北京邮电大学出版社-高等数学第3版(张卓奎)第一章习题选解

习题选解

第一章 习题选解.

习 题 1－1

1．若2(+1)x +3x 5f x =+，求 ()f x ．

解： 因为 ()22(+1)

x +3x 5=1(1)3f x x x =+++++， 所以 2()3f x x x =++.

2．下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是否相同？为什么？

（1） 2

4)(2--=x x x f ，2)(+=x x g ； 解：因为

)(x f 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，而()g x 的定义域为(,)-∞+∞，所以()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同．

（2） 2)13()(-=x x f ，13)(-=x x g ；

解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．

（3） 1

1ln )(-+=x x x f ，)1ln()1ln()(--+=x x x g ； 解：由10101

x x x -≠⎧⎪+⎨>⎪-⎩解出()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，而由1010x x +>⎧⎨->⎩解出()g x 的定义域为(1,)+∞，所以

()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同． （4） 1

1ln )(2++=x x x f ，)1ln()1ln()(2+-+=x x x g ． 解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．

3．设⎩⎨⎧>+≤-=11121)(2x x x x x f ，

， ，求 )0(f ，)1(f ，)1(-f ，)23(f ，)23(-f ． 解：(0)1f =，(1)1f =-，(1)3f -=，313()24f =，313()24

f -=． 4．设函数y

()f x =是以T>0为周期的周期函数，证明(a )(0为常数)f x a >是以a T

为周期的周期函数，并求出函数y sin 3cos 2x x =+的周期．

证：因为 a (+)()()=+=⎡⎤⎣⎦T f a x f ax T f ax ，

所以(a )f x 是以a

T 为周期的周期函数。 因为sin x 、cos x 都是以 2π为周期的函数，所以sin 3x 、cos 2x 分别是以23π、π为周期的函

数，它们的公约数为2π，所以y sin 3cos 2x x =+的周期为2π。

5．下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？

（1）

532x x y -=； 解：因为5()23f x x x =-，于是

55()23(23)f x x x x x -=-+=--，所以原函数为奇函数．

（2）

x x y 2sin sin +=； 解：因为2()sin sin f x x x =+，于是

22()sin()sin ()sin sin f x x x x x -=-+-=-+，不等于()f x 或()f x -，

所以原函数为非奇非偶函数．

（3）

)sin(sin x y =； 解：因为()sin(sin )f x x =， 于是

()sin(sin())sin(sin )sin(sin )()f x x x x f x -=-=-=-=-，所以原函数为奇函数。

（4） )1(2 >-=-a a a y x

x ；

解：因为()(1)2

x x a a f x a --=> ，于是 ()()22

x x x x

a a a a f x f x -----==-=-　，所以原函数为奇函数． （5） )1(2 >+=-a a a y x x ；

解： 因为()(1)2

x x a a f x a -+=> ，于是

()()22

x x x x

a a a a f x f x --++-==-=　，所以原函数为偶函数． （6） )1(11 >+-=a a a x y x x ；

解： 因为1()1

x x a f x x a -=+ ，于是 111()()111

x x x x x x a a a f x x x x f x a a a ------=--==+++=　，所以原函数为偶函数． （7） x

x y +-=22lg

； 解：因为2()lg 2x f x x

-=+ ，于是 22()lg lg ()22x x f x f x x x +--=-=--+=　，所以原函数为奇函数． （8）1cos sin +-=x x y ；

解：因为()sin cos 1f x x x =-+，于是

()sin()cos()1sin cos 1f x x x x x -=---+=--+　，不等于()f x 或()f x -，所以原函数为非奇非偶函数．

（9） 21cos x x

y -=；

解：因为

()f x =，于是

()()f x f x -==，所以原函数为偶函数．

（10） )1lg(2x x y ++=．

解：因为()lg(f x x =　，于是

()lg(lg lg(()1x f x x x f x -=-=-=-=-　=-，所以原函数为奇函数．

6．对于下列函数)(x f 与)(x g ，求复合函数)]([x g f 和[()]g f x ，并确定它们的定义域．