[2019浙江高考数学]第3讲 平面向量

第3讲 平面向量

高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4

B.3

C.2

D.0

解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B. 答案 B

2.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π

3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1

B.3＋1

C.2

D.2－ 3

解析 法一 设O 为坐标原点，a ＝OA

→，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝

(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π

3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA

→|－|CB →|＝3－1.故选A.

法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.

设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →

，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA

→，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以

|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA

→|－|BC →|≥3－1.

故选A. 答案 A

3.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝

λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE

→＝－4，则λ的值为________. 解析 AB

→·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →

)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案 3

11

4.(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：

6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.

∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ， 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.

法二 由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6可得|cos α|＋2|cos β|

≤6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②，①2＋②2得4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤1. 故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤12. 答案 12

考 点 整 合

1.平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .

(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.

2.平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b

a ·

b ＝0

x 1x 2＋y 1y 2＝0.

3.平面向量的三个性质

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.

4.平面向量的三个锦囊

(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2

＝1). (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB

→的关系是OP →＝12

(OA →＋OB →).

(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心GA

→＋GB →＋GC →＝0

G ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x A ＋x B ＋x C 3，

y A ＋y B ＋y C 3

热点一 平面向量的有关运算 [考法1] 平面向量的线性运算

【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB

→＝( )