 1 0 P 11 0 10 0 11 1 0设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为f(x,y)0,x y,0 x 1,0 y 1,其他，(II)求 ZY 的概率密度 f z (Z) .设总体X 的概率密度为f (x;)1,2 _1 2(1 ), 0,其他x 1,其中参数(01)未(23)(本题满分 分)11k 2 231的全体特征向量为数，对应于2(II) 判断4X2是否为2的无偏估计量，并说明理由答案：1⑴ 2X 一；2(II)只须验证E(4X2) 2是否成立即可.—2 —2 ——。
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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与（A ）1-（B ）ln（C 1 （D ）1-（2）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （5）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散.[ ]（6）设曲线:(,)1L f x y =（(,)f x y 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （A ）(,)d Tf x y x ⎰. （B ）(,)d Tf x y y ⎰（C ）(,)d Tf x y s ⎰. （D ）(,)d (,)d x y Tf x y x f x y y ''+⎰. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++.[ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] （10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）12211e d x x x=⎰=__________. （12） 设(,)f u v 是二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ __________. （13） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（14） 设曲面:||||||1x y z ∑++=，则()||d x y S ∑+=⎰⎰Ò（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分） 计算曲面积分 d d 2d d 3d d Ixz y z yz z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤ 的上侧. （19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===.（Ⅰ）证明：22,1,21n n a a n n +==+L ； （II ）求()y x 的表达式.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求ZX Y =+的概率密度.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ)；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学试题答案解析（数学一）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→ (B)A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（11）31211x e dx x⎰＝1212e .（12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则z x∂∂＝'1'12(,)ln (,)y x y x y x f x y yx y yf x y -+.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32xy y y e -+=的通解为y ＝32122xxx C e C ee +-.(14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰Ò＝3. (15)设矩阵A ＝01000010********⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为１.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34. 三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。