7章习题解材料力学课后习题题解

a
7.5 根据梁的受力和约束情况，画出图示各梁挠曲线的 大致形状。
qa Me
a
a
(a)
a
a
(b)
2a
qa
q
qa 2
Me
A
a a
(c)
a
a
3a
(d)
a
q
qa 2 /2 a qa
(e)
a
F
a
a
(f )
a
7.7 试用叠加法求图示各悬臂梁截面B处的挠度yB和转角θB 。 梁的抗弯刚度EI为常数。 q ql 解：
1 qx3 C1 EIy1 6 1 4 EIy1 qx C1 x D1 24 1 a 3 2 qa x qa x a C2 EIy2 2 2 8 1 a 3 3 EIy2 qa x qa x a C2 x D2 6 2 24
3
2
解得：
1 C1 0; C2 ql 3 192 1 D1 0; D2 ql 4 768
C1 0; C2
1 ql 3 192 1 D1 0; D2 ql 4 768
5 1 ql l ql 2 x qlx 2 EIy2 x C2 8 2 4 4 5 1 ql l EIy2 ql 2 x 2 qlx3 x C2 x D2 16 6 12 4
3
2
代入积分常数可得：
13ql C y(l ) 48EI
4
M =5ql /8
A
2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
71ql yC y (l ) 384 EI
4
ql
l/2
补例：采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 。梁的抗弯 刚度EI为常数。 q ql/2 解：分为图示两种荷载 B 单独作用的情况 C A
3
A
yC
l/2
(b)
l/2
q
B C
A
l/2 l/2
θB
yB
y C1
ql/2
B
A
l/2 l/2
C
y C2
7.2（d）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。 q qa 解：支座反力如图， A B 本题应分3段建立 C 挠曲近似微分方程。 3qa/ 4 5qa/ 4 ( d ) 因此，写出3段弯矩 x1 x2 方程为：
2
yB yB1 yB 2 ql 4 M el 2 8 EI 2 EI ql 4 (ql 2 )l 2 8 EI 2 EI 3ql 4 8 EI
l yC1 yB B 2 l l q q 4 l 7 ql 2 2 8EI 2 6 EI 384 1 3 ql 3 ql yC 2 2 3EI 6 EI 7ql 4 ql 3 71ql 4 yC yC1 yC 2 384 6 EI 384
7.1 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程、转角方程、最大 挠度和最大转角。梁的抗弯刚度EI为常数。 解：支座反力如图 Me
Me M ( x) x l Me EIy M ( x) x l Me 2 EIy x C 2l Me 3 EIy x Cx D 6l
C E a a B
B
解：（c）分为两段列挠曲近似微分方程，共有4个积分常数， 位移边界条件：y1A=0；y2C=(F+ql)a/2EA 变形连续条件： y1B=y2B; y1B’=y2B’ （d）分为四段列挠曲近似微分方程，共有8个积分常数， 位移边界条件：y1A=y2C=y4B=0，变形连续条件： y1D=y2D, y1D’=y2D’; y2C=y3C, y2C’=y3C’; y3E=y4E
3 2
由连续性条件 和边界条件：
y2 ; x a : y1 y1 y2 0 x 3a : y2 0
可得：
q
A
C B
qa
3qa/ 4
x1 x2 a x3 a a
(d)
5qa/ 4
38 3 C2 qa 48 37 4 D2 qa 48 3ql 4 yC y2 (2a ) 8 EI
x3 a
a
挠曲线近似微分方程
M 1 ( x) EIy1 1 2 qx 2
1 qx3 C1 EIy1 6 1 4 EIy1 qx C1 x D1 24 a 3 M 2 ( x) qa EIy2 x qa x a 2 4 EIy2 1 a 3 2 qa x qa x a C2 2 2 8
4
3
代入边界条件：
M =3ql /8 A
2
q B C x
x 0, y 0, y 0 C1 C2 0; D 1 D2 0
(l ) C y2 7 ql 3 48 EI 41 yC y2 (l ) ql 4 384 EI
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
于是有：
M el A (0) 6 EI M el B (l ) max 3EI 2 l M el y 2 16 EI M elx 3 x 2 0, 1 2 0 6 EI l x 0 ymax 3 l 3 3M e l 2 y x 0 27 EI 9 3EI M el 2
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2
BC段：
y
x1 x2 l/2
(b) 2
l/2
1 3 2 1 l M 2 ( x) qlx ql q x EIy2 2 8 2 2 1 2 3 2 1 l qlx ql x q x C2 EIy2 4 8 6 2
2
4 3
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l x : y1 y2 ; 2 1 2 y1 y2 C1 C2 ; D1 D2
l/2
1 3 1 l qlx 2 ql 2 x q EIy2 x C2 4 8 6 2 1 3 1 l EIy2 qlx 3 ql 2 x 2 q x C2 x D2 12 16 24 2
l/2
7.2（b）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。
M =5ql /8
A
2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
ql
l/2
解：支座反力如图所示，分两段建立挠曲线近似微分方程 并积分。
2 5 2 1 2 M =5 ql /8 M 1 ( x) qlx ql qx 8 2 5 ql l A M 2 ( x) qlx ql 2 x 8 2 4 ql 5 1 M 1 ( x) ql 2 qlx qx 2 EIy1 8 2 5 2 1 2 1 3 EIy1 ql x qlx qx C1 8 2 6 5 1 1 EIy1 ql 2 x 2 qlx3 qx 4 C1 x D1 16 6 24 5 ql l M 2 ( x) ql 2 qlx EIy2 x 8 2 4
3 2
1 2 M 1 ( x) qx 2 a 3 M 2 ( x) qa x qa x a 2 4 a 3 5 M 3 ( x) qa x qa x 2a qa x 3a 2 4 4
1 a 3 3 EIy2 qa x qa x a C2 x D2 6 2 24
a
7.4 用积分法求图示各梁的变形时，应分几段来列挠曲线的近 似微分方程？各有几个积分常数？试分别列出确定积分常数时 所需要的位移边界条件和变形连续光滑条件。
F A 2EI l/2
(a)
C
q
EI D a A a
(b)
F E a B a C
பைடு நூலகம்
EI B l/2
解：（a）分为两段列挠曲近似微分方程，共有4个积分常数， 位移边界条件：y1A=y1A’=0；变形连续条件： y1C=y2C; y1C’=y2C’
（b）分为四段列挠曲近似微分方程，共有8个积分常数， 位移边界条件：y1A=y3B=0，变形连续条件： y1A=y2A, y1A’=y2A’ y2B=y3B, y2B’=y3B’; y3B=y4B, y3B’=y4B’;
q
A l/2 C
F EI l/2
(c)
EA
D F A EI D a a
(d)
q
3
1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2
4
1 2 3 2 qlx ql x C1 4 8 1 3 EIy1 qlx 3 ql 2 x 2 C1 x D1 12 16 EIy1
1 2 3 2 1 l EIy2 qlx ql x q x C2 4 8 6 2 1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2 由连续性条件：
M =3ql /8 A
4 3
l/2
(b)
yC
l/2
q
B C
A
l/2 l/2
θB
yB
y C1
ql/2
B
A
l/2 l/2
C
y C2
q
B
ql/2
C
l q 3 ql 2 C1 B 6 EI 48 1 3 ql 3 ql C 2 2 2 EI 4 EI 13ql 4 C C1 C 2 48EI
1 2 a a M 1 ( x) qx 2 a 3 M 2 ( x) qa x qa x a 2 4 a 3 5 M 3 ( x) qa x qa x 2a qa x 3a 2 4 4
M elx 3x 2 y 1 2 6 EI l M elx x 2 y 1 2 6 EI l
7.2 试用积分法求图示 各梁 C 截面处的挠度yC 和转角θC 。梁的抗弯 刚度EI为常数。 解：支座反力如图所示 分两段建立挠曲线近似 微分方程并积分。 AB段：
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l/2
1 3 2 M1 ( x) qlx ql EIy1 2 8 1 2 3 2 qlx ql x C1 EIy1 4 8 1 3 2 2 3 EIy1 qlx ql x C1 x D1 12 16
边界条件：
A
M e /l x l
(a)
B
M e /l
代入得： C M e l , D 0 6
M elx 3x 2 y 1 2 6 EI l M elx x 2 y 1 2 6 EI l
x 0 : y 0; x l : y 0
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
l/2
由变形连续条件：
l l EIy1 EIy 2 2 l l EIy1 EIy2 2 2
5 2 1 2 ql l EIy2 ql x qlx x C2 8 2 4 4 5 2 2 1 3 ql l EIy2 ql x qlx x C2 x D2 16 6 12 4