幂函数知识讲解

y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α__由__小__到__大．
1
4．五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x 2 ，y＝x－1 的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3
定义域 R
R
R
值域 R [0，＋∞) R
奇偶性 奇
偶
奇
单调性 增
(－∞，0)减 (0，＋∞)增
增
定点
(0,0)，(1,1)
对应是( B )
图 3－4－3
1
1
A．①y＝x 3 ，②y＝x2，③y＝x 2 ，④y＝x－1
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x 2 ，④y＝x－1
1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x 2 ，④y＝x－1
1
1
D．①y＝x 3 ，②y＝x 2 ，③y＝x2，④y＝x－1
考点3 比较大小
例3：下列各不等式中正确的是( D )
第4讲 幂函数
考纲要求
考纲研读
结合幂函数的定义及性质，以幂
1.了解幂函数的概念．
函数为载体可考查求参数值或
2．结合函数y＝x，y＝x2，y 参数范围．对于幂函数的图象，
＝x3，y＝ 1x，y＝x 12的图象， 只需掌握五种常见函数的图象，
了解它们的变化情况.
理解不同图象间的关系；掌握与
指数函数相结合的比较大小.
1
y＝ x 2 [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
(－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
奇 (－∞，0)减 (0，＋∞)减
(1,1)
1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( C )
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,1) D．(－1，－1)
4
2．函数 y＝ x 3 的图象是( A )
(1)幂函数y＝xα的特点：
①系数必须为1；②指数必须为常数． (2)幂函数的单调性：①α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
【互动探究】
1．已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2m1，m 为何值时，f(x)是
(1)幂函数；(2)正比例函数；(3)反比例函数；(4)二次函数．
解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0. ∴－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0,1,2 而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数． m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4. (2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)， 显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根． 为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立， 即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]． 这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．
2
2
1
A.
1 2
3
1 5
3
1 3 2
1
2
2
B.
1 3 2
1ห้องสมุดไป่ตู้2
3
1 5
3
2
1
2
C.
1 3 5
1 2
3
1 2
3
2
2
1
D.
1 3 5
1 2
3
1 2
3
解析：由
y＝
1 2
x
在(－∞，＋∞)递减知：
1 2
2
3
1 2
1
3
.
2
2
由
y＝
x
2 3
在(0，＋∞)递增知：
3．已知a＞b＞0，那么2a,2b,3a的大小关系是( B)
A．2a＞2b＞3a
B．2b＜2a＜3a
C．2b＜3a＜2a
D．2a＜3a＜2b
思想与方法 3．转化与化归思想在幂函数中的应用 例题：(2011 年皖北大联考)已知幂函数 f(x)＝ xm22m3(m∈Z) 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设函数 g(x)＝14f(x)＋ax3＋92x2－b(x∈R)，其中 a，b∈R. 若函数 g(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．
⇒m＝－1±2
13 .
考点2 幂函数的图象
1
例 2：(2011 年陕西)函数y＝x 3 的图象是( B )
1
解析：因为 y＝ x3 ，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只 剩 B，C.因为 y＝xα 中 α＝13，图象靠近 x 轴，故答案为 B.
【互动探究】 2．图 3－4－3 给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致
(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数得幂 指数－m2＋2m＋3>0，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋2m＋3 为偶数．
解：(1)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
(2)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 1， ⇒m＝1.
(3)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 －1， ⇒m＝－1.
(4)若 f(x)为二次函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 2，
1 3 5
1 2
3
.
比较两个幂的大小，①如果指数相同而底数不同 (即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；②如果底 数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来 比较大小；③如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间
变量，常用的中间变量有0,1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数 组成的幂． 【互动探究】
5．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，y＝f(x)的解析式
1
为__y_＝__x_2___.
解析：由幂函数的定义：y＝xα 可知， 2＝2α，∴α＝12，
1
∴y＝ x 2 .
考点1 幂函数的概念 例 1：已知 m∈N*，函数 f(x)＝(2m－m2)·x2m23m2在(0，＋∞) 上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性．
1．幂函数定义 一般地，形如_y_＝__x_α__(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α是常数． 2．幂函数的图象：五个常用幂函数
1
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 ，y＝x－1 的图 象，如图 3－4－1.
图 3－4－1
3．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内 直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α____由__小__到_大__；
解析：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 得22mm2－＋m32m>－0，2>0， 或22mm2－＋m32m<－0，2<0，
即m>12或m<－2， 或－2<m<12，
0<m<2，
m>2或m<0，
∴12<m<2 或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故函数 f(x)为奇函数．