湖北省老河口市第一中学_学年高二数学下学期期中试题文【含答案】

湖北省老河口市第一中学高二年级2015-2016学年度下学期期中考试数学(文科)试题★ 祝考试顺利 ★时间：120分钟 分值150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．下列判断错误的是（ ） A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件 B ．命题“32,10x R x x ∀∈--≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-->” C ．“若1a =，则直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的逆否命题 D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题2．已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，200210x x --≤则下列选项中是假命题的为（）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ． p q ∨D ．()p q ⌝∨3．已知a ∈R ，则“a＞2”是“a 2＞2a”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．如果函数f （x ）=2x 2﹣4（1﹣a ）x+1在区间[3，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2] B ．[﹣2，+∞） C ．（﹣∞，4] D ．[4，+∞）5．抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最小值为（ ）A ．B ．C ． 1D ．6．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．12C D7．已知直线1)y x =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，点(1,)M m -，若0⋅=MA MB ，则m =（ ）A．2 B ．22 C ．12D ．0 8．已知函数f （x ）=﹣lnx+x+h ，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以f （a ），f（b ），f （c ）为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣∞，e ﹣3） C ．（﹣1，+∞） D ．（e ﹣3，+∞）9．已知抛物线)0(22>=p px y ，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边AC BC AB ,,的中点分别为Q N M ,,，且Q N M ,,的纵坐标分别为321,,y y y .若直线AC BC AB ,,的斜率之和为1-，则321111y y y ++的值为（ ）A ．p 21-B ．p 1-C ．p 1D ．p 2110．函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是（ ）11．正项等比数列{}n a 中的 1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则20166log a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2 12．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（ ） A ． B ． C ．2 D ．2二、填空题（20）13．曲线C ：y=xlnx 在点M （e ，e ）处的切线方程为 ．14．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的单调递增函数，且1是它的零点，若f （x 2+3x ﹣3）＜0，则实数x 的取值范围为 ． 15．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= ．16．已知不等式组的解集是不等式2x 2﹣9x+a ＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是 ．三、解答题（70）17．设a ，b ∈R ，函数f （x ）=ax 2+lnx+b 的图象在点（1，f （1））处的切线方程为4x+4y+1=0． （1）求函数f （x ）的最大值；（2）证明：f （x ）＜x 3﹣2x 2．18．已知函数，g （x ）=x+lnx ，其中a ＞0．（1）若x=1是函数h （x ）=f （x ）+g （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的x 1，x 2∈[1，e]（e 为自然对数的底数）都有f （x 1）≥g（x 2）成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意∈k R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆11224:22=+y x C ，设点()00,y x R 是椭圆C 上一点，从原点O 向圆()()8:2020=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,． (1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23(,)22A -，离心率为22，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．22．已知f （x ）=|2x ﹣1|+ax ﹣5（a 是常数，a ∈R ） （Ⅰ）当a=1时求不等式f （x ）≥0的解集．（Ⅱ）如果函数y=f （x ）恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 答案DBABD DBDBB BC13. y=2x ﹣e 14. （﹣4，1） 15.16. （﹣∞，9]17【答案】（1）32ln 24+-（2）证明见解析解：（1）∵，由在点（1，f （1））处的切线方程为4x+4y+1=0， ∴解得，∴．，令f'（x ）=0，得，令f′（x）＞0，得，此时f（x）单调递增；令f′（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．∴．（2）证明：设，，令h′（x）=0，得x=1，令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此时h（x）单调递增；令h′（x）＜0，得x＞1，此时h（x）单调递减．∴，∴h（x）＜0．从而f（x）＜x3﹣2x2．18. 【答案】（1）（2）解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a ）上是减函数，在（a ，e]上是增函数．∴[f （x ）]min =f （a ）=2a ． 由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a ＞e 且x ∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a ＞e ，∴a ＞e ；综上所述：a 的取值范围为．19. 【答案】（Ⅰ）函数21()2f x x x =+有极小值3，无极大值（Ⅱ）（Ⅲ）见解析 试题解析：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， 求导，得32()2f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)， 所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值．（Ⅱ）证明：假设存在某个∈k R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切，设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x '=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--， 即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意∈k R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线.（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. 令1t x =，则32k t t =++，其中∈t R ，且0t ≠.考察函数3()2h t t t =++，其中∈t R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()∈h t R .而方程32k t t =++中， ∈t R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根， 故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点.考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.20. 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】试题分析：(1)由题意易得可得四边形OPRQ 为正方形，求出42==r OR ， 又()00,y x R 在椭圆C 上，及R 在第一象限，可解得00,x y 的值；(2)由直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，圆心到直线的距离等于半径可得 k 1、k 2是方程082)8(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得88202021--=x y k k ， 又因为()00,y x R 在椭圆C 上， 可得20202112x y -=，从而218214202021-=--=x x k k ，即2k 1k 2+1=0，得证．试题解析：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42==r OR ，即162020=+y x ① 又()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:220=+y x C ②由①②及R 在第一象限，解得2200==y x ,(2)证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切， 所以221||21001=+-k y x k ，化简得082)8(201002120=-+--y k y x k x 同理有082)8(202002220=-+--y k y x k x所以k 1、k 2是方程082)8(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，所以88202021--=x y k k ， 又因为()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:2020=+y x C ，即20202112x y -=，所以218214202021-=--=x x k k，即2k 1k 2+1=0．21. 【答案】(1) 2212x y += ;(2) .【解析】试题分析：(1)由离心率e =,,a b c的关系可得,b c a ==，再将点(A 代入椭圆方程求出c ，即可求出椭圆的标准方程；(2)先讨论直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠与抛物线方程联立由弦长公式得244MNk=+，设直线PQ 的方程为：1(1)y x k =--，从而可求出四边形PMQN 的面积S S >所以其面积的最小值为.试题解析：（1）由题意得：222c e a b c a ==-=，得,b c a ==，因为椭圆过点(A ，则221112c c +=，解得1c =，所以a =，所以椭圆C 方程为：2212x y +=（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1+=+⋅=x x x x k ，244k=+ ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--， 将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22-+=⋅=++k P x y Q x y x x x x k k ，=∴四边形PMQN 的面积S令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-所以S ≥考点：1.椭圆的标准方程及几何意义；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误. 22. 【答案】（Ⅰ）x≤﹣4（Ⅱ）（﹣2，2）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点的距离, (2)x 分类讨论，分11,22x x <≥三部分进行讨论；求得不等式f(x)的解集；（Ⅱ）由f （x ）=0得|2x ﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x ﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察函数的图像，当a 满足什么条件是两函数图像有两个不同的交点，即函数y=f （x ）有两个不同的零点．从而得到 a 的取值范围.试题解析：①当a=1时，f （x ）=|2x ﹣1|+x ﹣5=．由解得x≥2； 由 解得x≤﹣4．∴f （x ）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}． ②由f （x ）=0得|2x ﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x ﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f （x ）有两个不同的零点．故a 的取值范围是（﹣2，2）．考点：绝对值不等式及函数的零点.30．已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中a R ∈．（提示：[]1ln(1)1x x '+=+） （1）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】(1) 13a =;(2) 当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞ ;(3) [)1,+∞.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出a 即可；(2) 求函数()f x 的导数()f x '，由0a =，01a << ，1a = ，1a >，0a <分别讨论()f x '的正负，即可求出其相应的单调区间；(3)由（2）可知，0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意，再分01a <<与1a ≥讨论，由max ()0f x ≤求之即可. 试题解析： （1）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+．依题意，令(2)0f '=，解得13a =．经检验，13a =时，符合题意 （2）①当0a =时，()1xf x x '=+， 故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-．②当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-．当01a <<时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞ 当1a =时，()f x 的单调减区间是(1,)-+∞．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ③当0a <时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞； 单调减区间是(1,0)- ． 综上，当0a ≤时，()f x 的增区间是 (0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；，减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞（3）由（2）知0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意．当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-．由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意．当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减．可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意，所以，()f x 在[)0,+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[)1,+∞ 考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值. 31．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）如果当x ＞0，且x≠1时，恒成立，求实数a 的范围．【答案】（Ⅰ）（，a ﹣1+）．（Ⅱ）（﹣∞，2]．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求了函数f （x ）的定义域和导数，构造函数g（x）=x2+2（1﹣a）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，构造函数h（x）=f（x）﹣a，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．设g（x）=x2+2（1﹣a）x+1，△=4a（a﹣2）①当a≤0时，函数y=g（x）的对称轴为x=a﹣1，所以当x＞0时，有g（x）＞g（0）＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当0＜a≤2时，由△=4a（a﹣2）≤0，得g（x）=x2+2（1﹣a）x+1≥0，所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，③当a＞2时，令g（x）=0得，令f′（x）＞0，解得0＜x＜x1或；令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+∞）；f（x）的单调递减区间（，a﹣1+）．（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x＞0，且x≠1时，（※）恒成立”，设h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：①当a≤2时，h（x）在（0，+∞）上是增函数，当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，所以；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，所以；所以，当a≤2时，※式成立．②当a＞2时，h（x）在（x1，1）是减函数，所以h（x）＞h（1）=0，※式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．32．如图，⊙O的半径为r，MN切⊙O于点A，弦BC交OA于点Q，BP⊥BC，交MN于点P（Ⅰ）求证：PQ∥AC；（Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求PQ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）连结AB，推导出OA⊥MN，BP⊥BC，从而B、P、A、Q四点共圆，由此能证明PQ∥AC．（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．推导出Rt△PAQ∽Rt△ECA，由此能求出PQ．证明：（Ⅰ）如图，连结AB．∵MN切⊙O于点A，∴OA⊥MN．又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四点共圆，所以∠QPA=∠ABC．又∵∠CAN=∠ABC，∴∠CAN=∠QPA．∴PQ∥AC．解：（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．∵∠CAN=∠E，∠CAN=∠QPA，∴∠E=∠QPA．∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴=，故AQ EA PQCA⋅==考点：与圆有关的比例线段．33．已知f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（﹣1，0）．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，分段讨论f（x）的解析式，可得，作出其图象，分析可得其最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分析可得要使不等式的解集非空，必须﹣＜，解可得a的取值范围，即可得答案．解：（Ⅰ），函数的图象为；从图中可知，函数f（x）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f （x ）的最小值为，要使不等式的解集非空，必须﹣＜，即a ＞﹣1．∴a 的取值范围是（﹣1，0）．考点：分段函数的应用；绝对值不等式的解法．34．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222b a b a y x +=+.若抛物线x y 42=的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于B A ,两点，O 为坐标原点.若OB OA ⊥，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（1）椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x ；(2) 36≥m 或36-≤m .【解析】试题分析：（1）抛物线焦点为()1,0，故1=c ，椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即1b c ==，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线l 的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出,A B 两点横坐标的韦达定理表达式，利用OB OA ⊥得到一个关系式022322=--k m ，利用直线和圆相切得到另一个关系式22211k m km d +=+=，由着两个关系式得出m 的取值范围. 试题解析：（1）因为抛物线x y 42=的焦点为)0,1(与椭圆C 的一个焦点重合，所以1=c . 又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1==c b ，故椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x . （2）设),,(),,(2211y x B y x A联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x m kx y 得2)(222=++m kx x ，即0224)21(222=-+++m kmx x k ， 0)12(8)22)(21(416222222>+--=-+-=∆m k m k m k ，即)(01222*>+-m k ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212212122214k m x x k km x x ∴2222222222221212212121221421)22()())((k k m m k m k k m k m x x km x x k m kx m kx y y +-=++-+-=+++=++=由条件OB OA ⊥得022322=--k m ，所以原点O 到直线l 的距离是22211k m kmd +=+=， 由022322=--k m 得36=d 为定值.此时要满足0>∆，即01222>+-m k ，又022322≥-=m k ，即⎩⎨⎧≥>231222m m ，所以322≥m ，即36≥m 或36-≤m .考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的,,b c a 的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到,A B ，OB OA ⊥，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零. 35．设函数)(ln )(2x x b ax x f -+=，x b x x g )1(21)(2-+-=.已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直. （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的极值点；（3）若对于任意),1(+∞∈b ，总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）21-=a ；（2）证明见解析；（3）1-≤m .【解析】 试题分析：（1）曲线的切线和某直线垂直，转化为导数值与直线斜率乘积等于1-，第一问容易解决；（2）求出()'fx 后通分，对分子进行分类讨论，从而求出函数()f x 的单调区间；（3）构造函数],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，存在性问题，转化为1)()(min max +>-m x F x F 来解决.试题解析：（1）)11(2)(-+='x b ax x f ，所以12)1(-=='=a f k ，所以21-=a .（2）)(ln 21)(2x x b x x f -+-=，其定义域为),0(+∞，x bbx x x b x x f +--=-+-='2)11()(，令),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h ，b b 42+=∆， ①当04≤≤-b 时，042≤+=∆b b ，有0)(≤x h ，即0)(≤'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上单调递减，故)(x f 在区间),0(+∞无极值点.②当4-<b 时，0>∆，令0)(=x h ，有24,242221bb b x b b b x ++-=+--=，012>>x x ，当),0(1x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(1x 上递减；当),(21x x x ∈时，0)(>x h ，即0)(>'x f ，得)(x f 在),(21x x 上递增；当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，此时)(x f 有一个极小值点242b b b +--和一个极大值点242bb b ++-.③当0>b 时，0>∆，令0)(=x h ，有024,0242221>++-=<+--=bb b x b b b x ，当),0(2x x ∈时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),0(2x 上递增；当),(2+∞∈x x 时，0)(<x h ，即0)(<'x f ，得)(x f 在),(2+∞x 上递减，此时)(x f 有唯一的极大值点242bb b ++-.综上可知，当4-<b 时，函数)(x f 有一个极小值点242bb b +--和一个极大值点242bb b ++-；当04≤≤-b 时，函数)(x f 在),0(+∞无极值点；当0>b 时，函数)(x f 有唯一的极大值点242bb b ++-，无极小值点.（3）令],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，则x x b x b x x x b x x F -=-+---+-=ln ])1(21[)(ln 21)(22，若总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立， 即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()()()(2211++->-m x g x f x g x f 成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()(21+>-m x F x F 成立，即1)()(min max +>-m x F x F ，xxb x b x F -=-='1)(，因为],1[b x ∈，所以0)(≥'x F ，即)(x F 在],1[b 上单调递增，所以1ln )1()()()(min max +-=-=-b b b F b F x F x F ， 即11ln +>+-m b b b 对任意),1(+∞∈b 成立， 即m b b b >-ln 对任意),1(+∞∈b 成立，构造函数),1[,ln )(+∞∈-=b b b b b t ，b b t ln )(='，当),1[+∞∈b 时，0)(≥'b t ，∴)(b t 在),1[+∞上单调递增，∴对于任意),1[+∞∈b ，1)1()(-=>t b t ，所以1-≤m .考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于1-，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对()f x 求导后通分，对分子),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h 的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.36．已知椭圆M ：2221(0)3+=>x ya a 的一个焦点为(1,0)-F ，左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2.【解析】试题分析：（1）根据条件焦点坐标(1,0)F -以及222a b c =+即可求解；（2）对直线l 是否存在分类讨论，建立12||S S -关于斜率k 的函数关系式，从而求解.试题解析：（1）∵(1,0)F -为椭圆的焦点，∴1c =，又∵23b =，∴2224a b c =+=，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，ABD ∆，ABC ∆面积相等，12||0S S -=，当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=，显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+， 此时1221|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+， ∵0k ≠，上式1234||||=≤==+k k ，（k =时等号成立），∴12||S S -考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题． 37．已知函数()sin xf x e x =，其中x R ∈， 2.71828e = 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间：3(2,2)44k k ππππ-+，单调递减区间：37(2,2)44k k ππππ++，k Z ∈；（2）(,1]-∞.【解析】试题分析：（1）求导，对导函数三角恒等变形后根据导函数的取值情况即可求解；（2）将原问题变形，可知其等价于()0f x kx -≥，求导，对k 的取值进行分类讨论判断函数()f x kx -的单调性，从而求解. 试题解析：（1）'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+，令sin cos sin()4y x x x π=++，当3(2,2)44x k k ππππ∈-+，'()0f x >，()f x 单增，37(2,2)44x k k ππππ∈++，'()0f x <，()f x 单减；（2）令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立，而'()(sin cos )x g x e x x k =+-，令()(sin cos )'()(sin cos )(cos sin )2cos xx x x h x ex x h x e x x e x x e x =+⇒=++-=，∵[0,]2x π∈，'()0()h x h x ≥⇒在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤， 当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21k e π<<时， '()g x 为一个单调递增的函数，而'(0)10g k =-<，2'()02g e k ππ=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞.考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想． 38．如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==.（1）求证：52AC AB =； （2）求AE ×DE 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）4052. 【解析】试题分析：（1）利用条件证明ABM CAM ∆∆ ，再利用相似三角形的性质即可得证；（2）利用条件首先求得CE ，BE 的长度，再利用相交弦定理即可求解. 试题解析：（1）∵AM 是圆O 的切线，∴MAB ACB ∠=∠，且M ∠是公共角，∴ABM CAM ∆∆ ，∴52AC AM AB MB ==，∴52AC AB =；（2）由切割线定理得2MA MB MC =⋅，∴75=2MC ，又∵6MB =，∴63=2BC ，又∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴52AC CE AB BE ==，∴52CE BE =，∴452CE =，9BE =，∴由相交弦定理得45405922AE DE CE BE ⋅=⋅=⋅=. 考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.圆中的比例线段．39．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值. 【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）376a =或92a =. 【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解.试题解析：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；（2）把直线l 的参数方程431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为普通方程得：34340x y a +-+=，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a d a -==-=⇒=或376a =，∴376a =或92a =. 考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想． 40．已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ． （1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(9,9)A =-；（2）14m ≥. 【解析】 试题分析：（1）对x 的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的A ，再结合问题，可知其等价于min 4()a b x m x+<++，再利用基本不等式求最值即可.试题解析：（1）若|2||2|18x x ++-<，则2(2)(2)18x x x <-⎧⎨-+--<⎩或22(2)(2)18x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或2(2)(2)18x x x >⎧⎨++-<⎩，解得99x -≤≤，∴(9,9)A =-；（2）∵a ∀，b A a ∈⇒∀，(9,9)b ∈-，∴(18,18)a b +∈-，∵442x m x m x x ++≥⋅+，∴min 4()4x m m x++=+，由题可知，418m +≥，∴14m ≥.考点：1.绝对值不等式；2.基本不等式求最值；3.恒成立问题；4.分类讨论的数学思想． 41．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ．①设，且OA 6⋅，求k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2）①2②62【解析】 试题分析：（1）求得圆O 的方程，运用直线和相切的条件：d=r ，求得b ，再由离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；（2）设出A 的坐标，代入椭圆方程，求得交点A 的坐标，①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．解：（1）由题设可知，圆O 的方程为x 2+y 2=b 2， 因为直线l ：x ﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以． 因为，所以有a 2=3c 2=3（a 2﹣b 2），即a 2=3．所以椭圆C 的方程为．（2）设点A （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），则y 0=kx 0．由解得，①∵22266K OA OB=623K23K⨯⋅+=++ ，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．考点：椭圆的简单性质．42．已知f （x ）=|x ﹣1|+|2x+3|．（1）若f （x ）≥m 对一切x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围； （2）解不等式f （x ）≤4． 【答案】（1）m≤（2）[﹣2，0]【解析】 试题分析：（1）通过讨论x 的范围，求出f （x ）的最小值，从而求出m 的范围即可；（2）求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可． 解：（1）f （x ）=|x ﹣1|+|2x+3|，x≥1时，f （x ）=x ﹣1+2x+3=3x+2，f （x ）≥5，﹣＜x ＜1时，f （x ）=﹣x+1+2x+3=x+4，＜f （x ）＜5， x≤﹣时，f （x ）=﹣x+1﹣2x ﹣3=﹣3x ﹣2≥， 若f （x ）≥m 对一切x ∈R 都成立， 只需m≤即可；（2）x≥1时，f（x）=x﹣1+2x+3=3x+2≤4，解得：x≤，无解，﹣＜x＜1时，f（x）=﹣x+1+2x+3=x+4≤4，解得：x≤0，x≤﹣时，f（x）=﹣x+1﹣2x﹣3=﹣3x﹣2≤4，解得：x≥﹣2，故不等式的解集是：[﹣2，0]．考点：绝对值不等式的解法．43．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC⋅QC；（Ⅱ）求弦AB的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）103 AB=【解析】试题分析：（Ⅰ）由于PQ与⊙O相切于点A，再由切割线定理得：QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC=QC2﹣BC⋅QC从而命题得到证明（Ⅱ）解：PQ与⊙O相切于点A，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由对应边成比例，求出AB的值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴由切割线定理得：QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC=QC2﹣BC⋅QC．∴QC2﹣QA2=BC⋅QC．（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB⋅QC=（QC﹣BC）⋅QC，∴QC=9由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴AB QAAC QC=，∴103AB=．考点：切割线定理及三角形相似.【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.44．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可得直线l的参数方程为，化简可得结果．（2）圆C的参数方程化为普通方程，把直线的参数方程代入 x2+y2=4化简，利用根与系数的关系求得t1×t2的值，即可得到点P到A，B 两点的距离之积为2．解：（1）直线l的参数方程为，即（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线代入 x2+y2=4，可得，∴，t1×t2=﹣2，则点P到A，B 两点的距离之积为2考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．45．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．考点：参数方程化成普通方程．46．已知：如图，BC是半圆O的直径，D，E是半圆O上两点，，CE的延长线与BD 的延长线交于点A．（1）求证：AE=DE；（2）若，求CD．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到∠A=∠ADE，再根据等角对等边即可求得结论．（2）连接BE，根据等腰三角形，以及直角三角形，推出边长关系，利用射影定理求解即可．（1）证明：∵BC是半圆O直径，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵，，∴∠EDC=∠ECD．∴∠A=∠ADE．∴AE=DE．（2）解：连接BE，∵，∴DE=EC．∴AE=EC=2 ．∵BC是半圆O直径，∴∠BEC=90°即BE⊥AC．∴BA=BC．∵Rt△BDC中，tan∠ABC=，设BD=3x，CD=4x，则BC=5x，∴AB=BC=5x，AD=2x．∵AE×AC=AD×AB，∴2 ×4 =2x×5x．解得：x=2，即CD=8．考点：与圆有关的比例线段．47．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【答案】（Ⅰ）函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增（Ⅱ）答案见解析（Ⅲ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论．解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0，当且仅当x=﹣时，“=”成立，∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当时，解f′（x）=0得两个不同解：当b＜0时，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），令上恒正，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，对任意正整数n，取．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．48．已知椭圆C的标准方程为：+=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆：+=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（s，0），（﹣a＜s＜a）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，e=，由此能求出椭圆方程．。